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专题 12 平面向量综合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
由 ，可得 ，用坐标表示数量积，即得解
【详解】
由
可得
，因为 ，所以 .
故选：D
2．设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由中线向量公式得到 ；由 ，利用线型运算得到 ，进而利用向量的
减法运算 得到结论.
【详解】因为 中 边上的中线为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选： .
3．若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
【答案】C
【分析】
分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】
当 两两的夹角均为0°时，显然 ；当 两两的夹角均为120°时，
，
故选：C.
4．在菱形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 （ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
以 为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】设 ,则 .
，
故选：B.
5．如图，点 在半径为 的 上运动， 若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立适当的坐标系，设 ，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三
角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.
【详解】
以 为原点､ 的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有 ， .
设 ，则 .由题意可知
所以 .
因为 ，所以 ，
故 的最大值为 .
6．已知向量 满足 ，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得 ，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.
【详解】
，
∴ =1，
所以 ，
故向量 与 的夹角为 .
故选：B.
7．已知 ， ，，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1 B．5 C． D．【答案】A
【分析】
由 的坐标求出 和 ，进而利用投影的定义求解即可．
【详解】
∵ ， ，
则 ，
∴ ， ，
∴ 在 方向上的投影为： .
故选：A.
8．在 中， ，且 ，则 取最小值时 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对 平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知 ，根据二次
函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
所以当 时， 取最小值.
故选：B.
9．在 中，点 是线段 上靠近点 的三等分点，点 在线段 上， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的三角形法则可得 ，进而 ，再根据
和点 是线段 上靠近点 的三等分点，利共线定理可得 ， ，再结合
平面向量的三角形法则，即可求出结果.
【详解】
根据题意，作出图形，如图所示．
因为
所以
又 ，所以
所以
又点 是线段 上靠近点 的三等分点，所以 ，
所以 ．
故选:B.
10．已知点 ，若过点 的直线l交圆于C： 于A，B两点，则 的最大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】
设出 的中点 ，根据垂径定理即可求出点 的轨迹方程是以 为圆心，1为半径的圆，再利用
圆的性质求出 的最大值，再由向量的运算性质即可求解．
【详解】
由已知圆的方程可得：圆心 ，半径为 ，
设 的中点为 ，则由圆的性质可得： ，
即 ，而 ， ，
所以 ，
即点 的轨迹方程为 ，
设 为 的中点，则 ，半径为1，
所以 的最大值为 ，
又 ，
所以 的最大值为12，
故选：A
11．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 三点共线
B．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C．
D． 为直角三角形的充要条件是【答案】B
【分析】
对于 , ， ， 三点共线时， ，故 不正确；
对于 ， 不共线，所以 构成空间的另一个基底，故 正确；
对于 ， 表示与 共线的向量， 表示与 共线的向量，故 不正确；
对于 ， 时， 为直角，反之也可以是 ， 为直角，故 不正确.
【详解】
对于A： ， ， 三点共线时， ，
，
， ， 三点共线不成立，故A不正确；
对于B：若 为空间的一个基底，
则 不共线，
不共线，
构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C：假设 ，
不妨设 ，
则 ，
因为向量 不一定共线，故C不正确；
对于D， 时， 为直角，
故 为直角三角形，反之也可以是 ， 为直角，
故D不正确.故选：B.
12．已知向量 、 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在等式 两边同时平方，求出 的值，进而可得出 在 方向上的投影为 .
【详解】
，在等式 两边平方并化简得 ， ，
因此， 在 方向上的投影为 .
故选：D.
13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】
画出图形，并将 和 中点 ， 和 中点 连接，从而得到 ， ，根据数量积的计
算公式以及条件即可得出 ， ，从而 ，从而可得到
的值.
【详解】
如图，取 中点 ， 中点 ，并连接 ， ，
则 ， ，
，
，.
故选：B
14．已知向量 与向量 不共线， ，对任意 ，恒有 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设向量 的坐标为 ，代入题中向量等式，解出 x,y之间的关系式，再逐项验证答案.
【详解】
设 ，则
可化简为
根据题意， 恒成立
即， 恒成立
，解得
，选项A错误；，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误.
故选：C.
15．如图所示，矩形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上且 ，若 （
， ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以 为基底表示出 ，求得 ， ，从而确定正确答案.
【详解】
因为四边形 为矩形， ，所以 ，所以
，因为 （ ， ），所以 ，
，所以 ．故选：A
二、多选题
16．已知平面向量 、 、 为三个单位向量，且 ，若 （ ），则
的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
建立如图坐标系，以向量 、 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C （ 表
示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量 ， ，求出 、 、 的坐标，列
出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
【详解】
依题意， 、 是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，
向量 、 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C （ 表示由x轴非负半轴旋
转到OC所形成的角）构成的向量 ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，故 ， ，
故 ，故可以是选项中的 ，1， ．故选：ABC．
17．下列说法中错误的是（ ）
A．已知 ， ，则 与 可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若 与 共线，则 在 方向上的投影为
C．若两非零向量 ， 满足 ，则
D．平面直角坐标系中， ， ， ，则 为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】
结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于A， ，所以 ，故 不能作为平面内所有向量的一组基底， 错误；
对于B， 与 共线，则 在 方向上的投影为 ，所以 错误；
对于 ，两非零向量 ， 满足 ，则 ，则 ，
成立；
对于 ， ， ， ，则 ， ， ，
，
，
，
所以 为钝角，
则 为钝角三角形， 错误；
故选： ．
18．设 ， 是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ）A．若 ，则 和 的夹角为
B．若 ，则 和 的夹角为
C．若 ，则 和 方向相同
D．若 ，则 和b的夹角为钝角
【答案】ABC
【分析】
利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关
系判定判断D.
【详解】
解： ， ， ， 构成等边三角形，A正确；
由向量加法的平行四边形法则可知， 和 的夹角为 ，B正确；
，则 与 同向，C正确；
若 ，则 和 的夹角为钝角或者 ，D错误，
故选：ABC.
