文档内容
考点 05 一元二次方程、不等式（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【知识点】
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
根x，x(x x} {x|x≠－} R
1 2
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
【核心题型】
题型一 一元二次不等式的解法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
命题点1 不含参数的不等式
【例题1】（2024·青海·一模）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数真数大于零和一元二次不等式的解法可分别求得集合 ，根据并集定
义可求得结果.
【详解】由 得： ， ， ；
由 得： ， ， ， .
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合 ，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.
【详解】集合 ，
又 ，且 ，
故可得 ，即 ，解得 .故答案为： .
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 ，若
，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由 ，得 ,解得 ，
所以 。
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
命题点2 含参数的一元二次不等式
【例题2】（2024·云南红河·二模）已知 均为正实数，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
【详解】因为 ， 均为正实数，若 ，则 ；
若 ，则 ，即 或 ；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选:A.
【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 内随机取一个实数 ，则关于的不等式 仅有2个整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 ，可得区间 内仅包含 两个整数，
再利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】根据题意可得不等式 等价于 ；
因为 ，所以不等式的解集为 ；
依题意可得区间 内仅有两个整数，即包含 两个整数，可得 ；
由几何概型概率公式可得其概率为 .
故选：C
【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数 ，若关于 的不等
式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当 时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当
时根据二次不等式的解法讨论 的范围进而即得.
【详解】由题意知，当 时， ；当 时， ；当
时， ．
当 时， ，即 ，构造函数 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当 时， ，当 时，由 ，解得 ，不合
题意；
当 时，由 ，得 ，不合题意；
当 时，由 ，得 ， ，所以 ，此时
，不合题意；
当 时， ，由 ，解得 ，
此时当 时 恒成立，所以 的解集为 ，符合题意；
当 时，由 ，得 ，又 ，所以 ，此时
适合题意；
综上，关于 的不等式 的解集为 ，则 .
故选：C.
【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式 的解集恰有50个
整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】 或1625
【分析】讨论 的范围，解出不等式，结合题意确定 的范围及解集中的整数解，再利用
等差数列求和公式求和即可.
【详解】不等式 等价于不等式 ．当 时， 的解集为 ，不合题意；
当 时， 的解集为 ，
则50个整数解为 ， ，…，5，6，
所以 ，这50个整数元素之和为 ；
当 时， 的解集为 ，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以 ，
这50个整数元素之和为 ．
综上，a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 或1625．
故答案为： ； 或1625
题型二 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
命题点1 在R上恒成立问题
【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 与 两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得
解.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意；当 时，因为 的解为全体实数，
所以 ，解得 ；
综上： .
故选：C.
【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x的不等式 的解
集为 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出不等式 的解集为 的 的范围，再由必要不充分
条件的定义判断可得答案.
【详解】当 即 时，不等式 的解集为 ，符合题意；
当 即 时，若不等式 的解集为 ，
可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 可得 ，充分性不成立，
若 ，则不等式 的解集为 ，必要性成立，
所以不等式 的解集为 ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2】（2023·福建厦门·二模）“ ”是“ ， 成立”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ， 成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义
判断作答.
【详解】由 ， 成立，则当 时， 恒成立，即 ，
当 时， ，解得 ，
因此 ， 成立时， ，
因为 ，所以“ ”是“ ， 成立”的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 恒成立”的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况讨论求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即
可得解.
【详解】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .
故选：D.
命题点2 在给定区间上恒成立问题
【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数 ，若不等式 在上恒成立，则满足要求的有序数对 有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【分析】由题意有 ，通过分析得到 ， 是满足题意的唯一
解，注意检验.
【详解】由题意若不等式 在 上恒成立，
则必须满足 ，即 ，
由 ，两式相加得 ，
再由 ，两式相加得 ，
结合（4），（5）两式可知 ，代入不等式组得 ，
解得 ，
经检验，当 ， 时， ，
有 ， ，满足 在 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 为： ，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到 ，进一步由不等式的性质通过
分析即可求解.【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题 ：任意 ，使
为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由题意可得任意 ， 恒成立，结合二次函数
性质列不等式求 的取值范围.
