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专题 12 圆锥曲线中的“设而不求”
一、考情分析
研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为
繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用
“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体
思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设
条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,
都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消
去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，
设出直线的方程，再通过运算消去.
【例1】（2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中）已知椭圆 的长轴长为 ，
， 为 的左、右焦点，点 在 上运动，且 的最小值为 .连接 ， 并
延长分别交椭圆 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）由题意得 ，
设 ， 的长分别为 ， ，则 ，当且仅当 时取等
号，
从而 ，得 ， ，
则椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）得 ， ，
设 ， ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
则 ，
，
同理可得 ，
所以 .
所以 为定值 .【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为 ， ，一个
焦点为 .
(1)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
当点 异 ， 两点时，试问 是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，
由已知得 ， ，所以 ，
椭圆的方程为 ，
当直线 与 轴垂直时与题意不符，
设直线 的方程为 ， ， ，
将直线 的方程代入椭圆的方程化简得 ，
则 ， ，
∴ ，解得 .∴直线 的方程为 ；
（2）当 轴时， ，不符合题意，
当 与 轴不垂直时，设 ： ，则 ，
设 ， ，联立方程组 得 ，
∴ ， ，
又直线 ： ，直线 ： ，
由 可得 ，即 ，
，
，
，
，
，即 ，得 ，
∴ 点坐标为 ，
∴ ，
所以 为定值.
(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的
坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策
略进行的.
【例3】（2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测）已知椭圆 的离心率为 ，
过坐标原点 的直线交椭圆 于 两点，其中 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 .
当 为椭圆的右焦点时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为 的延长线与椭圆 的交点，试问： 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明
理由.
【解析】（1） 椭圆离心率 ， ，则 ，
当 为椭圆右焦点时， ；
，解得： ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）由题意可设直线 ， ， ，
则 ， ， ， 直线 ；由 得： ，
，则 ，
， ；
，又 ，
，则 ，
为定值 .
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中）作斜率为 的直线l与椭圆 交于
两点，且 在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明： 的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设 ， ， 中点坐标为 ，
所以有 ，联立 ，得 ，得 ，得
，由韦达定理可知 ， ，所以，所以 ，化简得： ，所以线段AB的中
点在直线 上.
（2）由题可知 ， 的斜率分别为 ， ，所以
，因为
得
由（1）可知 ， ，所以
，又因为 在直线l的左上方，所以
的角平分线与 轴平行，所以 的内切圆的圆心在 这条直线上.
(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参
数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆 的左右焦点分别为 ,
,其离心率为 ,P为椭圆C上一动点, 面积的最大值为 .（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点 的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得 为定值？若
存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,因离心率为 ,则 ,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线
的距离最大,
则有 ,于是得 ,又 ,联立解得 ,
所以椭圆C的方程为： .
（2）由(1)知,点 ,
当直线斜率存在时,不妨设 , , ,
由 消去y并整理得, , , ,
假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点 ,
则
,
当 ,即 时, ,
当直线l斜率不存在时,直线l： 与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令 ,
当点 坐标为 时, , ,所以存在定点 ,使得 为定值 .
(四) 中点弦问题中的设而不求
与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标 代入圆锥曲线方程作差,得到关于
的关系式,再结合题中条件求解.
【例6】中心在原点的双曲线 焦点在 轴上且焦距为 ,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后
面问题：
①该曲线经过点 ；
②该曲线的渐近线与圆 相切；
③点 在该双曲线上, 、 为该双曲线的焦点,当点 的纵坐标为 时,恰好 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过定点 能否作直线 ,使 与此双曲线相交于 、 两点,且 是弦 的中点？若存在,求出 的方
程；若不存在,说明理由.
【解析】(1)设双曲线 的标准方程为 .
选①：由题意可知,双曲线 的两个焦点分别为 、 ,
由双曲线的定义可得 ,则 ,故 ,
所以,双曲线 的标准方程为 .
选②：圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
双曲线 的渐近线方程为 ,由题意可得 ,解得 ,即 ,因为 ,则 , ,
因此,双曲线 的标准方程为 .
选③：由勾股定理可得 ,
所以, ,则 ,则 ,故 ,
所以,双曲线 的标准方程为 .