19．在 中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ，则 的形状为直角三角形
C． 内一点G满足 ，则G是 的重心
D．若 ，则点P必为 的外心
【答案】BC
【分析】对于A，由 可得角 为锐角，从而可判断，对于B，对 两边平方化简，再结合
余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角
形垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由 ，得 ，所以 ，所以角 为锐角，但不能判断三角形
为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ,得 ，因为 ，所以 ，所以三角形为直角三
角形，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以 （ 为 的中点），所以
三点共线，所以点 在 边的中线 上，同理，可得点 在其它两边的中线上，所以G是
的重心，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ， ,所以 ，所
以点 在边 的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点 为 的垂心，所以D错误，
故选：BC
20．已知向量 是两个非零向量，在下列条件中，一定能使 共线的是（ ）
A． 且
B．存在相异实数 ，使
C． （其中实数x，y满足 ）
D．已知梯形ABCD，其中
【答案】AB【分析】
选项A：根据 ，即可得出 ，从而得出 共线；选项B：可得出 都不等
于0，并得出 ，从而得出 共线；选项C：当 ，时，满足选项的条件，显然得不出 共
线；对于选项D：显然得不出 共线．
【详解】
解：A．联立 和 消去向量 可得出 ，
∴ ，且 ，所以 共线.
B．∵ 都是非零向量，且 ， ，
∴ 都不为0，所以 ，所以 共线.
C．当 时，满足 ，此时对任意的向量 都有 ，∴得不出 共线；
D．∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴得不出 共线．
故选：A B．
第II卷（非选择题）
三、填空题
21．已知在 中， ，则 ___________.
【答案】
【分析】
设 ，根据 ，得到 和 ，结合向量的数量积的运算
公式，即可求解.
【详解】如图所示，设 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
，
所以 .
故答案为： .
22．在 中，点 满足 ，当 点在线段 上移动时，若 ，则
的最小值是________．
【答案】 /0.9
【分析】
根据题意画出图形，利用 表示出 ，再设 ， ；用 分别表示出求出 与 ，再
将其代入 ，可得 ，然后利用二次函数的性质即可求 的最小值．
【详解】
如图所示，中， ，
∴ ，
又点 点在线段 上移动，设 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取到最小值，最小值为 .
故答案为： ．
23．在 中，点D是边 的中点，点G在 上，且是 的重心，则用向量 ､ 表示 为
___________.
【答案】
【分析】
根据三角形重心的性质可知， ，再根据向量减法 即可求出．
【详解】
在 中，点D是边 的中点，点G在 上，且是 的重心，所以 ，
．
故答案为： ．
24．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且 ＝x ，
＝y ，求 的值为________．
【答案】3
【分析】
以 为基底，由G是 的重心和M，G，N三点共线，可得 ，即求.
【详解】
根据条件： ，
如图设D为BC的中点，则
因为G是 的重心， ，
，
又M，G，N三点共线，
，即 .
故答案为：3.
25．如图，在菱形 中， ， ．已知 ， ， ，则______．
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，所以 ．
因为 ， ，
所以
．
故答案为：
四、解答题
26．已知 ， ， ．
（1）求 与 的夹角θ；
（2）求 ；（3）若 ，求实数λ的值．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用数量积的运算律即可求解；
（2）由（1）中的结果结合模平方之后转化为数量积运算即可求解；
（3）由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数λ的值.
（1）
解：∵ 即
又因为 ，
∴64-8×4×3cosθ+27=43，
∴ ．
∵θ∈[0，π]，
∴ ．
（2）
解：由（1）得 ．
（3）
解：∵ ，
∴ ，
∴即 ，
∴3λ=10，
∴ ．
27．已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由 原式可代换为 ，再由 ，两式联立变形即可求证；
（2）由A，P，B三点共线，可得 ，变形得 ，整理成 关于 的表达
式，再结合 ，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若m+n=1，则 ， ，
故 ，即 ，
，即 共线，又 有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得 ，变形得 ，即
， ，又 ， ，故
28．如图，已知D，E，F分别为 的三边 ， ， 的中点，求证： ．【答案】证明见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知 ， ， ，
由题意可知 ， ．
．
29．已知向量 ， ， .
（1）若点 ， ， 能够成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)点 ， ， 能构成三角形，则这三点不共线，即 与 不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．
(2) 为直角三角形，且 为直角，则 ，利用向量的数量积坐标公式计算即可．
【详解】
（1）已知向量 ， ， ，
若点 ， ， 能构成三角形，则这三点不共线，即 与 不共线.
， ，
故知 ，
∴实数 时，满足条件.
（2）若 为直角三角形，且 为直角，则 ，
∴ ，
解得 .
30．设 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， ，延长 至
D使 .
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先根据 ，得到 ；①再结合 成等比数列得到
；②二者联立即可求出 的大小；（2）上面的二者联立求得 ，得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结论．
【详解】
（1）依题可得： ， ，
①
又因为长a，b，c成等比数列，所以 ，由正弦定理得： ②
① ②得： ，
化简得： ，解得： ，又 ，所以 ，
（2）① ②得： ，即 ，即 ，即三角形 为正三角形，
设 的边长为x，由已知可得 ，
则
（当且仅当 时取等号）.
的取值范围 .任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．设 、 、 为非零不共线向量，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意化简得到 ，整理得
恒成立，结合二次函数的性质，结合
，即可求解.
【详解】
由向量 、 、 为非零不共线向量，若 ，
则 ，可得 ，
化简得 ，
即 恒成立，
令 ，则
，即 ，
所以
故选：D.
2．在平面直角坐标系 中，已知点 ．若动点M满足 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出 ，计算 ，并由两角和的正弦公式
变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设 ，则由 ，得M的方程为 ，设 ，
则 ．
故选：D．
3．已知 是边长为2的正方形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则 ，设点 ，
，
于是得： ，
当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值是 .
故选：B
4．已知点 为正 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积与 的面
积比值为 ，则 的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
如图 ， 分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到 ，由于
正三角形 ，结合题目中的面积关系得到 ， ，由面积之比， 分 所成的比，
从而得出 的值．
【详解】
，
．
如图， ， 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知 ， ，
故 ，
在正三角形 中，
，
，
且三角形 与三角形 的底边相等，面积之比为 ,
所以 ，得 ．
故选：B
5．已知直线 ： 与圆 ： 的交点为 ， ，点 是圆 上一动点，
设点 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
先把圆的一般方程转化为标准方程可得 ，可得直线 恒过圆心 ，即 ，利用向量加法的三角不等式 ，分析即得解
【详解】
圆 ： 化成 ，
故点 ， ，
直线 ： 恒过圆心 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 和 同向共线，且 点为圆上最高点时，等号成立
故选：B
6．已知平面向量 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得 ， ， ，设 ， ， ，可
得点 的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
，因为 ，所以 ，
设 ， ， ，
， ，所以 ，
即 ，
所以点 在以 为圆心，半径 的圆上，
表示圆 上的点 与定点 的距离，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
7．已知向量 ， ， 为平面向量， ，且 使得 与 所成夹角为 ，则 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
先根据已知条件求出向量 ， 的夹角，建立平面直角坐标系，设 ， ，设 ，
， ，根据线性运算可得 ， ， ，结合正弦定理可求出点
的轨迹，当 三点共线时取得最大值，即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
如图所示：在平面直角坐标系中， ， ，
不妨设 ， ，延长 到 使得 ，则 ，点 为平面直角坐标系中的点， ，则 ， ，
则满足题意时， ，结合点 ， 为定点，且 ，
由正弦定理可得： ，可得 ，
则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的优弧上，
当 三点共线，即点 位于图中点 位置时， 取得最大值，
其最大值为 ，
故选：A.
