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§1.5 一元二次方程、不等式
考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元
二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
根x，x(x x} {x|x≠－} R
1 2
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( √ )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
教材改编题
1．不等式<0的解集为( )
A．∅ B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)答案 B
解析 <0等价于(x－3)(x－2)<0，解得20的解集是( )
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案 D
解析 原不等式等价于
即x<且x≠0，故选D.
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项
中正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
答案 ABD
解析 ∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；
且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；
不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
解 (1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是，
所以a>0且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，
当－1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
解 (1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－21，解得12时，<1，解得2时，原不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是( )
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
答案 ACD
解析 当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则⇒
－240时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是
( )A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3] >0(0≤p≤4)，
min
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
解得x<－1或x>3.
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－20的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
答案 CD
解析 对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.
对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；
对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－
2>0的解集为∅；
对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(
)
A．－10成立；
当a≠－1时，需满足
解得－10的解集为{x|－11}
答案 A
解析 因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实
数根，则α，β，m，n的大小关系是( )
A．α0的解集可能是( )
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．∅
答案 BCD
解析 当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a0，
解得x>1或x0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>a或x<1.
6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m
的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 AB
解析 画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函
数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，
由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有 2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.
7．不等式>x的解集是________．
答案 (－∞，－1)∪(1,5)
解析 不等式>x化为以下两个不等式组或
解即解得x<－1，
解即解得11，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－11无解，所以>1的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得00，
当a＝－1时，－＝1，解得x≠1；
当－11，解得x<1或x>－；
当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－10的解集为(m，n)(m0，所以
ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，
符合题意；
假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛
盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符
合题意．
13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－
x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1
