文档文本内容
解密 04 曲线运动
核心考点 考纲要求
运动的合成与分解 Ⅱ
抛体运动 Ⅱ
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ
匀速圆周运动的向心力 Ⅱ
离心现象 Ⅰ考点 1 “ 关联”速度问题
1．“关联”速度
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度
通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。由于高中研究的绳都是不可伸长的，
杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是把物体的实际速度分解为垂直于
绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
2．分析“关联”速度的基本步骤
→
↓
→
↓
→
↓
→
（2020·江苏月考）如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设
重物和汽车的速度的大小分别为v 、v ，则（ ）
B A
A．v =v B．v v
A B A B
C．绳子对B的拉力大于B的重力 D．绳子对B的拉力等于B的重力1．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，
故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v≠0，若这
1
时B的速度为v，则
2
A．v=v B．v>v
2 1 2 1
C．v≠0 D．v=0
2 2
考点 2 小船渡河模型
1．模型条件
（1）物体同时参与两个匀速直线运动。
（2）一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
2．模型特点
（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：船在静水中的速度v、水的流速v、船的实际速度v。
1 2
（3）三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短， （d为河宽）。
②过河路径最短（v<v 时）：合速度垂直于河岸，航程最短，x =d。
2 1 短
③过河路径最短（v>v 时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图所
2 1
示，以v 矢量末端为圆心，以v 矢量的大小为半径画弧，从v 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切
2 1 2
线方向航程最短。由图可知 ，最短航程 。（2020·广东月考）如图所示，某河流中水流速度大小恒为v，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的
1
连线与河岸的最大夹角为 。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速
度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·广东月考）某小船在静水中的速度为v，河水的流速为v，且v>v，小船渡河的最短时间为
1 2 1 2
T。若小船在静水中的速度为v，河水的流速为v，河宽不变，小船渡河的最短距离为（ ）
2 1
A． B． C． D．
考点 3 平抛运动的规律的应用
“平抛+斜面”类问题
方法 示意图 时间 总结
分解 分解速度，构建
对着斜面抛 如图所示，v=gt， ，
y
速度 速度三角形故
顺着斜面抛
如图所示，x=vt， ，而
0
分解 分解位移，构建
位移 位移三角形
，联立得
如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为
原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·宿松县程集中学月考）如图所示，两个挨得很近的小球，从斜面上的同一位置O以不同的初速
度v 、v 做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A，B，空中运动的时间分别为t 、t ，碰撞
A B A B
斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为α、β，已知OB=2OA则有（ ）
A．t :t =1:2 B．v :v =1:2 C．α=β D．α>β
A B A B
2．（2020·全国月考）如图所示，网球发球机水平放置在距地面某处，正对着竖直墙面发射网球，两次发
射网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得 。OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．两球发射的初速度：
B．两球碰到墙面前运动的时间：
C．两球碰到墙面时的动量可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
考点 4 类平抛运动与斜抛运动的规律
一、类平抛运动
1．模型特点：a．受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直；b．运动特点：在初速
度v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 。
0
2．处理方法
（1）常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力
的方向）的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性；
（2）特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a、a，初速
x y
度v 分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解。
0 x y
二、斜抛运动问题
斜抛运动可分为斜上抛运动和斜下抛运动，其竖直方向都是初速度不为零的、加速度为 g的匀加速运
动，水平方向是匀速运动；处理问题的方法是按水平方向和竖直方向列得速度或位移方程求解。
1．运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。2．基本规律（以斜向上抛为例说明，如图所示）
（1）水平方向：v =vcos θ，F =0；
0x 0 合x
（2）竖直方向：v =vsin θ，F =mg。
0y 0 合y
3．飞行时间、射高和射程
（1）飞行时间： ；
（2）射高： ；
（3）射程： 。
如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v 射出，最后
0
从B处离开斜面，下面说法中不正确的是
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gtan θ
C．小球到达B点的时间为
D．小球到达B点的水平位移1．（2020·江苏省灌云高级中学月考）由于空气阻力的影响，炮弹在空气中的实际飞行轨迹不是抛物线，
而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、