8．非零向量 ， 满足 ，且 ，则 为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角
形
【答案】D
【分析】
先根据 ，判断出 的角平分线与 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据
向量的数量积公式求得 ，判断出三角形的形状．【详解】
， ， 分别为单位向量，
的角平分线与 垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
9．在 中， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知数量积相等求得 ，取 中点D，从而求得中线 的长， 可表示为 的函数，由
三角函数知识得取值范围．
【详解】
在 中， ，即 ，取 中点D，即 ，则
又BD是中线，所以 是等腰三角形，BA=BC.由 ，即 ，
，
则 ，由 ，则 ，所以 .
故选：C．
10．已知 的三个内角分别为 ， ， ，动点 满足 ，
，则动点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】
利用正弦定理变形向量等式，再利用向量加法、向量减法的意义即可判断作答.
【详解】
在 中，令线段BC的中点为M，由正弦定理 得： ，
由 得： ，
即 ，而 ， ，则 ，
于是得 与 同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段
AM上，
所以动点 的轨迹一定经过 的重心.
故选：A
11．已知平面向量 满足 ， ， ，若对于任意实数 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】
由向量的模的运算得：易得 ，又对于任意实数 ，不等式 恒成立，即对于任意实数 ，
不等式 恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△ ，即可得到答案；
【详解】
解：由 ， ， ，得 ，
又对于任意实数 ，不等式 恒成立，
即对于任意实数 ，不等式 恒成立，
即对于任意实数 ，不等式 恒成立，
即△ ，解得： 或 ，
故选：B.
12．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足
，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点
【答案】C
【分析】
设 ABC的重心为G，则 ，结合题设，利用平面向量的运算法则可得 ，即
△
G、P、C三点共线，从而可得结果.
【详解】
设 ABC的重心为G，∵ ，
△
∴
，∴ ，∴G、P、C三点共线，故选C．
13．平面内 及一点 满足 ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【分析】
由 可得 ， ，
从而可知 ， 是角平分线，即可得点 的性质.
【详解】
解：由 知， ，
即 ，即 ，则 是 的角平分线，
同理 ，即 ，则 是 的角平分线，
则点 是 的内心.
故选:B.
14．设点 是 的重心，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点 是 的重心可得 ,利用正弦定理可得 ,则
,即 ,可得 ,进而利用余弦定理
求解即可.
【详解】因为点 是 的重心,
所以 ,
因为 ,
由正弦定理可得 ,
所以 ,
即 ,故 ,则 ,
则由余弦定理可得 .
故选:B
15．若直线 过△ 的重心 ，且 ， ，其中 ， ，则 的最小值
是（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
直线 过△ 的重心 得到 ，由已知化简得 ，利用 三点
共线得到 ，再运用基本不等式求解可得.
【详解】
如图：连接 并延长交 于 点，所以 点是 中点
,又 ，
,又 ，,因为 三点共线
，
当且仅当 即 时，等号成立.
故选：B
16．在 中， ， ，且 ， ，则点 的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】过C作 ，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以 ，根据向量的线性运
算法则，化简可得 ，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作 ，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点 的轨迹一定通过 的重心.
故选：A
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
点 是 的重心，且 ，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出 ，可得出 或 ，然后由点 是 的重心，得出 ，两边平方后化简得出 ，然后分 或 两种情况讨论，求
出 的值，由余弦定理可求出 的值.
【详解】
， ，
整理得 ，解得 或 （舍去）.
或 .
又 点 是 的重心，则 ，
等式两边平方得 ，
， ， ，整理得 .
①当 时，则有 ，解得 ，
由余弦定理得 ，则 ；
②当 时，则有 ，解得 ，
由余弦定理得 ，则 .
因此， 或 .
故选：C.
18．在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作一直线 分别与边 ， 交于 ， ，
若 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用 与 共线，存在实数 ，使 ，把 用 表示，然后由基本不等式得最小值．
【详解】
解：在 中， 为 边的中点， 为 的中点，
，
，
，
同理， ，
与 共线，
存在实数 ，使 ，
即 ，
即 ，
解得 ， ，，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立，
的最小值是 ．
故选：C．
19．已知圆 的半径为2，A为圆内一点， ，B，C为圆 上任意两点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 为 和 的夹角，则 ，由 的范围可得答案.
【详解】
如图，连接 ， ，
设 为 和 的夹角.
则且 ，
由 ，当 时， 有最小值 ；
当 时， 有最大值为10.
故选：C.
20．已知 ， ， ，若对任意实数 ， （ ）恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件由 进行数量积的运算即可求出 ，然后根据 可得出对任意实数 ，
即可得到 恒成立，然后根据 及 解出 的范围即可．
【详解】
解： ，
， ，
，
对任意实数 ， ，
对任意的实数 ， ，
对任意的实数 ， 恒成立，，解得 或 ，
因为 ，所以
实数 的范围为： ．
故选： ．
二、多选题
21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出： 的外心 ，重心 ，垂心 ，
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若 ，
，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加
法运算以及欧拉线定理可判断D.
【详解】
A，由题意可得 ，即 ，故A正确；
B，由 是 的重心可得 ,
所以 ，故B错误；
C，过 的外心 分别作 的垂线，垂足为 ，如图，易知 分别是 的中点，则
，故C正确；
D，因为 是 的重心，所以 ，
故
，
由欧拉线定理可得 ,
所以 ，故D正确.
故选：ACD
22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的
距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的
外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算
律逐项分析即可求出结果.【详解】
由G是三角形ABC的重心可得 ，所以
= ，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的
中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有 ，故
，
由欧拉线定理可得 ，故C项正确；
如图（2），由 可得 ，即 ，则有
，D项正确，
故选：BCD.
23．在 中， ， ，下述四个结论中正确的是（ ）A．若 为 的重心，则
B．若 为 边上的一个动点，则 为定值2
C．若 ， 为 边上的两个动点，且 ，则 的最小值为
D．已知 为 内一点，若 ，且 ，则 的最大值为2
【答案】AC
【分析】
A.以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由 为 的重心，结合
向量的数乘运算判断；B.设 ，把 用含t的代数式表示判断；C.不妨设M
靠近B， ，求得M，N的坐标，得到 关于x的函数，利用二次函数求值判断；D.
