文档内容
重难点 10 四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 上的一动点M到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）点 到直线 的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上任一点， 是坐标原点，则 中点的轨迹方程
为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2020·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 的左，
右焦点分别为 ， ，设过右焦点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，
若 是正三角形，则双曲线 的离心率为__________.
5．（2020·江苏·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．
6．（2022·全国·高三专题练习）若过点 且斜率为k的直线 与双曲线 只有一个公共点，则
___________.
三、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与 轴交于 点，与 轴交于 点
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求直线 的倾斜角的取值范围.
8．（2022·四川凉山·三模（理））已知椭圆 经过点 ，过其焦点且垂直于x
轴的弦长为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知曲线 ， 在点P处的切线l交 于M，N两点，且 ，求l的方程．
9．（2022·全国·高三专题练习）设函数 其图象与 轴交于 ， ， ， 两点，且 .
(1)求 的单调区间和极值点；
(2)证明： 是 的导函数）；
(3)证明： .
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2020·山西临汾·高三阶段练习（理））已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且
倾斜角为45°的直线与 的右支有且仅有一个交点，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））若直线 与圆 交于不同的两
点A、B，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，
， ，若对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系中，表示直线l：y＝ax+b与l：y＝bx﹣a的图象可
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能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直线 与圆 交于A､B两点，且
（其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（ ）
A． B． C． D．4
三、填空题
6．（2022·山西吕梁·三模（文））已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于
两点（点 在 轴上方），过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，连接 .若 ，
则直线 的斜率为__________.
四、解答题
7．（2022·山西太原·三模（文））已知抛物线C开口向右，顶点为坐标原点，且经过点
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 的直线交抛物线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线 于点P，Q，求 的值.8．（2022·山西吕梁·三模（理））已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 关于原点 的对称点为点 ，与直线 平行的直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ，
点 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2020·湖南·高三学业考试）已知直线l过点 ，圆C： ，则直线l与圆C的位置关系
是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．（2020·浙江·高三专题练习）点 到抛物线 准线的距离为2，则a的值为
A．1 B．1或3
C． 或 D． 或3．（2022·全国·高三专题练习（理））设 是椭圆 的离心率，且 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥曲线 ，则下列说法可能正确的有（ ）
A．圆锥曲线 的离心率为
B．圆锥曲线 的离心率为
C．圆锥曲线 的离心率为
D．圆锥曲线 的离心率为
5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，过点
（5，0）作直线 交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（ ）
A． 或
B．该双曲线的离心率为
C．满足 的直线 有且仅有一条
D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线 的斜率的取值范围是
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 两点的坐标分别是 ， ，直线 、 相交于点 ，
且两直线的斜率之积为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹圆（除去与 轴的交点）
B．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（除去与 轴的交点）C．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的抛物线
D．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（除去与 轴的交点）
三、解答题
7．（2020·全国·高三专题练习（理））求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点 ，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
（2）经过点 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 经过点 和点 ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2020·全国·高三（文））双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．2．（2020·云南德宏·高三期末（理））已知点 是抛物线 上一点，以 为圆心， 为半径的圆
与抛物线的准线相切，且与 轴的两个交点的横坐标之和为 ，则此圆的半径 为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线
上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
三、填空题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的一动点，点 的坐标为 ，点 满足
，且 ，则 的最大值是 __．
5．（2022·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 的公切线有
___________条.
四、解答题
6．（2021·海南·模拟预测）已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为圆 ： 的圆心， 轴
负半轴上有一点 ，直线 被 截得的弦长为5．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作不过原点的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， ， 为切点，求直线 的方程．巩固提升
一、单选题
1．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线
上一点 作准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州毕节·三模（文））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，
垂足为Q，若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角
度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（ ）的方法非常巧妙，极
具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切
于 ，在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于 ，由球和圆的几何性质，可以知道， ， ，于是 .由 的产生方法可知，它们之间的距
离 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知
是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切， ，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，若
双曲线上存在点P使 ，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数 ，若 ，若点 不可
能在曲线C上，则曲线C的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）A． 的最大值为 B． 的最小值为0
C． 的最大值为 D． 的最大值为
9．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）椭圆 : 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆
上，点 在以 为圆心， 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 的最大值为
C．过点 的直线与椭圆 只有一个公共点，此时直线方程为
D． 的最小值为
三、填空题
10．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线 过定点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，已
知点 ，则 的最大值为______．
11．（2022·河南商丘·三模（理））已知 是抛物线 ： （ ）的焦点， 的准线与 轴交于
点 ，过点 作曲线 的一条切线 ，若切点 在第一象限内， 为 上第四象限内的一点，且 ，
则 ______．
12．（2022·河北·模拟预测）已知 ， 是抛物线 上的两个动点，过 ， 的两条切线交于点 ，若
，则点 的纵坐标为___________.
13．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是___________.
14．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放
在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，
但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，
而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如
图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡 （当成质点），
灯泡与桌面的距离为 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 ，影子椭圆的右顶点到 点的距离为
个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 ______.
15．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一
个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨
迹即为星形线.如图，已知 ，起始位置时大圆与小圆的交点为 （ 点为 轴正半轴上的点），滚动过
程中 点形成的轨迹记为星形线 .有如下结论：
① 曲线 上任意两点间距离的最大值为 ；
② 曲线 的周长大于曲线 的周长；
③ 曲线 与圆 有且仅有 个公共点.
其中正确的序号为________________.
四、解答题16．（2022·浙江金华·三模）如图，已知点P在直线l： 上，A，B为抛物线C： 上任
意两点，PA，PB均与抛物线C相切，直线AB与直线l交于点Q，过抛物线C的焦点F作AB的垂线交直
线l于点K．
(1)若点A到F的距离比到直线l的距离小1，求抛物线C的方程；
(2)在（1）的条件下，当 最小时，求 的值．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 .且 与圆
上点的距离的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 在圆 上， ， 是 的两条切线. ， 是切点，求 面积的最大值.
18．（2021·全国·高三专题练习）（1）试求函数 的最小值；
（2）设a、b都是实数，试求： 的最小值.