(2)假设满足条件的直线 存在,设点 、 ,则 ,
由题意可得 ,两式作差得 ,
所以,直线 的斜率为 ,所以,直线 的方程为 ,即 .
联立 ,整理可得 , ,
因此,直线 不存在.
三、跟踪检测
1．（2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测）已知椭圆 的右焦点为F，离心
率为 ，上顶点为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若 ， ，判断 是
否为定值？并说明理由．
2．（2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考）如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 交于 ， 两点，直
线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，当直线 的斜率为 时， .
(1)求椭圆 的方程.
(2)试问是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由.
3．（2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考）已知椭圆 的离心率为 ，椭
圆的短轴端点与双曲线 的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线l与椭圆相交于A，B两
点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于 轴的对称点为点E，证明：直线 与 轴交于定点.
4．（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线 经过
点 ，两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于 两点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)若动直线 经过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过
点？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
5．（2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考）平面内一动点 到定直线 的距离，是它与定点
的距离的两倍.
(1)求点 的轨迹方程 ；(2)过 点作两条互相垂直的直线 ， （直线 不与 轴垂直）.其中，直线 交曲线 于 ， 两点，直
线 交曲线 于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ，若直线 ， ， 的斜率 ，
， 构成等差数列，求 的值.
6．（2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线
，点M到l的距离为d，若点M满足 ，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设 ，证明：以P，Q为直径的圆经过点
A．
7．（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆 的左､右焦点分别为
， ， ，面积为 的正方形ABCD的顶点都在 上.
(1)求 的方程；
(2)已知P为椭圆 上一点，过点P作 的两条切线 和 ，若 ， 的斜率分别为 ， ，
求证： 为定值.
8．（2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试）已知 分别为椭圆 的左、
右焦点，过点 且与 轴不重合的直线与椭圆 交于 两点， 的周长为8.
(1)若 的面积为 ，求直线 的方程；
(2)过 两点分别作直线 的垂线，垂足分别是 ，证明：直线 与 交于定点.9．（2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考）已知双曲线 ： 的焦距为4，
且过点
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的左焦点 分别作斜率为 的两直线 与 ，直线 交双曲线 于 两点，直线 交双曲
线 于 两点，设 分别为 与 的中点，若 ，试求 与 的面积之比.
10.（2022届北京市海淀区高三上学期期末）已知点 在椭圆 ： 上.
（1）求椭圆 的方程和离心率；
（2）设直线 ： （其中 ）与椭圆 交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线 于点
M,N.当 的面积为 时,求 的值.
11.（2022届天津市第二中学高三上学期12月月考）已知椭圆 的长轴长是4,且过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l： 交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.
12.（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟）已知椭圆C : =1(a>b>0)的右顶点
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与抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C 的离心率为 ,过椭圆C 的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物
2 1 1
线所得弦的长度为4 .
（1）求椭圆C 和抛物线C 的方程.
1 2
（2）过点A(-4,0)的直线l与椭圆C 交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线
1EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
13．（2022届河北省高三上学期省级联测）已知椭圆P焦点分别是 和 ,直线 与椭
圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为 的重心,
求 的面积.
14．（2022届广东省佛山市高三上学期期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ,且过点 .
（1）求C的方程；
（2）设 ,直线 不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线 与C交于另一点D,求证：直
线 过定点.
15．（2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟）设双曲线 的右顶点为 ,
虚轴长为 ,两准线间的距离为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）设动直线 与双曲线 交于 两点,已知 ,设点 到动直线 的距离为 ,求 的最大值.
16．（2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测）如图,已知椭圆 ,椭圆
, 、 . 为椭圆 上动点且在第一象限,直线 、 分别交椭圆 于 、
两点,连接 交 轴于 点.过 点作 交椭圆 于 ,且 .（1）证明： 为定值；
（2）证明直线 过定点,并求出该定点；
（3）若记 、 两点的横坐标分别为 、 ,证明： 为定值.
17．（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考）已知圆 ： ,椭圆 ：
的离心率为 , 是 上的一点, 是圆 上的一点, 的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 是 上异于 的一点, 与圆 相切于点 ,证明： .
18．已知双曲线 ： （ , ）的实轴长为 ,离心率 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 相交于 , 两点,弦 的中点坐标为 ,求直线 的方程.