由 结合BP=1，得到 ，再令 ，转化为
，利用三角函数的性质求解判断.
【详解】
如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则 ，因为 为 的重心，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
设 ，则 ，则
，
，故B错误；
不妨设M靠近B， ，得 ，
则 ，当 时， 的最小值为 ：故C
正确；
由 ，且P为 内一点，BP=1，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
所以 的范围是 ，故D错误.
故选：AC
24．已知 为 所在平面内一点，且 ， ， 是边 的三等分点靠近点 ，
， 与 交于点 ，则（ ）A．
B．
C．
D． 的最小值为-6
【答案】ABD
【分析】
由题意得 ，由向量线性运算知 ，故A正确；根据 ， ， 三点共
线可知， 是 的中点，是 靠近 的四等分点，可推出 ，B正确；根据等边三角形求
得 ，可知 ，C错误；建立直角坐标系，利用坐标运
算可得 ，可求得最小值-6，D正确.
【详解】
解：∵ ，∴
又∵ 是边 的三等分点靠近点
∴
∴ ，故选项A正确；
设 ，则
∵ ， ， 三点共线
∴ ，故∴ 是 的中点
∴
又∵ ， ， 三点共线，所以 为 靠近 的四等分点
∴ ，故选项B正确；
∵ 是边长为4的等边三角形
∴
∴ ，故选项C不正确；
以线段 的中点为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 且与 垂直的直线为 轴建立平面直角坐标
系，则点 ， ， ，设点 ，则
∴最小值为-6，故选项D正确.
故选：ABD．
25．在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，点 是其所在平面内一点，（ ）
A．若 ，则点 在 的中位线上
B．若 ，则 为 的重心
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则 是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】
由平面向量的线性运算以及向量共线基本定理可判断A选项的正误；利用三角形重心的向量表示可判断B
选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用正弦定理边角互化可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项， ，则 ，即 ，
设 、 的中点分别为 、 ，则 ，故点 在 的中位线 上，A对；
对于B选项，设 为 的中点，则 ，
所以， ，故 为 的重心，B对；
对于C选项，取 ， ， ，则 满足，但 ，此时， 为直角三角形，C
错；
对于D选项， ，由正弦定理可得 ，
， ，则 ， ，可得 ，
所以， 为等腰三角形，D对.
故选：ABD.
26．下列说法中错误的为（ ）A．已知 ， 且 与 夹角为锐角，则
B．点 为 的内心，且 ，则 为等腰三角形；
C．若 与 平行， 在 方向上的投影为
D．若非零 ， 满足 则 与 的夹角是
【答案】ACD
【分析】
对于A，分析得到 且 ，故A错误；
对于B, 分析得到 ，所以 为等腰三角形，所以B正确；
对于C， 在 方向上的正射影的数量为 ，故C错误；
对于D， 与 的夹角为 ，故D错误．
【详解】
解：对于A， ， 且 与 夹角为锐角，
，
且 时 与 的夹角为 ，所以 且 ，故A错误；
对于B,
所以 ，所以 为等腰三角形，所以B正确；
对于C，若 ，则 在 方向上的正射影的数量为 ，故C错误；
对于D，因为 ，两边平方得， ，则 ， ，
故 ，而向量的夹角范围为 ， ，得 与 的夹角为 ，故
D错误．
故选：ACD
27．如图，ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD= ，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一
定正确的是（ ）
A． 在 上的投影向量为(0，0) B．
C． D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】
由余弦定理求出 ，再由勾股定理逆定理得到 ，即可判断A；
根据平面向量基本定理判断B，根据平面向量数量积的运算律计算即可判断C，首先根据数量积的运算律
求出 ，即可求出 ，即可判断D．
【详解】
解：对于A，因为 ，
因为 ，所以 ，即 ，在 上的投影向量为 ，故A正确；
对于B，因为 ，
设 ，
因为B，F，D三点共线，所以 ，所以 ，
所以 ，所以B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，因为 ，
所以 ，如果 ，又因为 ，
所以 ，不满足 ，故D不正确.
故选：
28．已知 是△ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是△ 的重心
B．若向量 ，且 ，则△ 是正三角形
C．若 是△ 的外心， ， ，则 的值为-8
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】
由平面向量数量积的性质及运算，逐一检验可得解．
【详解】
对于选项 ，因为 ，所以 ，即 ， ，同理 ，，则 是△ 的垂心，故 错误；
对于选项 ，设 的中点为 ， ，即 ， ， ，
为△ 的重心，
又 ， 为 的外心．故△ 的形状是等边三角形，故 正确；
对于选项 ，如图，过 作 ， 垂足分别为 ， ，
则 ， 分别是 ， 的中点，
则 ；故 正
确；
对于选项 ，延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ，则 ， 为△
的重心，
，
， ， ，
，故 正确．
故选： ．
第II卷（非选择题）三、填空题
29．如图，△ABC中， ， ， ， 为△ABC重心，P为线段BG上一点，则 的
最大值为___________.
【答案】20
【分析】
延长 交 于 ，由 为△ABC重心，得 为 的中点，则可得 ，设 ，
可得 ，分别把 用基底 表示，再由数量积的运算结合二次函数求最值可得
的最大值
【详解】
延长 交 于 ，
因为 为△ABC重心，所以 为 的中点，
所以 ,
设 ，因为P为线段BG上一点，所以 ，
因为 为△ABC重心，所以 ，
因为 ,
，所以
其对称轴为 ，
所以当 时， 取得最大值20，
故答案为：20
30．在 中，下列命题中正确的有：___________
① ；
②若 ，则 为锐角三角形；
③ 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 一定过
的重心；④ 是 内一定点，且 ，则 ；
⑤若 ，且 ，则 为等边三角形.
【答案】③⑤
【分析】
利用平面向量的减法可判断①的正误；利用平面向量数量积判断出 为锐角，可判断②的正误；根据平面
向量共线的基本定理可判断③的正误；确定点 的位置，可判断④的正误；分析可得出 ，求出角 的
值，可判断⑤的正误.
【详解】
① ， ①错误；
②若 ，则 为锐角，但无法确定 、 的大小， 为锐角三角形不正确， ②错误；
③由动点 满足 ，得 ，
设点 为 的中点，则 ，即 ，
为 的中线， 过 的重心， ③正确；
④设 为 中点，连接 ，则 是 的中线，由③可知 ，由已知且 得 ，
即 、 、 三点共线，且 为 的中点，
在 中， 是 边上的中线，可得 .
