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§1.6 一元二次方程和一元二次不等式
课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二
次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
＝b2－4ac
二次函数
的图象
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
x，x(x0(<0) _________________________________________________________；
(2)≥0(≤0) _________________________________________________________.
⇔
3．简单的
⇔
绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为______________________________________________________，
|x|0)的解集为______________________________________________________．
常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________.
3．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为____________________．
4．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________.
题型一 求解一元二次不等式
命题点1 不含参的不等式
例1 (多选)下列选项中，正确的是( )
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
命题点2 含参的不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.
(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－10；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0.
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题型二 三个二次之间的关系
例3 (1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则
下列说法正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
(2)若方程 x2－4x＋a＝0 的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数 a 的取值范围是
______________．
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个
方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
典例 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数
m的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．
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跟踪训练2 (1)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x ，x)(x4
1 2 2 1
(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解
析式为f(x)＝________________________.
题型三 一元二次不等式恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围；
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围．
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跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
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(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围．
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