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专题 08 预备知识八：二次函数与一元二次方程、不等式
1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义
2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性
3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数
学运算素养
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形
式：
① （其中 均为常数）
② （其中 均为常数）
③ （其中 均为常数）
④ （其中 均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的 的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次
不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一 般 地 ， 对 于 二 次 函 数 ， 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 二 次 函 数
的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程 的两根为 且 ，设Δ=b2 −4ac，它的解按照
Δ>0，Δ=0，Δ<0可分三种情况，相应地，二次函数 的图象与 轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或
的解集.
判别式Δ=b2 −4ac
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司二次函数 (
的图象
有两个相等的实数根
一元二次方程 有两个不相等的实数
没有实数根
( )的根 根 ， ( )
( )的解集
( )的解集
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程 ，计算判别式Δ：
① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用十字相乘法）；
b
② 时，求根x =x =− ；
1 2 2a
③ 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如 或 （其中
, 为整式且 的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可化为 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故选：D.
例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于 的不等式的解集.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）首先将式子因式分解，再解得即可.
【详解】（1）不等式 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
（2）不等式 ，即 ，即 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 .
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
【答案】D
【详解】
－x2－2x＋3≥0，即x2＋2x－3≤0 (x－1)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}.
2．（23-24高一上·北京·期中）解关于 的不等式.
⇔
(1) ;
(2)
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.
【详解】（1）不等式 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ；
（2）不等式 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ；
对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于 的不等式： .
【答案】答案见解析
【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分 、 、 三种情况讨论，分别求出不等式的解
集.
【详解】不等式 ，即 ，
当 时，原不等式即 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 时，解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
当 时，解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
综上可得：当 时不等式的解集为 ，
当 时不等式的解集为 或 ，
当 时不等式的解集为 或 .
例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 的不等式： ．
（2）解关于实数 的不等式： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数 即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【详解】（1）易知方程 的 ，
由 得 ，解得 ，
当 时， 的解集为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ．
（2）对方程 ，
当 时，
即 时,不等式的解集为
当 时，
即 或 时,
的根为 ，
不等式的解集为 ；
综上可得， 时,不等式的解集为 ，
或 时，不等式的解集为 .
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，
则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】对不等式因式分解，分 ， ， 三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数
得到不等式，求出答案.
【详解】 ，
当 时，不等式解集为 ，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为 ，故 ，解得 ，
当 时，不等式解集为 ，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为 ，故 ，解得 ，
当 时，不等式解集为 ，不合要求，
故实数 的取值集合为 或 .
故选：D
2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)若关于x的不等式 的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ．
【答案】(1) ,
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可知 ，进而求出实数 的取值范围；
（2）根据 和 两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）若不等式 的解集为R，
则 ，
解得 ，
即实数 的取值范围 , ；
（2）不等式 ，
①当 时，即 时，不等式的解集为 ，
②当 时，即 或 时，
由 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ．
角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于x的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
分 ， ， 三种情况结合 与 的大小关系讨论，可得不等式的解集.
【详解】当 时， ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， 或 ，故A正确；
当 时， ，
若 ，则解集为空集；
若 ，则不等式的解为： ，故D正确；
若 ，则不等式的解为： ，故C正确.
故选：ACD
例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“ R， ”是真命题，求实数a的取值范
围；
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1） 或 ；（2）答案见解析
【分析】（1）利用二次函数图象得出 解得结果；
（2）分成 ， ， ， ， 五种情况讨论一元二次不等式的解集.
【详解】（1）∵ R， 为真命题，
则函数 与x轴有交点，
∴ ，即 ，解得 或 ．
∴实数 的取值范围是 或 ．
（2）当 时，不等式等价于 ，即 ；
当 时，原不等式化为 ，
当 时，即 时，解得 或 ；
当 时，即 时，原不等式即为 ，解得 ；
当 时，即 时，解得 或 ．
当 时，原不等式化为 ， 解得 ．
综上所述，当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为R；
当 时，不等式的解集为 或 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
精练
1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于 的不等式 ．（只需结果，不需过程）
可因式分解为 ．
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，合理分类讨论，即可求解.
【详解】由题意得：方程可分解为 ，
若 时，不等式即为 ，解得 ，不等式的解集为 ；
若 时，令 ，解得 或 ，
当 时，即 时，由 ，解得 ，此时解集为 ；
当 时，即 时，由 ，解得 ，此时解集为 ；
当 时，即 或 时，由 ，解得 ，此时解集为 ；
故答案为： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； .
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于 的不等式： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对 是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为 ，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 对一切实数x恒成立，等价于 恒成立.
当 时，不等式可化为 ，不满足题意.
