文档内容
重难点 08 解三角形（5 种题型）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考1第18题 解三角形及其综合应用 求角度及最值
2021新高考2第18题 解三角形及其综合应用 求三角形的面积，应用余弦定理判断
三角形的形状
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 ，D为BC
的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝ ，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
13．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ＝ ．
（1）若C＝ ，求B；
（2）求 的最小值．
4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正
三角形的面积依次为S ，S ，S ．已知S ﹣S +S ＝ ，sinB＝ ．
1 2 3 1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝ ，求b．
四、考点清单
解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
π
学科网（北京）股份有限公司 22．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利
用A+B+C＝ ，求另一角．
3．已知两边π和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理或
余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方π向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC ＝ ；
⑤S△ABC ＝ ，（s＝ （a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝
+ ＝ ﹣ ，2A+2B＝2 ﹣2C
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA π
b2＝a2+c2﹣2accosB cosA＝
学科网（北京）股份有限公司 3c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosB＝
cosC＝
正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
＝2R 2RsinC
R为△ABC的外接圆半径
sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△ ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c sinA＝
sinB＝
②S△ ＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA
③S△ ＝
④S△ ＝ ，（s＝ sinC＝
（a+b+c））；
⑤S△ ＝ （a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
五、题型方法
一．正弦定理（共6小题）
1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若cosA＝ ，a＝2 ，求△ABC的面积．
2 ． （ 2023• 和 平 区 一 模 ） 已 知 △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
学科网（北京）股份有限公司 4（1）求A的大小；
（2）若 ．
（ⅰ）求△ABC的面积；
（ⅱ）求cos（2C﹣A）．
3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣
cosB，且b＞c．
（1）求A；
（2）若a＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知asinA+csinC＝（
asinC+b）sinB．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
5 ． （ 2023• 靖 远 县 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 56．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝ ，AB边上的高为 ．
（1）若S△ABC ＝2 ，求△ABC的周长；
（2）求 的最大值．
二．余弦定理（共5小题）
7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
学科网（北京）股份有限公司 69．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，② ，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明
另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（b﹣a）
（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝ ；②S△ABC ＝ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 711．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝ （a2+b2﹣c2），③ sin（A+B）＝1+2sin2
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为 ，求边长a的值．
三．三角形中的几何计算（共11小题）
12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝ ，b＝1；
条件③：S△ABC ＝ ．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
学科网（北京）股份有限公司 813．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，设△ABC的面积为S，满足 ，求b的值．
14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝
2sinA（1﹣cosC）．
（1）证明：b＝2a；
（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．
15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝ ，BE⊥AC于点E，BE＝ ，且△ACD
的面积为△ABC面积的2倍．
（1）求AD•sin∠DAC的值；
（2）当CD＝3时，求线段DE的长．
学科网（北京）股份有限公司 916．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记
∠CAP＝ ．
θ
（1）若 ，求PB的长；
（2）用 表示S△PAB ，并求S△PAB 的取值范围．
θ
17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为 的面积
为 ．
（1）若 ，求△ABC的周长；
（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．
18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，
CD平分∠ACB交AB于点D，
CD＝ ．
（1）求∠ADC；
学科网（北京）股份有限公司 10（2）求△BCD的面积．
19．（ 2023•鼓楼区校级模拟）在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且
．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD长为 ，求△ABC面积的最大值．
20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
（1）求角C的大小；
（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．
21．（2023•华龙区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求函数f（x）的值域；
学科网（北京）股份有限公司 11（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为 ，当a＝6
时，求△ABC的周长．
22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点， ．
（1）若BC＝ ，求AC的长；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．
四．解三角形（共22小题）
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c
﹣4sinC）；
（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；
（2）证明：当△ABC的面积为 时，求a+b+c的值．
24．（2023•福州模拟）已知函数 ，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
学科网（北京）股份有限公司 12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，求a﹣b的
取值范围．
25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）若角 ，求角A的大小；
（2）若a＝4， ，求b．
26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中， ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①： ；条件②： ；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
学科网（北京）股份有限公司 1327．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边 a，b，c所对的角分别为 A，B，C，已知 a＝4，
＝ ．
（1）若 ，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为 ，求AB的长．
28 ． （ 2023• 辽 宁 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，且b＝3，求△ABC的面积S．
29．（2023•云南模拟）已知函数 在 上单调，
且 ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2， ，求△ABC周长
的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 1430．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．
（1）求A；
（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cos（B+C），求△ABC面积的取值范围．
31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcos（ +
）＝0．
（1）求A；
（2）若a＝ ，求△ABC面积的最大值．
32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
．
（1）求角C的大小；
（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．
学科网（北京）股份有限公司 1533．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，
，且 ．
（1）求角C；
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6cosBcosC﹣1＝3cos（B﹣
C）．
（1）若 ，求cosC；
（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分 ，求△ABC的面积．
35 ． （ 2023• 厦 门 模 拟 ） 记 △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求a的值；
（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．
学科网（北京）股份有限公司 1636．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（a2+c2﹣b2）
（tanA+tanB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边 ，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围．
37．（2023•包河区校级模拟）在①4asinC＝3ccosA，② 这两个条件中任选一个，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____， ．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）如图，D为边AC上一点，DC＝DB，AB⊥BD，求△ABC的面积．
38．（2023•旌阳区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b﹣c）
sinB+c（2sinC﹣sinB）．
学科网（北京）股份有限公司 17（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝4，求△ABC面积的最大值．
39．（2023•惠安县模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）
cosA．
（1）若c＝ a，求cosB的值；
（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
40 ． （ 2023• 南 关 区 校 级 模 拟 ） 已 知 △ ABC 中 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ，
．
（1）求A；
（2）若 ，且△ABC的面积为 ，求△ABC周长．
41．（2023•开福区校级模拟）已知向量 ＝（sinx，1+cos2x）， ＝（cosx， ）， ．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且 ， ，BC＝2，求△ABC的面积．
学科网（北京）股份有限公司 1842．（2023•江西模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB＝cos2B﹣
cos2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝2sinB， ，求△ABC的面积．
43．（2023•镇江三模）在凸四边形ABCD中， ．
（1）若 ．求CD的长；
（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值．
44．（2023•成都模拟）在斜三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且BC上的中线AD长为 ，求斜三角形ABC的面积．
五．三角形的形状判断（共4小题）
45．（2023•安徽二模）在△ABC中，sin2A+3sin2C＝3sin2B．
（1）若sinBcosC＝ ，判断△ABC的形状；
（2）求tan（B﹣C）的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 1946．（2023•洪山区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin（A﹣B）cosC＝cosBsin
（A﹣C）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，且 ，求 的最大值．
47．（2023•湖北模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角， ．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
48 ． （ 2023• 福 建 模 拟 ） 已 知 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）当 ， ＝2时，求c的值；
（2）判断△ABC的形状λ．
学科网（北京）股份有限公司 20
