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重难点 10 奔驰定理与四心问题【五大题型】
【新高考专用】
平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决
平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中
的重要问题，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题
要学会灵活求解.
【知识点1 奔驰定理】
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，且满足 ，则有△APB、△APC、△BPC的
面积之比为 .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利
用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作
用.
【知识点2 四心问题】
1．四心的概念及向量表示
(1)重心的概念及向量表示
①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.
②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心 .
③重心坐标公式：设A(x,y)，B(x,y)，C(x,y)，则△ABC的重心坐标为P
1 1 2 2 3 3
.
(2)垂心的概念及向量表示
①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.
②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心 .
(3)内心的概念及向量表示
①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.
②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量 所在的直线上，点P为
△ABC内心 .(4)外心的概念及向量表示
①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的
距离相等.
②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心 .
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心： .
(2)O是△ABC的垂心： .
(3)O是△ABC的内心： .
(4)O是△ABC的外心：
.
【题型1 奔驰定理】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为
，则 .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象
S ,S ,S S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗ logo
1 2 3 1 2 3
地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0⃗，则
tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=（ ）A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB
的面积分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优
S S S S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗
1 2 3 1 2 3
美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知
O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+4⃗OC=0⃗，则cosB=( )
√2 1 2 √3
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式1-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有
S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗ △ABC
△OBC △OAC △OAB
a⋅⃗OA+b⋅⃗OB+c⋅⃗OC=0⃗，则O为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式1-3】（23-24高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，
的面积分别为 ， ， ，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非
△AOB S S S S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗
A B C A B C
常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形 内一点，且满足： ，则S （ ）
O ABC ⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=3⃗AB+2⃗BC+⃗C A △AOB=
S
△ABC
2 1 1 1
A． B． C． D．
5 2 6 3
【题型2 重心问题】
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两
点，D为边BC的中点．若⃗AD=x⃗AM+ y⃗AN(x,y∈R)，则x+ y=（ ）
3 2 1
A． B． C．2 D．
2 3 2
【变式2-1】（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，
则直线OP经过△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2-2】（2024·四川南充·模拟预测）已知点O是△ABC的重心，OA=2，OB=3，OC=3，则
⃗OA⋅⃗OB+⃗OA⋅⃗OC+⃗OB⋅⃗OC= ．
【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）若点P为△ABC的重心，
35sinA⋅⃗PA+21sinB⋅⃗PB+15sinC⋅⃗PC=0⃗，则cos∠BAC= ．
【题型3 垂心问题】
【例3】（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0⃗，则
tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于（ ）
A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6
【变式3-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在△ABC中，若⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC=⃗HC⋅⃗HA，则点
H是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【变式3-2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）在锐角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H为△ABC的垂心，
71
⃗AH⋅⃗AC=20，O为△ABC的外心，且⃗AH⋅⃗AO= |⃗AH|⋅|⃗AO|，则BC=（ ）
98
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式3-3】（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知在△ABC中，sin2A+sin2C=sin2B+sinA⋅sinC，
H是△ABC的垂心，且满足⃗BC⋅⃗BH=8，则△ABC的面积S =（ ）
△ABC
A．8√3 B．8 C．4√3 D．4
【题型4 内心问题】
【例4】（23-24高一下·浙江·期中）设O为△ABC的内心，AB=AC=13，BC=10，
⃗ ⃗ ⃗ ，则 （ ）
AO=mAB+nAC(m,n∈R)
m+n=
13 13 5 5
A． B． C． D．
36 18 18 36
【变式4-1】（2024·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，且
1
D为AB中点，⃗AE= ⃗EC，若⃗AP=⃗AD+⃗AE，则直线AP经过△ABC的（ ）.