当 ，有 ，即 ，解得
所以 的取值范围是 ．
（2）依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，此时 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ；
综上，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为 或
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司D．
【答案】AC
【分析】
根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数 的开口方向，即可判断选项A；根据题
意由韦达定理可得 ，代入不等式，根据 即可判断选项B；根据 ，代入不等式求解，
即可判断选项C；根据 ，代入不等式，根据 即可判断选项D.
【详解】关于 的不等式 的解集为 ，
所以二次函数 的开口方向向上，即 ，故A正确；
且方程 的两根为 、4，
由韦达定理得 ，解得 .
对于B， ，由于 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 ，故B不正确；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
对于D， ，故D不正确.
故选：AC.
例题2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式 的解集为 ，则
不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据 的解集为 得到 ， 且 ，进而根据二次函数的性
质即可求解.
【详解】由题意得 的两个根为 ， ，且 ，
， ，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，
即 ，解得 ，
则不等式 的解集为 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式 的解为 ，那么
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式 的解为 ，
所以 的解为 ，且 ，
由韦达定理得 ，代入得
，
故选：D.
2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式 的解集为 或 ，不等
式 的解集为 ．
【答案】 .
【分析】根据不等式解集知 ，利用韦达定理得 ，代入目标不等式求解即可.
【详解】因为不等式 的解集为 或 ，
所以 ，且 和4为方程 的两根，
故 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以不等式 的解集为 .
故答案为：
对点特训四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式 移项，通分，转化为 ，等价于 ，利用一元二次不等
式的求法，即可得出结果.
【详解】不等式 可以转化为 .
等价于 ，∴ ，
∴ ，
∴不等式 的解集为 .
故选：A
例题2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合 . 则
.
【答案】
【分析】根据集合交集的概念求解即可答案.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】先化简集合A，进而求得 .
【详解】 或 ，
则
故选： A.
2．（23-24高三下·北京·开学考试）不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】利用分式不等式的解法列不等式组求解即可.
【详解】 等价于 ，
解得： ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
对点特训五：不等式恒成立问题
角度1： 判别法
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江·期中）关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【分析】由题意可知 恒成立，根据判别式即可求出.
【详解】 的解集为 ,
即 恒成立，
当 时，即 ，不符合题意，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ’解得
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B
例题2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得 符合题意，当 时利用判别式可求得结果.
【详解】当 ，即 时，不等式为 对一切 恒成立．
当 时，需满足 ，
即 ，解得 .
综上可知，实数a的取值范围是 ．
故选：C
精练
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 与 两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意；
当 时，因为 的解为全体实数，
所以 ，解得 ；
综上： .
故选：C.
2．（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于 ，都有 ，则 的值可以
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】AB
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
【详解】依题意，命题等价于 恒成立，
所以 ，解得 ，即 ，故AB正确，CD错误.
故选：AB.
角度2：分离变量法
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数 ，若函数 在 上是单调函
数，则实数a的取值范围为 ；当 ， 时，不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】 或 ，
【分析】首先确定函数 的对称轴方程，然后由对称轴与区间的位置关系，列出不等关系，求解即可；
不等关系 对 恒成立，构造函数 ，利用二次函数的性质求出 ，
即可得到 的取值范围.
【详解】函数 的对称轴方程为 ，
因为函数 在 上是单调函数，
所以 或 ，解得 或 ，
所以，实数a的取值范围为 ；
由题意，当 时，不等式 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于 的不等式 在 上有解，求
实数 的取值范围；
（2）若 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）题目转化为 ，利用均值不等式计算最值得到答案.
（2）变换得到 ，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）当 时， 有解，
即 在 上有解，
又 ，于是 等价于 ，
故 ，又 ，
当且仅当 即 ，即 时等号成立，所以
所以实数 的取值范围是
（2）当 时， 恒成立．
因为 ，且当 时有最大值为 ，
所以 等价于 ．
在区间 上的最小值为 ，故只需 即可，
所以实数 的取值范围是 ．
精练
1．（2024·辽宁·三模）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“ 在 上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“ ，使 ”是假命题，
所以“ ， ”为真命题，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数 .
(1)若 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 （其中 ）.
【答案】(1) , ．
(2)答案见解析.
【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解；
（2）分类讨论求解即可．
【详解】（1）不等式 即为： ，
当 , 时，可变形为： ，
即 ,
又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，即 ，
实数 的取值范围是： , ．
（2）不等式 ，
即 ，
等价于 ，
即 ，
当 时，
当 时，因为 ，解不等式 得： ；
当 时，因为 ，不等式 的解集为 ；
当 时，因为 ，解不等式 得： ；
综上所述，不等式的解集为：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．
对点特训六：一元二次不等式的实际问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023
年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方
目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万
元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人
员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资
调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的
人数最少为多少人?
