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重难点 09 导数必考经典压轴解答题全归类【十一大题型】
【新高考专用】
导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中
试题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、
不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，
解题时要灵活求解．
其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压
轴题的热点方向．【知识点1 切线方程的求法】
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】
1．含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2．根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4 导数的综合应用】
1．导数中的函数零点（方程根）问题利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
2．导数中的不等式证明
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点
处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
3．导数中的恒（能）成立问题
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另
一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分
类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
4．导数中的双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【知识点5 极值点偏移问题及其解题策略】
1．极值点偏移
y=f (x) (a,b) x f (x)
极值点偏移的定义：对于函数 在区间 内只有一个极值点 0，方程 的解分别为
x 、x ax
0，则函数y=f (x)在区间(x 1 ,x 2 )上极值点 x 0左偏，简称极值点 x 0左偏；x +x
(3)若
1
2
2 2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 1 2 1 2 0 0
(2)函数f(x)中存在x，x 且x≠x，满足f(x)=f(x)，求证：x+x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
(3)函数f(x)存在两个零点x，x 且x≠x，令 ，求证：f'(x)>0；
1 2 1 2 0
(4)函数f(x)中存在x，x 且x≠x，满足f(x)=f(x)，令 ，求证：f'(x)>0.
1 2 1 2 1 2 0
3．极值点偏移问题的常见解法
(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：
①对结论x+x>2x 型，构造函数 .
1 2 0
②对结论 型，方法一是构造函数 ，通过研究 的单调性获得不
等式；方法二是两边取对数，转化成lnx+lnx>2lnx，再把lnx，lnx 看成两变量即可.
1 2 0 1 2
(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等式，利
用函数单调性证明.
【题型1 函数的切线问题】
【例1】（2024·广东·二模）已知函数 .
f(x)=ex−1−xlnx
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)证明：f(x)>0.
ax+1
【变式1-1】（2024·四川雅安·一模）已知函数f (x)= ，其中a∈R，
ex
(1)当a<0时，求f (x)的单调区间；
(2)当a=1时，过点(−1,m)可以作3条直线与曲线y=f (x)相切，求m的取值范围．3
【变式1-2】（2024·湖北黄冈·一模）已知函数f (x)=2alnx+ x2−(a+3)x,(a∈R)
4
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a和b的值；
y=f (x) (1,f (1)) f (x)=−x+b
(2)讨论f (x)的单调性.
1
【变式1-3】（2024·广东惠州·模拟预测）已知函数f(x)=eax+ （a≥0）．
x
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的极大值．
g(x)=f′ (x)⋅x2 g(x)
【题型2 （含参）函数的单调性问题】
1
【例2】（2024·浙江金华·一模）已知函数f (x)= x2−alnx+(1−a)x，(a>0).
2
(1)若a=1，求f (x)的单调区间；
e2
(2)若f (x)≥− ，求a的取值范围.
2
4
【变式2-1】（2024·上海静安·一模）设函数f (x)=x+ ,x∈(−∞,0)∪(0,+∞).
x
(1)求函数y=f (x)的单调区间；(2)求不等式f (x)<2x的解集.
1
【变式2-2】（2024·广东·模拟预测）已知函数f (x)=x3+ (a−3)x2−ax+4．
2
(1)当a=6时，求f (x)的极值；
(2)讨论f (x)的单调性．
【变式2-3】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=ex−ax+1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
∀x≥0,f(x)≥x2+2
【题型3 函数的极值与最值问题】
a
【例3】（2024·云南大理·一模）已知函数f (x)=lnx+ −1.
x
(1)当a=1时，证明：f (x)≥0；
(2)若函数f (x)有极小值，且f (x)的极小值小于a−a2，求a的取值范围.
lnx 1
【变式3-1】（2024·广东肇庆·一模）已知函数f (x)= +ax+ .
x x(1)当a=0时，求f (x)的最大值；
(2)若f (x)存在极大值，求a的取值范围.
【变式3-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)=ax−ln(x+1)+1.
(1)当a=1时，求f (x)的最小值；
(2)求f (x)的极值；
(3)当a≤2时，证明：当−1ex.
【变式3-3】（2024·河南·二模）已知函数f (x)=x2+2(a−3)x+2alnx(a∈R)在定义域内有两个极值点
x ,x .