同理可得 中， ，所以， ，
由此可得 ，所以， ， ④错误；
⑤因为 ，
可得 ，因为 、 ， ，
因为 ，且 ，所以， ，
因此， 为等边三角形， ⑤正确.
故答案为：③⑤.
31．已知向量 ， 是平面内的两个非零向量，则当 取最大值时， 与 夹角为________．
【答案】 /
【分析】
根据 ，结合平面向量数量积的运算性质推出 ，再根据题意以
及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量 ， 是平面内的两个非零向量，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，当且仅当时取等号，即 ，则 与 夹角为 ，
∴当 取最大值时， 与 夹角为 .
故答案为： .
32．点 为 所在平面内一点， ， ，若 的面积为 ，
则 的最小值是________．
【答案】
【分析】
在 中，根据题意化简得到 ，根据 的面积为 ，求得 ，再根据 ，
得到 ，设 ，结合点 与点 连线的斜率， 利用直线与半
圆相切，即可求解.
【详解】
在 中，设角 对的三边分别为 ，
由 ，
又由 ，可得 且 ，解得 ，
因为 的面积为 ，所以 ，可得 ，
由 ，可得
，
设 ，其中因为 表示点 与点 连线的斜率，
如图所示，当过点 与半圆相切时，此时斜率最大，
在直角 中， ，可得 ，
所以斜率的最大值为 ，
所以 的最大值为 ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为 .
故答案为： .
33．①若 ， ， ， 为锐角，则实数 的取值范围是
②点 在 所在的平面内，若 ，则点 为 的垂心
③点 在 所在的平面内，若 ， ， 分别表示 ， 的面积，
则
④点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的外心.
以上命题为假命题的序号是___________.
【答案】①④/④①
【分析】
①：利用向量夹角的坐标公式表示写出 关于 的关系式，由 求 的范围，注意排除的情况；②：证得 ， ， ，可判断正误；③：若 分别是
的中点，结合已知得 ，再过 作 上的高，由线段比例确定高的比例即可；④：
, , ,由 等的几何意义及已知条件得 , .
【详解】
①： , ，由 为锐角，故
，且 与 不共线，所以 且 ，故①错误；
②：因为 ，所以 ，即 ，因此 ，同理 ，
，所以点 为 的垂心
，故②正确；
③：若 分别是 的中点，则 ， ，所以
，故 ，即 共线且 ，
过 作 上的高 ，易知 ，则 ，所以 ，故③正确；④：如下图， ，则 ，
，由已知条件知： ， ，易知 为△ 的内心，故④
错误；
故答案为：①④.
34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 ，则 ________.
【答案】
【分析】
以 和 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，求得 和 ，得到 、的坐标，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，以 和 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
因为 ，可得 ，
所以 为 的中点，
可得 ，则 ，所以
又由 ，
可得 ，
所以 ，所以 ，
则 .
35．已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值是________.
【答案】
【分析】
先换元，转化为直线与椭圆相切的问题,通过数形结合求解.
【详解】设 ，则 ，
= ，
，
令 ，
则 ，即
设
结合图形可知当直线 ，与 相切时， 有最大值.
整理得 ，
有 ，解得 （ 舍去）
将 代入方程得 ，解得
即 的最大值为
故答案为：
36．已知平面向量 ， 的夹角为45°， 且 ，则 的最小值是
___________.
【答案】
【分析】
设 ，则 点在一条直线 上运动， ，于是问题转化为将军
饮马问题，把 点关于直线 对称过去，设为 ，则最小值为 的长
【详解】
解：如图所示，设 ，则 三点共线，且 ，设 ，因为平面向
量 ， 的夹角为45°，
所以 点在一条直线上运动，且这条直线与 的夹角为45°，设这条直线为 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 点关于直线 的对称点为 ，连接 交直线 与点 ，连接 交直线 与点 ，
所以 ，当 点与 点重合时，不等式取等号，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故答案为：
四、解答题
37．平面直角坐标系xOy中，已知向量 ， ， ，且 ．
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出 的范围；
（2）若 ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)16
【分析】
（1）由 可得 ．故
， ，将问题转化为二次函数的最值求解；（2）由于 ，
，再根据条件求出 的值，进而确定出 的坐标，然后根据
求解．
【详解】
（1）由题意得 =（x+4，y﹣2）， ，∵ ，
∴（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，
整理得即x+2y=0．
∴ = ，y∈[0，2]．
结合二次函数的知识可得 ．
∴ 的范围是 ．
（2）由题意 ， ，
∵ ，
∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，
即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，
由 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ．
综上可得 四边形ABCD的面积为16．
38．在 中，角 所对边分别为 ， ， ， ，且 为 边上的中线，
点在 上，满足 .
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ，
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理和条件 可得 ，再利用余弦定理可得线段 的长；
（2）先由题得 为 的角平分线，过 作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，再利用
求出 ，通过 可得答案.
（1）
由正弦定理得 ，则 ，
又
解得 （负值舍去）
即 .
（2）
由 得 为 的角平分线，
过 作 的垂线，垂足分别为 ，则
又
，得.
39．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ．
（1）若向量 与 共线，求实数 的值；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由 与 共线，得到 ，然后由 ，即 ，根
据 ， 不共线求解；
（2）法一：根据 与 的夹角为锐角，由 且 与 的夹角不为 求解；法
二：设 与 的夹角为 ，然后由 即 求解．
（1）
解：因为 与 共线，所以 ，
即存在实数 ，使得 ，即 ，因为 ， 不共线，所以 解得 ，
故 ．
（2）
法一：因为 与 的夹角为锐角，
所以 且 与 的夹角不为 ．
首先 ，
因为 ，
所以 ，解得 ；
其次当 时，由（1）得 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
法二：设 与 的夹角为 ，由已知得 ．
因为 ， ，
．
．
所以 ，
解得 ， ，
所以 的取值范围为 ．
40．在等边 中， ，点 为 的中点， 交 于点 .（1）证明：点 为 的中点；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）设 ，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得 ，即可求证；
（2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解
【详解】
（1）证明：设 ，
点 为 的中点，
，
.
， ， 三点共线，
，
，
点 为 的中点.
（2）由（1）知， .设 ，
， ， 三点共线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．如图，在等腰△ 中，已知 分别是边 的点，且
，其中 且 ，若线段 的中点分别为 ，则 的最小
值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得 ， ，又
且 且 ，可得 关于 的函数式，由二次函数的性质即可求 的
最小值.