【详解】设 ，则 ，
原命题等价于：任意 ，使 为真命题，
所以 ，其中
设 ， 则
函数 ， 的最大值为 与 中的较大者，
所以 ，
∴ ，解得 ，
故选：C.
【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当 时，不等式： 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由 得 ，由基本不等式得 ，故 .【详解】当 时，由 得 ，
因 ，故 ，当且仅当 即 时等号成立，
因当 时， 恒成立，得 ，
故选：C
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 ，
则所有满足条件的有序数对 是 ．
【答案】
【分析】由题意可得 ，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】因为 对任意 ，
所以必须满足 ，
即 ，
由 ，得 ，
解得 ，①，
再由 ，得 ，
解得 ，②，
由①②得 ，所以 ，即 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， ，则
的最大值为 ， 的最小值为 ，
满足任意 ，
所以满足条件的有序数对 只有一对 ，
故答案为：
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若 对于 恒成立，则实数x
的取值范围为 ．
【答案】 .
【分析】令 ，则由题意可得 ，解不等式组可得结果.
【详解】令 ，
因为 对于 恒成立，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数x的取值范围为 ，
故答案为： .
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数 是定义在 上的增函数．若不等式 对于任意 恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来
把a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
【详解】∵ 是增函数，∴ 对于任意 恒成立．
，即 对于任意 恒成立．
令 ． ， 为关于a的一次函数，在 上是一条线段，
由 ，得 ．
【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意 ，任意 ，使得
不等式 成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.
【详解】因为对于任意 ,任意 ，使得不等式 成
立,
设 ,则
又因为 ,所以 .
所以 即
设 ,
对于任意 , ,应用一次函数性质可知即得 ,解得
则实数 的取值范围是 .
故答案为: .
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式 对任意 恒成立，
实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】把题意转化为 ，设 ，由一次函数的单
调性列不等式组，即可求解.
【详解】 可转化为 .
设 ，则 是关于m的一次型函数.
要使 恒成立，只需 ，
解得 .
故答案为：
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于 的不等式组，解之即
得.
【详解】 或 ， 或 ，
又 ，解得 .
故选:D.
2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 与 两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得
解.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意；
当 时，因为 的解为全体实数，
所以 ，解得 ；
综上： .
故选：C.
3．（2024·云南红河·二模）已知 均为正实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
【详解】因为 ， 均为正实数，若 ，则 ；
若 ，则 ，即 或 ；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选:A.
4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得 符合题意，当 时利用判别式可求得结
果.
【详解】当 ，即 时，不等式为 对一切 恒成立．
当 时，需满足 ，
即 ，解得 .
综上可知，实数a的取值范围是 ．
故选：C
5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件 是 的充分不必要条件是（ ）
A．函数 定义域为 ， ： 在A上成立. ： 为增函数；B． ： 成立， ： 最小值为4；
C．p:函数 在区间 恰有一个零点，q: ；
D．p:函数 为偶函数（ ），q:
【答案】B
【分析】对于A，D我们都可以证明 互为充要条件，对于C，取 即可判断；对于
B， 成立当且仅当 ，注意到 时有 ： 最小值为4成立，由此即可判断.
【详解】对于A，不妨设 ，则函数 定义域为全体实数， 在实
数域上成立，但它不是增函数，故A不符合题意；
对于B， ： 成立等价于 恒成立，从而
，
注意到当 时有， ，等号成立当且仅当 ，即
时有 ： 最小值为4成立，故B符合题意；
对于C，当 时， 在区间 恰有一个零点 ，
但此时 不满足 ，故C不满足题意；
对于D，p:函数 为偶函数（ ）等价于
恒成立，
也就是说 恒成立，这意味着只能 ，从而当且仅当 ，故
D不满足题意.