1 2
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： .
f (x )+f (x )>−10
1 2
【题型4 导数中函数零点（方程根）问题】
【例4】（2024·贵州黔南·一模）已知函数 .
f(x)=aex−x+1(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若当a>0时，函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【变式4-1】（2024·山东烟台·三模）已知函数f (x)=x+aex(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
x f (x)−x
(2)当a=3时，若方程 + =m+1有三个不等的实根，求实数m的取值范围.
f (x)−x f (x)
【变式4-2】（2024·四川·一模）设
f
(x)=ex3−x−ax
(1)若a=0，求f (x)的单调区间．
(2)讨论f (x)的零点数量．
【变式4-3】（2024·甘肃白银·一模）已知函数f (x)=tx2−2lnx−1.
(1)若曲线y=f (x)在x=2处的切线的斜率为3，求t.
(2)已知 恰有两个零点 .
f (x) x ,x (x 0时，f (x)>1；
2
(2)若x=0是f (x)的极大值点，求k的取值范围.【变式5-1】（2024·四川·一模）已知函数f (x)=xlnx−ax2+1.
(1)若f (x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a<0，证明：f (x)>0.
a
【变式5-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)=lnx+ x2−x+2(a∈R).
2
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ；求证： 4ex−2；
a=0 f(x)<
x2
( 1)
(3)设x ，x (x 1 时， (x−1) [ e−x+xln ( 1+ 1)] >lnx⋅ln(x+1) .
x【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
f (x)=ex−2elnx+ax+lna(a>0)
3
(1)若a=1，证明：f (x)> x；
2
(2)若f (x)≥2e+1恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-1】（2024·福建·三模）函数f (x)=(1−x)eax−x−1，其中a为整数.
(1)当a=1时，求函数f (x)在x=1处的切线方程；
(2)当x∈(0,+∞)时，f (x)<0恒成立，求a的最大值.
【变式6-2】（2024·浙江台州·一模）已知函数 ．
f(x)=x3+4x2−5x
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；
f(x)
(2)若不等式 −6lnx≤a(x−1) 2对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数a的取值范围．
x
a
【变式6-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+ .
x
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数 的值；
y=f (x) (1,f (1)) x+ y+b=0 b
(2)已知函数 a2，且对于任意 ， ，求实数 的取值范围.
g(x)=f (x)+ x∈(0,+∞) g(x)>0 a
x2【题型7 利用导数研究能成立问题】
(1 )
【例7】（2024·四川乐山·三模）已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a −x−1 +1−x
x
(1)讨论f(x)的单调性；
1−x−x2
(2)令H(x)=f(x)+g(x)，若存在x ∈(1,+∞)，使得H(x)< 成立，求整数a的最小值．
0 x
【变式7-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 ， ，
f(x)=xlnx−ax2 g(x)=ax2−ax+1
ℎ(x)=f(x)+g(x)．
[1 )
(1)讨论：当a∈(−∞,0]∪ ,+∞ 时，f(x)的极值点的个数；
2
(2)当a>1时，∃x∈(1,+∞)，使得ℎ(x)<(e−1)a−3e+3，求实数a的取值范围．
a
【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=lnx，g(x)= −1其中a为常数.
x
(1)过原点作f (x)图象的切线l，求直线l的方程；
(2)若∃x∈(0,+∞)，使f (x)≤g(x)成立，求a的最小值.
【变式7-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=(ax−1)ex+1+3(a≠0)．(1)求f (x)的极值；
(2)设a=1，若关于x的不等式f (x)≤(b−1)ex+1−x在区间[−1,+∞)内有解，求b的取值范围．
【题型8 双变量问题】
x2
【例8】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数f (x)= ，其中a>0．
eax
(1)若f (x)在(0,2]上单调递增，求a的取值范围；
(2)当 时，若 且 ，比较 与 的大小，并说明理由
a=1 x +x =4 00，函数f(x)= x2−ax−2a2lnx.
2
(1)若 ，求 的取值范围;
∀x>0,f(x)>−4a2 a
(2)若x 、x 是f(x)的零点，且x ≠x ，证明:x +x >4a.