【详解】在等腰△ 中， ，则 ，
∵ 分别是边 的点，
∴ ， ，而 ，
∴两边平方得：
，而 ，
∴ ，又 ，即 ，
∴当 时， 最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：C
2．在 中， ，点 在边 上，且 ，设 ，则当 取最
大值时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据 ，利用两角和与差的正弦公式化简得到 ，进而求得A，根据点
在边 上，且 ，得到 ，再由余弦定理结合 两边平方，得到 ，令 ，得到 ，用导数法求
得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
因为点 在边 上，且 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，令 ，得 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，
所以 ，解得 ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 ，
即 .
故选：B
3．已知 为单位向量，且 ，若非零向量 满足 ，则 的最大值是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ， ，由 ，计算可得 ，设 ， ，由
，计算可得 ，可推出 时，等号成立，计算可得
，结合 ，可求出，从而可求出 的最大值.
【详解】
由题意，可设 ， ，则 ，
由 ，可得 ，整理得 ，
设 ， ，
由 ，可得 ，
即 ，所以 ，
当 时， 或 ，
即 或 ，
因为 ，所以 不符合题意，
故 时， .
而 ，
因为 ，所以 ，
当 时，等号成立，此时 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.4．如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，
，若点F为边 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，设出 点坐标，求得 的表达式，进而求得 的最小值.
【详解】
以 为原点建立如图所示平面直角.
依题意 ， ， ，
在三角形 中，由余弦定理得
.
所以 ，所以 .
而 ，所以 .
在三角形 中，由余弦定理得 .
所以 ，所以 .
在三角形 中， ，所以三角形 是等边三角形，
所以 .所以 ，设
依题意令 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
对于二次函数 ，其对称轴为 ，开口向上，所以当 时， 有最
小值，也即 有最小值为 .
故选：B
5．在 中，已知 ， ， 的面积为6，若 为线段 上的点（点 不与点 ，
点 重合），且 ，则 的最小值为（ ）.
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意得 ， ，进而得 ， ， ， ， ，进而
得 ， ，故 ，再根据 为线段 上的点得 ，最后结合基本不等
式求解即可得答案.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以由余弦定理得： ，即 .
所以 ，
因为 为线段 上的点（点 不与点 ，点 重合），
所以 ，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 .
故选：C.
6．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的一点，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由sinB=cosA•sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由 ，S =6可得bccosA=9， 可
ABC
△
求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
,由 ， 为单位向量，可得 ， ，
可得 ,可得 ， 则由 ，利用基本不等式求解最小值．
【详解】
中设 ， ，
， ，
即 ，
，
， ，
， ，
， ，，根据直角三角形可得 ， ，
， ， ，
以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴建立直角坐标系可得 ， ， ，P为直
线 上的一点，
则存在实数 使得 ,
设 ， ，则 ， ， ,
,
， 则 ,
,
故所求的最小值为 ,
故选：D.
7．已知O是 所在平面上的一点，若 （其中P是 所在平面内任意一
点），则O点是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成 与 方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在
角平分线上,即可得解.
【详解】
因为
则 ,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得 ,即
设 为 方向上的单位向量, 为 方向上的单位向量
所以 ,
则
所以
则 在 的角平分线上
同理可知 在 的角平分线上
因而 为 的内心
故选:B8．已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2， ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ， 向量的夹角为 ，可得 ，即可求出 ，不妨设 ， ，
设 ，由 ，整理可知点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，而
，结合圆的性质，可求出 的最小值.
【详解】
设 ， 向量的夹角为 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 .
不妨设 ， ，设 ，
则 ，整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，记圆心为 ，
又 ，即 ，
当直线 过圆心 ，且垂直于 轴时， 可取得最小值，即 .故选：A.
9．已知 的内角分别为 ， ，且 的内切圆面积为 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换可得 ，由题设有内切圆半径 ，进而可得 ，由三角形面积公式
、向量数量积的定义 ，可得 ，再由余弦定
理及基本不等式求 的范围，进而可得 的最小值.
【详解】
由题设， ，又
∴ ，又 ，故 ，则 ，
又 的内切圆面积为 ，若内切圆半径为 ， 对应边分别为 ，∴ ，则 ，易知： ，
∵ ，
∴ ，又 ，即 ，
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 ，可得 ，
∴ ，在 时等号成立.
∴ 的最小值为6.
故选：A
10．如图，在等腰梯形 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点.如果对
于常数 ，在等腰梯形 的四条边上，有且只有8个不同的点 使得 成立，那么 的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
建立坐标系，设 的坐标，根据 得到关于 的方程，根据 的位置分四种情况讨论方程解得情
况．
【详解】
解：以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为 ， ， ， ， ， ， ．
（1）当 在 上时，设 ， ，则 ， ．
于是 ，
当 时，方程有一解，当 时， 有两解；
（2）当 在 上时，设 ， ，则 ， ．
于是 ，
当 时，方程有一解，当 时， 有两解；
（3）当 在 上时，直线 方程为 ，
设 ， ，则 ， ．
于是 ．
当 或 时，方程有一解，当 时，方程有两解；（4）当 在 上时，直线 的方程为 ，
设 ， ，则 ， ．
于是 ．
当 或 时，方程有一解，当 时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点 满足 成立，
则 的取值范围是 ， ， ， ， ， ．
故选： ．
11．已知平面向量 ， ， （ 与 不共线），满足 ， ，设
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，由已知条件判断出 ，即 是等腰直角三角形，以 为坐
标原点， 所在的边为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则 ， ，得，再由 得 ，设 ，求出 范围
可得答案
【详解】
设 ，则 ，
，
所以 ，即 是等腰直角三角形，以 为坐标原点，
所在的边为 轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则 ， ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
两式相加得 ，
所以 ，
因为 ，所以设 ，
所以 ，
因为 不共线，所以 不共线，所以 ，
所以 ， ，，
所以 ，
故选：A.
12．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为 的直线与双曲
线在第二象限的交点为 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 得 ，由此求得 的坐标，将 的坐标代入双曲线方程，化简求得 ，从
而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
依题意 ，
所以 ，
，设直线 的倾斜角为 ，则 为钝角， ，
结合 解得 ，
设 ，则 ，
，
将 点坐标代入双曲线方程得 ，而 ，
所以 ，化简得 ，
，
，
， ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：A
13．半径为 的圆 上有三点 、 、 满足 ，点 是圆内一点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 与 交于点 ，由 得四边形 是菱形， 是对角线中点， 用
和其他向量表示并计算数量积后可得 ＝ ，由点与的位置关系可得 的取
值范围，得结论．
【详解】
如图， 与 交于点 ，由 得： ，
所以四边形 是菱形，且 ，则 ， ，由图知 ， ，而 ，
∴ ，
同理 ， ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是圆内一点，则 ，∴ ，
故选：A.