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问
是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)100
(2)存在，
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关
系可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数 转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值
可得结果.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 ,
整理得 , 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司得 ,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并
发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有
50万的总收入，已知生产此盲盒 年（ 为正整数）所用的各种费用总计为 万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
【答案】(1)第 年
(2)第 年最大，为 万元
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）设利润为 ，则 ，
由 整理得 ，
解得 ，由于 ，
所以 ，所以第 年首次盈利.
（2）首先 ，
由（1）得平均利润 万元，
当且仅当 万元时等号成立，
第7年，平均利润最大，为12万元.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等
自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．
某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在
200元的基础上提高 元（ ， ），则被租出的客房会减少 套．若要使该连锁酒店每天
租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式求解.
【详解】依题意，每天有 间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
．
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，
所以 ，即 ，解得 ．
因为 且 ，所以 ，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．
故选：C．
2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计
划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有
技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（ 且 ），调整后研发人员
的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元．
(1)要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的
人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年
均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
【答案】(1)
(2)存在
【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由①可得 ，由②可得 ，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，即 ，解得 ，
又 且 ，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有 ，解得 ，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则有 ，两边同除以 ，得到 ，整理得到
，
故有 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值7，所以 ，
即存在这样的 满足条件，使得其范围为 .
一、单选题
1．（23-24高一下·云南·期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答
案.
【详解】由 ，得 ，因为 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A．
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式 在R上有解，结合 计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式 在R上有解，
∴ ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
故选：A.
3．（2024·陕西·二模）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】
将 代入原不等式，可得 ，解之即可求解.
【详解】由题意知，当 时， 可变为 ，符合题意；
当 时，由 ，得 ，
即 ，解得 或 且 ；
综上，实数a的取值范围为 .
故选：D
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“ 使得不等式 成立”是真命题，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为不等式 在 有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，
即可求解.
【详解】由 使得不等式 成立是真命题，
即不等式 在 有解，
因为 ，当 时， ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C.
5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于 的不等式： 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解.
【详解】由 得 ，
其解集等价于 ，
解得 .
故选：B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式 的解集是空集”，
则条件 ： “ ”是条件 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分 和 两种情况讨论求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得
解.
【详解】因为不等式 的解集是空集，
所以不等式 的解集是 ，
当 即 时，
若 ，则 ， 舍 ；
若 ，则 ， ；
当 时，则 ，解得 ，
综上所述 ，
所以条件 是条件 的充分不必要条件．
故选：A．
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式 的解集为R，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 ，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时需满足 ，即 ，求得 ，
所以实数 的取值范围是
故选：C
8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
其中 ， ， 为常数，则不等式 的解集是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到 的关系，再根据一元二次不等式的解法，
即可求解.
【详解】因为关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
所以 ，且 和 是一元二次方程 的两根，
所以 ，解得
所以不等式 可化为 ，即 ，
解得 ，则不等式 的解集是 ．
故选：A
二、多选题
9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式 不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断.
【详解】
由 得 ，解得 ，
A：由 得 ，不同；
B：由 得 ，相同；
C：由 得 且 ，解得 ，不同；
D：由 得 ，不同．
故选：ACD．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对 进行分 、 和 讨论即可.
【详解】当 时，此时解集为 ；
当 时，此时解集为 ；
当 时，此时解集为 ；
故选：CD.
三、填空题
11．（2024·云南·模拟预测）已知集合 ，若 且 ，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合 ，结合集合交集､并集的定义，即可求解.
【详解】由 得： ，
所以 ，
因为 且 ，
所以 .
故答案为： .
12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数 ，若不等式 的解集是
，则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得一元二次不等式 的解集是 ，由此列式算
出实数 的值．
【详解】 ，即 ，解集是 ，
所以 ，且 是方程 的两个实数根，
于是由韦达定理可得 ，
解得 不符合题意，舍去）．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
四、解答题
13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于 的不等式 的解集是 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）直接将 代入不等式即可解出 ；
（2）使用二次函数知识将二次不等式化为两根式，然后比较系数得到方程组，再解出方程组即可.
【详解】（1） 等价于原不等式对 成立，即 .
解得 ，所以 的取值范围是 .
（2） 意味着 ，且 .
展开并比较系数可知 ，故 .
而 ，故 ，从而 ，解得 ，进而得到
.
经验证当 ， 时条件满足，所以 ， .
14．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数 ，不等式 恒成立，求
的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）若 ，检验不等式是否恒成立，若 ，则 ，可求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，令 ，结合二次函数的性质可知， 和
时 ，可求 的取值范围．
【详解】（1）要使 恒成立，若 ，显然 ，满足题意；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司若 ，则 解得 ，
综上， 的取值范围是 ．
（2）令 ．
当 时， 恒成立，则 的根一个小于1，另一个大于2．
如图，得 即 解得 ，
的取值范围是 ．
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