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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两相异 有两相等实
一元二次方程ax2＋bx＋c 没有
实根x， 根x＝x
＝0(a>0)的根 1 1 2 实数根
x(x<x) ＝－
2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x≠x} {x|x∈R }
1 2 1
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 1 <x<x 2 } ∅
二、分式不等式
（1）（2）
（3）
（4）
三、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
四、一元高次不等式及其解法
1、概念
只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.
2、 一元高次不等式的解法
一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为
1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另
一侧化为0;
2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出
温馨提示:要仔细区分点的虚实.
3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线；
温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过.
4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集.
温馨提示:
1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正.
例：不等式 的解集是_____________
答案：
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本专题的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识
一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，
体会数学的整体性。
一、不含参数的一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的四个步骤命题点1 不含参的不等式
例1 (1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 －2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
∴x<－1或x>.
(2)(多选)已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M＝
B．N＝
C．M∪N＝
D．M∩N＝
答案 ACD
解析 由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；
而M∩N＝{x|－1<x≤3}，故D正确．
二、含参数的一元二次不等式的解法
命题点2 含参的不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
延伸探究 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，
原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
拓展
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4<0，即－2<a<2时，
原不等式的解集为∅.
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2<a<2时，原不等式的解集为∅.
三、一元二次不等式恒(能)成立问题
1.一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)
min
≥a，即
m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)
max
≤a，即n≤a.
命题点3 在R上恒成立问题
例3 (2022·漳州模拟)对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．－2<a≤2 B．－2≤a≤2
C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
答案 A
解析 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足
题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需即有
解得－2<a<2.
综上可得，a的取值范围为(－2,2]．
命题点4 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案
解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，
x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以0<m<；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x) ＝g(1)，即m－6<0，
max
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.
命题点5 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3] >0(0≤p≤4)，
min
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
拓展
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [－7,2]
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，
解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