14．已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作 ， ， ，取 的中点 ，连接 ，分析出 为等边三角形，可求得 ，计
算得出 ，利用圆的几何性质求出 面积的最大值，即可
得出结果.
【详解】
如下图所示，作 ， ， ，取 的中点 ，连接 ，
以点 为圆心， 为半径作圆 ，， ， ，
所以， 为等边三角形，
为 的中点， ，所以， 的底边 上的高为 ，
， ，
所以， ，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当 、 、 三点共线且 为线段 上的点时，
的面积取得最大值，此时， 的底边 上的高 取最大值，即 ，则
，
因此， 的最大值为 .
故选：B.
15．平面上的两个向量 和 ， ， ， ， 若向量，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得出 ， 画出图形，取 的中点D，求出 ，说明C在以D为圆心的圆上，
利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出.
【详解】
∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，取 的中点D，且 ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴C在以D为圆心， 为半径的圆上，
∴ 的最大值为 .
故选:B.
二、多选题
16．对于给定的 ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点 的直线 交 于 ，若 ， ，则
D． 与 共线
【答案】ACD
【分析】
根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运
算法则可以 即 ，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；
利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算
和向量垂直的条件可以判定 与 垂直，从而说明D正确.
【详解】如图，设AB中点为M,则 ,
,故A正确；
等价于 等价于 ,即 ，
对于一般三角形而言， 是外心， 不一定与 垂直，比如直角三角形 中，
若 为直角顶点，则 为斜边 的中点， 与 不垂直.故B错误；
设 的中点为 ,
则 ，
∵E,F,G三点共线， ，即 ,故C正确；,
与 垂直,又 ,∴ 与 共线，故D正确.
故选：ACD.
17．如图，直角 的斜边BC长为2， ，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，
点A在线段BC的右上方则（ ）
A． 有最大值也有最小值 B． 有最大值无最小值
C． 有最小值无最大值 D． 无最大值也无最小值
【答案】BD
【分析】
设 ，则 ，所以 ，
， .由 化简为 根据 的范
围可判断A；由 化简为 根据 的范围可判断B；由 化简为
根据 的范围可判断C；由 化简为 根据 的范围可判断D.
【详解】
由题意 ， ，所以 ，设 ，
则 的补角即 与x轴正半轴的夹角 ，所以 ， ， ，
所以 ，
，
由于 ，所以 ，
当 得 时， 取最大值为1，无最小值，
有最大值为 ，无最小值，
故 有最大值 无最小值，即A错误；
所以 ，
由于 ，所以 ，
当 得 时， 取最大值为1，无最小值，
的最大值为 ，无最小值，
故 有最大值 无最小值，故B 正确；
，
由于 ，所以 ，
当 得 时， 取最大值1，无最小值，此时 有最大值 ，无最小值，
即 有最大值 无最小值，故C错误；
，
由于 ，所以 ，
所以 ， 既无最大值也无最小值，D 正确.
故选：BD.
18．在 中， ， ， 、 的交点为 ，过 作动直线 分别交线段 、
于 、 两点，若 ， ，则 的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先证明结论：当 为直线 外一点时， 、 、 三点共线 ， .计
算出 ，设 ，结合 ， 可得出，然后将 与 相乘，展开后利用基本不等式求出 的最小值，即可得出
结论.
【详解】
先证明结论：当 为直线 外一点时， 、 、 三点共线 ， .
充分性：若 、 、 三点共线，则存在 ，使得 ，即 ，所以，
，
因为 ，则 ，充分性成立；
必要性：因为 且 ，
所以， ，即 ，所以， ，
所以， 、 、 三点共线.
本题中，取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
， ，即 ，
，即 ， ， ，
， ，、 、 三点共线， 为直线 外一点，则 且 .
， ，则 ，
所以， ，可得 ，由 可得 ，
由基本不等式可得 .
当且仅当 时，等号成立.
所以， 的最小值为 ，ABC选项均不满足 .
故选：ABC.
19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点，
、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .若 是锐角
内的一点， 、 、 是 的三个内角，且点 满足 ，则（
）
A． 为 的垂心
B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
首先可根据 得出 ，用相同的方式得出 、 ，即可得出A正确，
然后作辅助线，根据 、 即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出
，即 ，用相同的方式得出 ，即可得出C错误，最后
结合解三角形面积公式以及B项得出 、 、 ，根据“奔驰定理”得出
，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项： ，即 ，
， ， ，
同理可得 ， ，
故 为 的垂心，A正确；
B：如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，
则
，B正确；
C项：在 中，由正弦定理易知 ，
因为 ， ，
所以 ，
即 ， ，
同理可得 ，
故 ，C错误；
D项： ，同理可得 ， ，
则
，
同理可得 ， ，
因为 ，
所以将 、 、 代入，可得 ，
因为 ，所以 ，
故 成立，D正确，
故选：ABD.
20．对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量 与 共线
D．过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】
A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据 的几何意义即可判断正误；
C：应用向量数量积的运算律及定义化简 ，再根据 判断正误；D：根
据平面向量基本定理可得 ，再由三点共线即可证.
【详解】
A： 为外心，则 ，仅当 时才有 ，错误；
B：由 ，又 ，故 ，正确；
C：，即 与 垂直，又 ，所以 与
共线，正确；
D： ，又 三点共线，则 ，故 ，正确.
故选：BCD
21．已知平面向量 满足 ， ， ，对任意的实数 ，均有 的最小值为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． 与 夹角的余弦值为 B． 的最小值为2
C． 的最小值为2 D．若 时，这样的 有3个
【答案】AC
【分析】
首先根据向量的垂直关系建立平面直角坐标系，利用向量的坐标法来解决本题，给出向量 和
，再根据已知条件给出向量 终点C点的轨迹方程为 ；
对于A选项，可以通过向量 ， 的坐标表示，结合夹角余弦的计算公式得到结果；
对于B选项， ，利用函数思想给出向量 模长的最小值为1；对于C选项：因为 表示抛物线上的点 到 和
距离之和，再结合抛物线的定义，利用数形结合可以求出 的最小值为2；
对于D选项： 可得 (舍负)，代入抛物线方程得到： ，所以 ，
故这样的 有2个.