故选：B.6．（2024高三·全国·专题练习）已知 且 ，若 在
上恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到
答案．
【详解】由 得 ，
①若 ，则 ，且 ， ，
根据穿根法可知 或 时不符合题意，舍去；
②若 ，要满足题意则 ，符合题意，如图所示；
③当 时，同理要满足题意需 ，与前提矛盾；
④当 ，此时 ，则 的三个零点都是负数，
由穿根法可知符合题意；
综上可知满足 在 恒成立时，只有 满足题意.
故选：C ．
二、多选题
1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知 ， ，且 ，若 恒
成立，则实数t的值可能为（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
【答案】CD【分析】利用 的关系式以及其范围可得 且 ，将不等式转化为
，利用二次函数单调性即可得 .
【详解】由 可得 ，
又 可得 ，
所以可得 ，
即 在 时恒成立即可，
由二次函数单调性可得 ，即 ，可知CD满足题意；
故选：CD
2．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x，x)，则必有a>0
1 2
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是
空集
【答案】AD
【解析】略
三、填空题
1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间
的真子集，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
又不等式 的解集是区间 的真子集，则 .故答案为： .
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合
，则 .
【答案】
【分析】由对数不等式和一元二次不等式化简集合 ，再由交集运算即可求解.
【详解】 ，解得 ，故 ；
，解得 ，故 ，故 .
故答案为：
四、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 的解集为 ．
(1)求 和 的值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为 在 上恒成立，即可利用二次函数零点分
布求解.
【详解】（1）由 得 ，
易知 ，则 ，解得 ，
由于 的解集为 ，则 ，解得 ．（2）由（1）知 ，由 得 ，
得 在 上恒成立，
，故 ．
令 ，若 在 上恒成立，
则 ，即 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 的不等式： ．
（2）解关于实数 的不等式： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数 即可求得（1）（2）
中的不等式解集.
【详解】（1）易知方程 的 ，
由 得 ，解得 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ．
（2）对方程 ，
当 时，
即 时,不等式的解集为
当 时，
即 或 时,的根为 ，
不等式的解集为 ；
综上可得， 时,不等式的解集为 ，
或 时，不等式的解集为 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，且存在 使不等式 成立，求实数 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助零点分段法计算即可得；
（2）借助绝对值三角不等式可得 ，再解出含 的不等式即可得.
【详解】（1） ，即 ，
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上所述， ，
不等式 的解集为 ；（2）由题知， ，
当且仅当 时等号成立，
，解得 或 ，
实数 的取值范围为 .
综合提升练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的 恒成立，则m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【详解】 ，而当 时， ，当且
仅当 ，即 时取等号，
则 ，所以m的取值范围是 .
故选：C
2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p：“ x∈ ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命
题，则实数a的取值范围是（ ） ∀
A．－10成立；当a≠－1时，需满足 ，
解得－10，所以f(f(x))＝f(x2)＝ ≥1，解得x≥ (舍去)或x≤－ ．综上，f(f(x))≥1的解集为{x|
x≥4或x≤－ }．
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 满足
．
(1)讨论 的奇偶性；
(2)设函数 ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对已知等式中的 用 代换，得到新的等式，结合已知等式可求出 ，
然后分 和 讨论函数的奇偶性，
（2）由（1）知 ，则 对
恒成立，得 ，设函数 ，利用导数可求出函数的最小值得函数 的值域，并求出最小的范围，进而根据集合关系即可证明.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
根据以上两式可得 ，
所以， .
当 时， 为偶函数.
当 时，因为 ，
所以 ， ，
所以 为非奇非偶函数.
（2）由（1）知 .
依题意得 对 恒成立.
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时， ，得 .
故 .
设函数 ，
则 .
因为 ，所以 .
①当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增， ，则 ，即 在 上的最小值为1.
