文档内容
重难点 11 空间角与探索性问题（2 种考法）
【目录】
考法1：空间角问题
考法2：探索性问题
二、命题规律与备考策略
1.求异面直线所成的角的三步曲
2.求直线和平面所成角的关键
作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体
积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法
（1）由定义做出二面角的平面角
（2）用三垂线定理找二面角的平面角
（3）找公垂面
（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角
4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
5.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)
6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然
后再根据条件给出证明或计算。
〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只
需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”
问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这
一方法解题。
三、题型方法
考法1：空间角问题
一．解答题（共15小题）
1．（2023•蓬莱区三模）如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是 ，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是 ，
求异面直线DE与AB所成角的余弦值．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAV＝90°，点D，E，N分
别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．（1）求证：MN∥平面BDE；
（2）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
3 ． （ 2023• 盐 湖 区 校 级 二 模 ） 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC﹣ A B C 中 ， 侧 面 BB C C 为 菱 形 ，
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．
（1）证明：平面ACB ⊥平面BB C C；
1 1 1
（2）求二面角A﹣A C ﹣B 的余弦值．
1 1 1
4．（2023•碑林区校级模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝ CP，DE＝ DA．
（1）证明：EF∥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
5．（2023•全国模拟）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC＝AB＝
4，BC＝2．
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥ABCD的外接球表面积为20 ，求二面角E﹣CO﹣B的余
弦值． π
6．（2023•泉州模拟）三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ＝AB＝2 ，CA ＝4，CB ＝2 ，∠BAA ＝60°．
1 1 1 1 1 1 1（1）证明：CA＝CB；
（2）若CA＝4，求二面角A ﹣CB ﹣C 的余弦值．
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7．（2023•哈尔滨一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三
角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC．
（1）求点A到平面PBC的距离；
（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 ，求平面ADE与平面
ABCD夹角的余弦值．
8．（2023•天津一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，点E、
F分别为线段PB、CQ的中点．（1）求证：EF∥平面PADQ；
（2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；
（3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是 ，若存在求出 的
值，若不存在，说明理由．
9．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝6，E，F为棱PC的三等分点．
（1）求异面直线AE，BF夹角的余弦值；
（2）求三棱锥A﹣BEF的体积．
10．（2023•江苏模拟）如图，在三棱台ABC﹣A B C 中，BA⊥BC，平面A B BA⊥平面ABC，二面角B
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﹣BC﹣A的大小为45°，AB＝2，BC＝A B ＝AA ＝1．
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（1）求证：AA ⊥平面ABC；
1（2）求异而直线BA 与CB 所成角的余弦值．
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11．（2023•南通模拟）三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AB ＝AA ＝AC＝2，∠BAC＝120°，线段A B 的中
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点为M，且BC⊥AM．
（1）求AA 与BC所成角的余弦值；
1
（2）若线段B C 的中点为P，求二面角P﹣AB ﹣A 的余弦值．
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12．（2023•日照三模）如图，在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB＝2，侧面ABB A 是正方形，且平面
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A BC⊥平面ABB A ．
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（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A BC所成的角为 为线段A C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二
1 1面角的大小．
13．（2023•四川模拟）已知棱锥P﹣ABCDE的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，△ADE为等
腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．
（1）在线段PB上找一点G，使得平面GAC∥平面PDE，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，二面角B﹣DE﹣P为120°，求CG与平面PAC所成角的正弦值．
14．（2023•山西模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中．平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝
2AB＝2BC，AS＝DS，点E，F分别为AS，CD的中点．
（1）证明：BE∥平面SCD；
（2）若AB＝1， ，求二面角C﹣AS﹣F的余弦值．15．（2023•乙卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2 ，PB＝PC＝ ，AD＝
DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）证明：EF∥平面ADO；
（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．
考法2：探索性问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台 的体积为 ，其中 .(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知 ， ，点P在底
面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设 ，则在线段PC上是否存在一点M，使得 与平面 所成角的余弦值为 ，
若存在，设 ，求出 的值，若不存在，请说明理由.
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在梯形 中， ，， 为 的中点，将 沿 折起至 的位置，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)判断在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 成角的正弦值为 .若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.
4．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在 中， ， 为 边上一动点，
交 于点 ，现将 沿 翻折至 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且 ，线段 上是否存在一点 （不包括端点），使得锐二面角
的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理由.5．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图 ，菱形 的边长为 ， ，将 沿 向上
翻折，得到如图 所示得三棱锥 .
(1)证明： ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由.
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面ABCD为梯形的多面体中. ，BC⊥CD，
，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，
确定点Q的位置并加以证明．7．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在四棱锥 中， ，四边形 是
菱形， 是棱 上的动点，且 ．
(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
8．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台 中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等
的等腰梯形， ， 分别为 的中点，上下底面中心的连线 垂直于上下底面，且
与侧棱所在直线所成的角为 .(1)求证： ∥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由
9．（2023·天津·校联考一模）已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，
点 、 分别为线段 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，
若不存在，说明理由．10．（2023·河北保定·统考一模）如图，平行六面体 的所有棱长均为 ，底面 为
正方形， ，点 为 的中点，点 为 的中点，动点 在平面 内．
(1)若 为 中点，求证： ；
(2)若 平面 ，求线段 长度的最小值．
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， 为线段 上一点，点 在边 上且 .
(1)若 为 的中点，求四面体 的体积；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ？若存在，求出 的长；若不
存在，请说明理由.12．（2023·山东济宁·统考二模）如图，圆柱的轴截面 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦
交 于点 ，其中 ．
(1)证明：平面 平面 ;
(2)判断上底面圆周上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ．若存在，求 的长;若不存在，
请说明理由．
13．（2023·山东泰安·统考二模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角
形，D，E分别为 ， 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点F，使得平面 与平面 的夹角为 ，若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由．14．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，三棱锥 的体积为 ．
(1)求侧棱 的长；
(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段 的长；
若不存在，请说明理由．
