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§1.6 一元二次方程和一元二次不等式
课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二
次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
－4ac
二次函数
的图象
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
x，x(x x} R
1 2
的解集
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
⇔
3．简单的
⇔
绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( √ )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________.
答案 R
解析 已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B
＝R.
3．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________．
答案 (－3,0]
解析 当k＝0时，满足题意；
当k≠0时，
解得－30的解集为{x|x<－2或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
答案 ABD
解析 因为方程x2＋x－2＝0的解为x ＝1，x ＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<
1 2
－2或x>1}，故A正确；
因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|
－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x－1|<1，可得－10的解集为{x|－10时，不等式可化为(x－1)≤0，
若1<，即0，即a>2，解得≤x≤1.
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；
当a<0时，解集为；
当02时，解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1.
(1)若a＝－2，解不等式f(x)>0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0.
解 (1)当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0，
即(2x＋1)(x－1)<0，
解得－0的解集为.
(2)由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0，所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x＝1，x＝.
1 2
当01，解得11时，<1，解得1时，原不等式的解集为.
题型二 三个二次之间的关系
例3 (1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则
下列说法正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
答案 AC
解析 由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确；
因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
所以解得
所以 bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误；
不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，
即(5x＋1)(4x－1)>0，
解得x<－或x>，故C正确；
因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误．
(2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________．
答案 (3,4]
解析 设方程x2－4x＋a＝0的两根为x，x，
1 2
则x>1，x>1，
1 2
所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x＋x>2，(x－1)(x－1)>0，
1 2 1 2
由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4；
由x＋x>2，得4>2显然成立；
1 2
由(x－1)(x－1)>0，
1 2
得xx－(x＋x)＋1>0，
1 2 1 2
即a－4＋1>0，解得a>3，
综上可得，30(a≠0)的解集是(x ，x)(x4
1 2 2 1答案 ABD
解析 由题意得，a<0，且x ，x 是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a
1 2
＝0的两根，
所以x＋x＝－＝2，故A正确；
1 2
xx＝＝－3<－3，故B正确；
1 2
x－x＝＝＝2>4，故D正确；
2 1
由x－x>4，可得－12对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围．
解 (1)不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，
有
解得m<，
综上所述，m的取值范围为.
(2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立，
因为x2－x＋1＝2＋>0，
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，由x∈，
得＝＝＝≤＝1，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，
所以 ＝1，
max
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)．
(3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝2＋>0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，
则f(x) ＝f ＝a－，
min
f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x) ＝a－>0，故a>.
min
故实数a的取值范围是.
(2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，
f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x) ＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a，
max
故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4.
故实数a的取值范围是(－∞，－4]．
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·湖州模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于( )A．{x|－14}
C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1}
答案 A
解析 因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，
又不等式≤0的解集为{x|－11时，不等式的解为10的解集可能为( )
A．∅ B．(－1，a)
C．(a，－1) D．(a，＋∞)
答案 ABC
解析 根据题意，易知a≠0.
当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋
∞)．
当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅；
若－10的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0
B．c<0
C．a＋b>0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－30，故C正确；不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0，
即x2－4x＋3<0，解得10，解得k>8或k<0.
设x2－kx＋2k＝0的两根为x，x，
1 2
令x8或k<0，
所以－1≤k<0或80的解集为{x|b0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5.
解 (1)依题意，mx2＋mx＋3>0在实数集R上恒成立．
①当m＝0时，3>0，成立；
②当m≠0时，要使原不等式恒成立，
则解得0(3m－1)x＋5，
等价于mx2＋(1－2m)x－2>0，
即(x－2)(mx＋1)>0.
①当m>0时，解得x>2或x<－；
②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2；
③当m<0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x＝－，x＝2.
1 2(ⅰ)当－>2，即－2}；
当m>0时，原不等式的解集为.
15．关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.∪
答案 A
解析 不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
即a≥ ，
max
当x＝0时，a≥0，
当x≠0时，a≥＝，
因为≤＝，当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立，
所以a≥，综上所述，a∈.
16．若对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，
则实数x的取值范围是__________．
答案 (－4,2－2)
解析 因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，
使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，
设t(y)＝|y－1|＋|y－3|，
则x2＋(3－m)x－6