②当 ，即 时，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
则 ，
即 在 上的最小值为 .
综上，函数 在 上的最小值 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
当 ，令 ，
则 ，故 在 上单调递增，
因为 ，
所以， ，即函数 在 上的最小值 ，
所以， .
【点睛】关键点点睛：此题第（2）问解题的关键是由题意得 对 恒
成立，求出 的范围，然后构造函数 ，利用导数求其最小值的取值范
围即可证明.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别解二次不等式，对数不等式化简集合A，B，后由补集，交集定义可得答案.
【详解】由 ，得 ，所以 ；
由 ，得 ，解得 ，所以 .
所以 或 ，所以 .
故选：D．
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 内随机取一个实数 ，则关于 的不等
式 仅有2个整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 ，可得区间 内仅包含 两个整数，
再利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】根据题意可得不等式 等价于 ；
因为 ，所以不等式的解集为 ；
依题意可得区间 内仅有两个整数，即包含 两个整数，可得 ；
由几何概型概率公式可得其概率为 .
故选：C
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件
是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分 和 两种情况讨论求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即
可得解.
【详解】当 时， ，得 ，与题意矛盾，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， ，
所以不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 恒成立，
则实数a的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】先根据导函数结合余弦函数的范围得出函数单调递增.又 ，根据已知可推
得 恒成立，得出 ，求解即可得出答案.
【详解】由题， ，
当 时， 恒成立， ；
当 或 时， ， ，所以 ．
所以 在R上单调递增．
又 ，所以由 恒成立，可得 恒成立，
即 恒成立，
故 ，得 ，所以a的最大值为 ．
故选：C.
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 满足 ， ，且对任意的实数 ，都
有 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 垂直 B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题中条件，结合向量的运算法则，不等式 ，可化为
，利用 ，可求得 ，故可求得 的值，继而可判断
出A,B；设 ， ，用坐标表达 及 ，结
合结果的几何意义即可求得最值，继而判定C,D.
【详解】由 恒成立得 ，
即 恒成立，
因为 ， ，
设 夹角为 ，则 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 与 垂直，A正确；
，B不正确；
设 ， ，
则 ，
所以
，
其几何意义是 与 和 连线的距离之和的2倍，
当三点共线时取得最小值，最小值为 ，C正确；
， ，
所以
其几何意义是 与 和 连线的距离之差的2倍，当三点共线时最得最大值，最大值为 ，D不正确，
故选：AC.
6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于 的不等式 的解集恰有
50个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）
A． 的值可能为-43
B．这50个整数元素之和可能为-925
C． 的值可能为57.5
D．这50个整数元素之和可能为1625
【答案】BCD
【分析】考虑 ， ， ，解不等式，再根据解集恰有50个整数元素，计算得到
答案.
【详解】不等式 等价于不等式 .
当 时， 的解集为 ，不合题意；
当 时， 的解集为 ，则50个整数解为 ，
所以 ，这50个整数元素之和为 ；
当 时， 的解集为 ，则50个整数解为 ，
所以 ，这50个整数元素之和为 .
综上所述： 的取值范围是 ，这50个整数元素之和为-925或1625.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2022高三上·河南·专题练习）已知 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的取值范围是 ．【答案】
【分析】先对 求解得 ，对 化简得 ，再结合 是 的必要
不充分条件，对 进行分类讨论，即可求解.
【详解】
由 ，解得 ，所以 ，
对于 ，即 ，
若 ，解得 ，要使 是 的必要不充分条件，则 ，所以 ；
若 ，解得 ，要使 是 的必要不充分条件，则 ，所以 ；
若 ，则 为 ，符合题意，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数 ．甲同学： 的解
集为 ；乙同学： 的解集为 ；丙同学：y的对称轴大
于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为 ．
【答案】
【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.
【详解】若甲正确，则 且 ，即 ，则 ；
若乙正确，则 且 ，即 ，则 ；
若丙正确，则二次函数的对称轴方程 ，可得 ；
因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故 .