2
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）在 中， ， ， ，O是 的内
△ABC |⃗AB|=2 |⃗AC|=3 |⃗BC|=4 △ABC
心，且⃗AO=λ⃗AB+μ⃗BC，则λ+μ=（ ）
9 7 8 7
A． B． C． D．
10 10 9 9
【变式4-3】（2024高一·全国·专题练习）已知△ABC所在的平面上的动点P满足
⃗AP=|⃗AB|⃗AC+|⃗AC|⃗AB，则直线AP一定经过△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【题型5 外心问题】
【例5】（2024·安徽·模拟预测）已知△ABC的外心为G，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a:b:c=5:5:8．若⃗CA⋅⃗CB=−28，则⃗CG⋅⃗CB=（ ）
25
A． B．50 C．25 D．25√2
2
【变式5-1】（2024·云南曲靖·二模）已知 是 的外心， ， ，则向量
O △ABC ⃗AB+⃗AC=2⃗AO |⃗OA|=|⃗AB|
⃗AC在向量⃗BC上的投影向量为（ ）
1 √2 3 √3
A．− ⃗BC B．− ⃗BC C． ⃗BC D． ⃗BC
4 4 4 4
【变式5-2】（2024·新疆·一模）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足
⃗OA ⃗OB |⃗OA|=|⃗OB|=2 ⃗OA⋅⃗OB=−2
⃗DA=2⃗OD，E为△AOB的外心，则⃗OB⋅⃗ED的值为（ ）
16 8 8 16
A．− B．− C． D．
3 3 3 3
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，⃗AO=λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，且O为△ABC的外心．若
[1 2]
⃗BA在⃗BC上的投影向量为μ⃗BC，且cos∠AOC∈ , ，则μ的取值范围为（ ）
3 3
[2 5] [1 3 ] [4 5] [1 3]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 5 10 3 3 5 5
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，G为△ABC的重心，D为边BC中点，则（ ）
A．⃗AB+⃗AC=2⃗AG B．⃗AD=3⃗AG
C．⃗AB⋅⃗AC=⃗AD2−⃗BD2 D．⃗AB⋅⃗AD=⃗AC⋅⃗AD
2．（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若
⃗AB⋅⃗AD=⃗AC⋅⃗AD，则直线AD一定经过三角形ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为△ABC内的一点，△BOC，
， 的面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰
△AOC △AOB S S S S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗
A B C A B C
的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知a=3，
b=2√3，c=5，则⃗BO⋅⃗AC=（ ）A．2√3−8 B．−2 C．√6−7 D．3√2−9
4．（2024·四川南充·三模）已知点P在△ABC所在平面内，若
⃗AC ⃗AB ⃗BC ⃗BA
⃗PA⋅( − )=⃗PB⋅( − )=0，则点P是△ABC的（ ）
|⃗AC| |⃗AB| |⃗BC| |⃗BA|
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
5．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常
优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S ，S ，
A B
S C ，且 S ⋅M ⃗ A+S ⋅M ⃗ B+S ⋅M ⃗ C= → 0 .若 M 为 △ABC 的垂心， 3M ⃗ A+4M ⃗ B+5M ⃗ C= → 0 ，则
A B C
cos∠AMB=（ ）
√6 √6 √6 √6
A．− B．− C． D．
3 6 6 3
6．（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acosC,c=2．
若G为△ABC的重心，则GA2+GB2−GC2的最小值为（ ）
12−4√2 8+4√2 4√2−2 4+2√2
A． B． C． D．
9 9 3 3
7．（23-24高一下·黑龙江·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：
三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点G,H,O分别为△ABC的重心，垂心，
外心，D为AB的中点，则（ ）
A．⃗CH=⃗OD B．⃗CH=2⃗OD C．⃗CH=3⃗OD D．⃗CH=4⃗OD
8．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，
△OCA的面积分别记作S ，S ，S ，则有关系式S ⋅⃑OA+S ⋅⃑OB+S ⋅⃑OC=0⃑．因图形和奔驰车的logo
c a b a b c
很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足
a⋅⃑OA+b⋅⃑OB+c⋅⃑OC=0⃑，则O为△ABC的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、多选题
9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的一点，
⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则下列说法正确的是（ ）
1
