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专题 1.9 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式．一
元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c
的零点．
注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取
两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型1 一元二次不等式的解法（不含参）】
【方法点拨】
解不含参的一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2022春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（ ）
1 1
A．(− ，2) B．(−2， )
2 2
1 1
C．(−∞，−2)∪( ，+∞) D．(−∞，− )∪(2，+∞)
2 2
【变式1-1】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【变式1-2】（2022春•珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（ ）
A．R B．
C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．∅{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}
【变式1-3】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（ ）
2 2
A．{x|− ≤x≤1} B．{x|−1≤x≤ }
3 3
2 2
C．{x|x≤− 或x≥1} D．{x|x≤−1或x≥ }
3 3
【题型2 一元二次不等式的解法（含参）】
【方法点拨】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【变式2-1】（2022春•运城期末）已知函数f（x）＝x2+x+a（1﹣a）．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜0的解集．
（2）求不等式f（x）＜2x的解集．
【变式2-2】（2021秋•海淀区校级期末）求下列关于x的不等式的解集：
5
（1） ≥−1；
x−7
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【变式2-3】（2021秋•濮阳期末）已知关于x的函数f（x）＝ax2﹣3x+2．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）当a＞0时，求不等式f（x）＞5﹣ax的解集．
【题型3 三个“二次”关系的应用】
【方法点拨】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝
ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x
轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则a+b＝（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2c
【变式3-1】（2022春•赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则 的值为（ ）
b
6 6 5 5
A． B．− C． D．−
5 5 6 6
【变式3-2】（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2
﹣bx+a＜0的解集是（ ）
1 1 1 1
A．{x|x＜− 或x＞ } B．{x|− ＜x＜ }
2 4 4 2
1 1 1 1
C．{x|x＜− 或x＞ } D．{x|− ＜x＜ }
4 2 2 4
【变式3-3】（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则
4a+3b的最小值为（ ）
5 7
A． +2√6 B．5+2√6 C． +2√3 D．7+2√3
2 2
【题型4 一元二次不等式恒成立问题】
【方法点拨】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
【例4】（2022春•吉安期末）若关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣2，0] B．（﹣2，0]
C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
3
【变式4-1】（2021秋•廊坊期末）关于x的一元二次不等式2x2−kx+ ＞0对于一切实数x都成立，则实
8
数k满足（ ）
A．{k|k＜√3} B．{k|k＜−√3} C．{k|−√3＜k＜√3} D．{k|k＞√3}
【变式4-2】（2021秋•商丘月考）若不等式x2+ax+1≥0在x [﹣2，0）时恒成立，则实数a的最大值为（
） ∈
5
A．0 B．2 C． D．3
2
【变式4-3】（2021秋•上高县校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2﹣x+2，若f（x）＞3x+m
在区间[﹣1，3]上恒成立，则实数m的范围是（ ）
A．m＜﹣5 B．m＞﹣5 C．m＜11 D．m＞11【题型5 一元二次不等式存在性问题】
【例5】（2021•安庆模拟）存在x [﹣1，1]，使得x2+mx﹣3m≥0，则m的最大值为（ ）
1 ∈ 1
A．1 B． C． D．﹣1
4 2
1
【变式5-1】（2020春•越秀区校级月考）若存在x [ ，3]，使不等式x2﹣ax+1≥0成立，则实数a取值
2
∈
范围是（ ）
5 10 10
A．a≤2 B．a≤ C．a≤ D．2≤a≤
2 3 3
【变式5-2】（2022•玉溪模拟）若存在实数 x [2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（
） ∈
A．（13，+∞） B．（5，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，13）
【变式5-3】（2022春•达州期末）已知函数f（x）＝x2+x+6，存在x [0，2]，使得f（x）≥a2﹣a成立，则
实数a的取值范围（ ） ∈
A．[﹣3，4] B．[﹣2，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）
【题型6 一元二次不等式的实际应用】
【方法点拨】
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元
二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】（2021•长沙校级二模）产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000+20x
﹣0.1x2，x （0，240）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）
的最低产量∈是（ ）
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
【变式6-1】（2020秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝
3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不
+
小于总成本）的最低产量是 ∈ 台．
【变式6-2】（2021秋•南城县校级月考）国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，
农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）．为了减轻农民负担，
制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范
围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．【变式6-3】（2021•云南模拟）又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划．根据
去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高1毛时，日销售量
就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮
的单价？