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若对任意 ，则所有满足条件的有序数对 是 ．
【答案】
【分析】由题意可得 ，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】因为 对任意 ，
所以必须满足 ，
即 ，
由 ，得 ，
解得 ，①，
再由 ，得 ，
解得 ，②，
由①②得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， ，则
的最大值为 ， 的最小值为 ，
满足任意 ，
所以满足条件的有序数对 只有一对 ，
故答案为： .10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，将不等式恒成
立问题转化成 ，构造 ，根据单调性求最值.
【详解】设 ，
，
则 ，
则 恒成立可化为 恒成立，
即 恒成立，故 ，
设 ，
易知 在 时递减，在 时递增，
所以 ，
而 显然在 时单调递增，所以 ，
故 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 .【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法
求最值.
四、解答题
11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于 的不等式： .
【答案】答案见详解
【分析】讨论 时，分别解出不等式即可.
【详解】若 ，不等式化为 ，解得 ；
不等式的解集为 ；
若 ，则不等式化为 ，
且 时， ，
①若 ，
则若 ，即 时，原不等式的解集为 ；
若 ，即 时，原不等式的解集为 ；
若 ，即 时，原不等式的解集为 ；
②若 ，则 ，
且不等式变化为 ，
解得 或 ，
原不等式的解集 ；
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
12．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分 和 两类情况，当 时采用验证法即可；当 时根据一
元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数 的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出 ；再求出函数 在 上的
最小值即可求解.方法二：先将问题转化为 在 上恒成立；再
分类讨论，利用函数的单调性求出函数 的最大值即可求
解.
【详解】（1）要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上：实数 的取值范围是 ．
（2）方法一：
由 得： ，即 .因为 ，所以 ．
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上取得最小值，最小值为 ，
所以只需 即可，所以 的取值范围是 ．
方法二：
由 ，得 ，即 .
令 ，
当 时， 在 上是增函数，
则 ，解得 ，所以 ；
当 时， 恒成立；
当 时， 在 上是减函数，
则 ，解得 ，所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围;
（ⅱ）设 ，且 ，求证: .
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程.
（2）（ⅰ）运用导数求 的最值，代入解不等式即可.（ⅱ）运用导数研究
在 上的最小值，进而解关于 的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由已知得 ，切点 ，
则切线斜率 ，
所以切线方程为 .
（2）（ⅰ）依题意知，只要 ， ，
因为 ，
， ，
所以 在 递减，在 递增，
所以 ， ，
所以 ，
解得： .
（ⅱ）证明：因为 ，定义域为 ，
由 得 ，
即 ，令
令 ， ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以
即 ，
又因为 ，
所以 ，即 .
【点睛】运用导数证明不等式策略
（1）将不等式转化为函数的最值问题，
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较，
（3）适当放缩证明不等式.
14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数 是定义域为 的奇
函数，且 的图象过点 .
(1)求a，b的值；
(2)设 ，若 （ 为函数 的
导数），试写出符合上述条件的函数 的一个解析式，并说明你的理由．
【答案】(1)2
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义和过定点，代入即可；（2）结合奇函数和单调性性，可化为 对 恒成立，整理的
，分 与 讨论即可.
【详解】（1）因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
所以 ，
又 的图象过点 ，
则 ，解得 或 ，
又 ，且 ，
所以 ．
（2）因为 为奇函数，
所以 ，得 ．
由（1）可得， ，
因为 ，
所以 为 上的单调递增函数，
所以 对 恒成立．
因为 ， ，
所以 ，
整理得 ，*
当 时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，
或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，
因此不可能恒非负，所以 ．
所以*式化为 恒成立，
所以 ．
①若 ，则 ；
②若 ，则 ，即 ，与 矛盾，舍去．
综上， ，
所以 为满足条件的 的一个解析式．（答案不唯一）