A．若P为△ABC的重心，则x+ y= B．若P为△ABC的外心，则⃗PB⋅⃗BC=−18
2
7 5
C．若P为△ABC的垂心，则x+ y= D．若P为△ABC的内心，则x+ y=
16 8
10．（23-24高一下·湖南长沙·期末）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若⃗OA⋅⃗OB=⃗OB⋅⃗OC=⃗OC⋅⃗OA，则点O为△ABC的外心（外接圆圆心）
B．若⃗AO=λ ( ⃗AB + ⃗AC ) (λ∈R) ，则动点 O 的轨迹一定通过 △ABC 的重心
|⃗AB|sinB |⃗AC|sinC
C．若2⃗OA+⃗OB+3⃗OC=0⃗，S ，S 分别表示△AOC，△ABC的面积，则S :S =1:6
△AOC △ABC △AOC △ABC
D．若⃗OA⋅ ( ⃗AB + ⃗CA ) =⃗OB⋅ ( ⃗BA + ⃗CB ) =⃗OC⋅ ( ⃗BC + ⃗CA ) =0 ，则点 O 是 △ABC 的内心
|⃗AB| |⃗CA| |⃗BA| |⃗CB| |⃗BC| |⃗CA|
11．（24-25高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个
非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S ，S ，S ，且
A B C
．以下命题正确的有（ ）
S ⋅⃗MA+S ⋅⃗MB+S ⋅⃗MC=0⃗
A B C
A．若S :S :S =1:1:1，则M为△AMC的重心
A B CB．若M为△ABC的内心，则BC⋅⃗MA+AC⋅⃗MB+AB⋅⃗MC=0⃗
C．若 ， ，M为 的外心，则
∠BAC=45° ∠ABC=60° △ABC S :S :S =√3:2:1
A B C
√6
D．若M为△ABC的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0⃗，则cos∠AMB=−
6
三、填空题
12．（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，⃗AB⋅⃗AC=16，S =6，BC=3，且AB>AC，若O为
△ABC
△ABC的内心，则⃗AO⋅⃗BC= ．
13．（2024·四川凉山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重
心，则⃗OG⋅⃗BC= ．
14．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”
的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S ，S ，S ，则
A B C
．若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且 点
S ⋅⃗OA+S ⋅⃗OB+S ⋅⃗OC=0⃗ O △ABC A B C △ABC O
A B C
满足⃗OA⋅⃗OB=⃗OB⋅⃗OC=⃗OC⋅⃗OA，则下列说法正确的是 （填序号）.
①O是△ABC的垂心；②∠BOC+A<π；
③ ；④
|⃗OA|:|⃗OB|:|⃗OC|=cosA:cosB:cosC tanA⋅⃗OA+tanB⋅⃗OB+tanC⋅⃗OC=0⃗
四、解答题
15．（23-24高一下·山东聊城·期中）在△ABC中，M，N为△ABC所在平面内的两点，AB=3，
π 1
AC=2√3，∠BAC= ，⃗MC= ⃗BC，⃗NA+⃗NC=0⃗，
6 3
(1)以 和 作为一组基底表示 ，并求 ；
⃗AB ⃗AC ⃗NM |⃗NM|
(2)D为直线MN上一点，设⃗CD=x⃗AB+ y⃗AC(x,y∈R)，若直线CD经过△ABC的垂心，求x，y.16．（23-24高一下·山西·阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车
logo相似，因此得名.如图，P是△ABC内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等
式： .
⃗PA⋅S +⃗PB⋅S +⃗PC⋅S =0⃗
△PBC △PAC △PAB
AP
(1)若P是△ABC的内心，2b=3a=4c，延长AP交BC于点D，求 ；
PD
(2)若P是锐角△ABC的外心，A=2B，⃗PB=x⃗PA+ y⃗PC，求x+ y的取值范围.
17．（23-24高一下·上海·阶段练习）在△ABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60∘．点O为△ABC所在平
面上一点，满足⃗OC=m⃗OA+n⃗OB（m、n∈R且m+n≠1）．
(1)若m=n=−1，用⃗CA，⃗CB表示⃗OC；
(2)若点O为△ABC的外心，求m、n的值；
1 1
(3)若点O在∠ACB的角平分线上，当− ≤n≤− 时，求|⃗OC|的取值范围．
2 4
18．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知√3
(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA,S = ，点D 是AB的中点，点E 在线段BC上，且BE=2EC，
△ABC 4
线段CD与线段AE交于点M.
(1)求角B的大小;
(2)若⃗BM=x⃗BA+ y⃗BC，求x+ y的值；
(3)若点G是三角形 的重心，求 的最小值.
ABC |⃗GM|
19．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、
变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》
中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外
心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心．
(1)求证：⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗；
1
(2)求证：⃗OG= (⃗OA+⃗OB+⃗OC)；
3
(3)求证：⃗OH=⃗OA+⃗OB+⃗OC．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