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，
在平面直角坐标系中令 ，
设 ，过点 作 ,垂足为 ，
则 而 ,
所以 ,
由抛物线的定义知：点 在以 为焦点， 为准线的抛物线上运动且方程为
对于A:因为 ，所以 与 夹角余弦值：
，故A对；
对于B:
当 时， 取得最小值，最小值为1，故B错；
对于C： ，表示抛物线上的点 到 和
距离之和，
由抛物线的定义知：
所以 ，故C对；
对于D：
所以 ，又因为 ，所以 ，
代入抛物线方程得到： ，所以 ，
故这样的 有2个，故D错.
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题
22．已知平面向量 满足： ，当 与 所成角 最大时，则
______
【答案】
【分析】方法一：记 ， ， ，由条件可得 ，由此确定点C的轨迹，则 与 的
夹角为 ，证明当C为过 ， 两点的圆 与圆 相外切时的切点时， 最大，设圆 的半径为
，再由正弦定理可得 ，利用余弦定理求得 ，由此可得 ，方法二：以O为原点，
OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则 与 的夹角为 ，证明当C为过 ， 两
点的圆 与圆 相外切时的切点时， 最大，由 求点E的坐标，由此可求 .
【详解】
解：记 ， ， ，
则 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆．过 ， 两点的圆 与圆 相外切，记切点为 ，此时
最大（如图）．
下证上述结论：取圆 上不同于切点 的 点，因为 在圆 的外面，
所以 ．
下面求当 最大时， 的值．
记圆 的半径为 ，则 ．
所以只需求出圆 的半径为 即可．
法一：如右图， 为弦 的中点，
在 中，由余弦定理求得 ，，则 ．
在 中， ， ， ， ，
由余弦定理得， ．
即 ．
法二：如图建系， ， ， ，点 在以 为圆心，1为半径的圆上．
以 为弦长作圆 ，当圆 与圆 外切时 最大．
圆心 在弦 的中垂线 上，设 ，
则 ，
即 ，
化简得 ，即 或 （舍去），
此时 ，得 ．
故答案为： .
23．已知 中， ， ，且 的最小值为 ，则 __________.
【答案】3【分析】
由题可知，向量 与 均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.
【详解】
记 ， ，则 表示与 同方向的单位向量.又 ，则B、D、E
三点共线.
当 与 垂直时， 有最小值 ，所以 .所以
.
故答案为：3.
24．在平面内，若有 ， ，则 的最大值为________．
【答案】
【分析】
由条件可以求得 ，从而可作 ，并连接 ，取 的中点 ，连接 ，则有
，根据条件可以得到 ，可作 ，并连接 ， ，从而可以得到
，即点 在以 为直径的圆上，从而得出当 在 上的投影最大时， 最大．通过计算，
即得出 在 上的投影最大值，从而得出 的最大值.
【详解】解：根据条件， ；
；
，如图，作 ，则 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则
；
由 得， ；
；
作 ，连接 ， ，则 ；
；
点在以 为直径的圆上；
当 运动到圆的最右侧时， 在 上的投影最大，即 最大；
又 ,
又 ,且 ,
所以 ,
所以 在 上的最大投影为 ，
所以 ,
故答案为：25．已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集
，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的最小值为______.
【答案】 .
【分析】
由 ，可得 ， ， 共线，再由向量的数量积的几何意义可得 为 的平分
线，由角平分线的性质定理可得 ，可得 的轨迹为圆，求得圆的直径与 的关系，即可得
到所求最值．
【详解】
解：由 ，
可得 ， ， 共线，
由 ，
可得 ，
即有 ，
则 为 的平分线，
由角平分线的性质定理可得 ，
即 的轨迹为圆心在 上的圆，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
可得 ，
由函数 在 上递增，可得 ，
即有 ，
即 ，由题意可得 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
26．如图，在△ABC中， ， ， ，直线FM交AE于点G，直线MC交
AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则 ___________.
【答案】
【分析】假设 ，首先根据向量共线求得 ，同理得 ， ，最后由于
， ,从而计算 即可.
【详解】
解：设 ，
而 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
得 ，
所以 .
同理 ，所以 .
，
，
,
所以 .
27．如图，在△ 中， ， ， ．若 为△ 内部的点且满足 ，
则 ________．【答案】
【分析】
根据已知的向量关系先分析出 ，然后通过设 ，根据相似三角形以
及正弦定理找到 的关系，从而可求解出 的结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，同理可知： ，
不妨设 ，所以 ，
又因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
在 中， ，
所以 ，所以 ，又在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
28．在三角形 中， 的三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的五个命题：
①若 ， ，且 与 夹角为锐角，则 ；
②若 ，则 为等腰三角形；
③点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是三角形ABC的重心；
④ ， ，若 ，则 为锐角三角形；
⑤若 为 的外心， .
其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）
【答案】④⑤/⑤④【分析】
利用向量夹角的坐标表示计算判断①；利用正弦定理边化角推理判断②；利用向量数量积运算判断③；
利用数量积及三角变换判断④；由三角形外心结合数量积运算判断⑤即可作答.
【详解】
①若 与 夹角为锐角，则 且 与 不共线，即 ，即 且 ，①不正确；
②在 中， ，由正弦定理得 ，即 ，
而 ，则 或 ，即 或 ， 为等腰或直角三角形，②
不正确；
③由 得， ，即 ，
同理可得， ，则点O是 的垂心，③不正确；
④ ， ，则 ，
而 ，则有 ，
必有 ，角 都是锐角，因此 为锐角三角形，④正确；
⑤若 为 的外心，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，则 ， ，
则 ，同理： ，
则 ，⑤正确.
故答案为：④⑤
四、解答题
29．已知 为 的外心，求证. .【答案】证明见解析
【分析】
以 为坐标原点，A 为 轴的正半轴，设 ，结合三角形所在边的直线方程，利用
叉积运算，分别得到 ，进而得到 ，再结合三角形
面积公式和 证明即可.
【详解】
如图，以 为坐标原点，A 为 轴的正半轴，
在 轴的上方，则 ，直线 的方程是 ，
因为点 与点 必在直线 的同侧，且 ，
所以有 ，得 .
直线 的方程是 ，由于点 与点 必在直线 的同侧，且 ，
所以有 ，得 .
于是 ，
又 ，
，
，又 ，
所以 .证毕.
30．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为 ， ， ，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
【分析】
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设
， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得： ， ， ，
， ，
， G，H，I三点共线；
（2）以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设
， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ，则设外心 ，垂心 的坐标为 ， ， 的中点为 ，
， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ，
， ， 的坐标为 ， ，
， ， ， ，
由 ，
则 ，
即 ，
外心 的坐标为 ，垂心 的坐标为 ，
， ， ， ，得 ，
， ， 三点共线.