1 2 1 2 1 2a
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=1−lnx− (a∈R)．
x
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
f (x) x x x ．
x x x x
2 1 1 2
【题型10 导数与其他知识的综合问题】
【例10】（2024·江苏南通·三模）已知函数 ．
f (x)=(1+x) k−kx−1(k>1)
(1)若x>−1，求f (x)的最小值；
(2)设数列 前 项和 ，若 ( 1 ) n ，求证： n+2．
{a } n S a = 1+ S −n≥2−
n n n 2n n 2n【变式10-1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数f (x)=lnx的图象与函数g(x)的图象关于直线
y=−x+1对称.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)证明：∀x∈(1,+∞),f (x)−g(x)>0；
(3)若圆 与曲线 相交于 两点，证明： 为锐角.
M:(x−1) 2+ y2=r2(r>0) y=|f (x)| A,B ∠AMB
x
【变式10-2】（2024·重庆·二模）已知函数f (x)= .
ln(2−x)
(1)求f (x)的单调区间；
a
(2)当0 +a，求实数a的取值范围；
x−1
1 1 1
(3)已知数列{a }满足：a = ，且a =f (a ).证明： ≤a ≤ .
n 1 3 n n+1 3⋅2n−1 n n+2
π
【变式10-3】（2024·江苏·一模）已知a>0，函数f (x)=axsinx+cosax−1，00；
(2)若f (x)>0，求a的取值范围；
(3)设集合 n π ，对于正整数m，集合 ，记
P={a |a =∑cos ,n∈N∗} Q ={x|m0恒成立，且曲线y=lnf (x)(x>0)上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当x>0时，
g(x)≥f (x)；
f (m)
(3)若a =0，证明：对于任意的m∈(0,+∞)，均存在t∈(0,m)，使得g(t)< ．
0 m
|m n|
【变式11-1】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算： =mq−np，已知函数
p q
|lnx x−1| 1
f(x)= ,g(x)= −1．
1 a x
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明：( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 ) ．
1+ 1+ 1+ … 1+ 1;
(2)若f(x)在区间(1,+∞)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.
9．（2024·新疆·模拟预测）已知函数f (x)=(x−1)emx．
(1)当m=1时，求f (x)的单调区间及最值；
(2)若不等式f (x)≥x2−x在[1, +∞)上恒成立，求实数m的取值范围．1 1
10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)= − (x>0).
x ex−1
1
(1)证明：01恒成立，求实数a的取值范围．
12．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数f (x)=(lnx+x) ( ex− a) (a∈R)．
x
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (1,f (1))
(2)若f (x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
13．（2024·四川乐山·三模）已知函数f (x)=ax+lnx−ax2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
x ∈(1,+∞) f (x )>0 a
0 0
14．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 log x.
f (x)= a
xa
(1)当a=2时，求f (x)的单调区间；
1
(2)证明：若曲线y=f (x)与直线y= 有且仅有两个交点，求a的取值范围.
a2
15．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， .
f (x)=x(ex−a)−alnx a∈R
(1)当a=e时，求函数f (x)的单调区间与极值；
(2)若函数 有2个不同的零点 ， ，满足 ，求a的取值范围.
f (x) x x x ex 2>2x ex 1
1 2 2 1
16．（2024·河南·三模）设函数f (x)的导函数为f′(x),f′(x)的导函数为f″(x),f″(x)的导函数为f′′′(x).若
f″ (x )=0
，且
f′′′ (x )≠0
，则
(x ,f (x ))
为曲线
y=f (x)
的拐点.
0 0 0 0
(1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若(√2 (√2))为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
f (x)=ax5−5x3 ,f y=f (x) f (x)
2 217．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
f (x)=−x2+2lnx,g(x)=a(x2+2x)
(1)若曲线f (x)在点(1,−1)处的切线与曲线g(x)有且只有一个公共点，求实数a的值．
(2)若方程g(x)−f (x)=1有两个不相等的实数根x ,x ，
1 2
①求实数a的取值范围；
②求证：x +x >2．
1 2
1
18．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f(x)=2alnx+ x2−(a+2)x，其中a为常数.
2
(1)当a>0时，试讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x ，x ，
1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x +x >4.
1 2
f(b)−f(a)
19．（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)在[a,b]上存在x ,x (an>0，使得f (m)=f (n)，且f (x)是[n,m]上的“双中值函
2
数”， x ,x 是f (x)在[n,m]上的中值点.
1 2
①求a的取值范围；
②证明：x +x >a+2.
1 2