a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运
动过程中经过的距地面高度相等的两点。下列说法正确的是（ ）
A．到达b点时，炮弹的动能为零
B．到达b点时，炮弹所受合外力的方向竖直向下
C．炮弹经过a点时的速度大小等于经过c点时的速度大小
D．炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间
2．（2020·福建厦门一中月考）如图所示的光滑斜面ABCD是边长为l的正方形，倾角为30°，一物块（视
为质点）沿斜面左上方顶点A以平行于AB边的初速度v 水平射入，到达底边CD中点E，则（ ）
0
A．初速度
B．初速度
C．物块由A点运动到E点所用的时间
D．物块由A点运动到E点所用的时间考点 5 圆周运动的规律的应用
一、竖直平面内圆周运动的轻绳模型与轻杆模型
1．模型条件：
（1）物体在竖直平面内做变速圆周运动；
（2）“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
2．两种模型比较：
轻绳模型 轻杆模型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
常见
类型
过最高
点的临 由 得 v =0
临
界条件
1．当v=0时，F =mg，F 为支持力，沿半径背
N N
离圆心。
1．过最高点时，v≥ ，F N + ， 2．当0＜v＜ 时， ，F N 背
讨论分
绳、轨道对球产生弹力F 。 离圆心，随v的增大而减小。
N
析
2．当v＜ 时，不能过最高点，在到达最 3．当v= 时，F N =0。
高点前小球已经脱离了圆轨道
4．当v> 时， ，F 指向圆
N
心并随v的增大而增大
二、生活中的圆周运动
1．铁路转弯
（1）火车转弯时的运动特点
火车转弯时做的是圆周运动，因而具有向心加速度，需要向心力。
（2）向心力的来源
转弯处外轨道略高于内轨道，适当选择内外轨的高度差，可使转弯时所需的向心力几乎完全由支持力
与重力的合力来提供。设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v ，如图
0
所示F =mgtan θ≈mgsin θ=mg （θ较小时，sin θ≈tan θ），
合
由牛顿第二定律得： ，
所以 ，
即火车转弯的规定速度 。
由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值。
注意：a．当火车行驶速率v=v 时，火车对内外轨均无侧向压力；
0
b．当火车行驶速率v>v 时，外轨道对轮缘有侧向压力；
0
c．当火车行驶速率v<v 时，内轨道对轮缘有侧向压力；
0
同理，高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力提供车辆转弯时所需要的向心
力，减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏。
2．拱形桥
汽车以速度v过半径R的凸形（或凹形）桥时受力如图所示，在最高点（或最低点）处，由重力和支
持力的合力提供向心力。（1）在凸形桥的最高点， ， ，速度越大，F 越小，当 时，
N
F =0。
N
（2）在凹形桥（路面）最低点， ， ，速度越大，F 越大。
N
3．离心运动
做圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力的情
况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
（2020·青铜峡市高级中学期中）如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖
直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
1．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度由转弯半径与火车速度确定。若在转弯处规定行驶速度为v，
则下列说法正确的是
A．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
B．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
C．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力
D．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
2．（2020·河北张家口·月考）一水平转盘可绕过圆心O的竖直轴 转动，水平转盘中心O有一光滑小
孔，用一细线穿过小孔将质量均为m的小物块A、B相连。B放在圆盘上，A在圆盘下方悬挂，且， 。如图1所示，A、B与转盘的动摩擦因数均为 。（设最大静摩擦力
等于滑动摩擦力， ）
(1)若B能与圆盘保持相对静止，求水平转盘转动的角速度 的范围；
(2)保持B不动，将物块A放在转盘上，且 沿转盘直径方向，细线刚好伸直无拉力，如图2所示，
令转盘角速度逐渐增大，当水平转盘角速度 为多大时，A、B即将开始滑动。
考点 6 圆周运动与抛体运动的综合
1．水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
（1）问题特点：此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动；
（2）解题关键：
①明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程；
②平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移；
③速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
2．竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
（1）问题特点：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平
抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题的形式考查；
（2）解题关键：①首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够达到圆周最高
点的临界条件；②注意前后两过程中速度的连续性。（2020·湖南永州·高三月考）如图所示，一内壁光滑的圆弧形轨道ACB固定在水平地面上，轨道的圆心
为O，半径R=0.5m，C为最低点，其中OB水平，∠AOC=37°．一质量m=2kg的小球从轨道左侧距地面
高h=0.55m的某处水平抛出，恰好从轨道A点沿切线方向进入圆弧形轨道，取g=10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，求：
(1)小球抛出点到A点的水平距离．
(2)小球运动到B点时对轨道的压力大小．
1．（2020·浙江湖州·月考）一木块固定在水平面上，其截面如图所示，AB为 圆形轨道，CD为半圆形轨
道，两圆形轨道均与水平轨道BC相切，半径均为R=1m，BC间距L =1m，E、B、C在同一水平面上，
BC
EB间距为L =3m。一可视为质点的小球从A点正上方h处自由下落，进入轨道后，小球恰好能经过D
EB
点离开，小球经过水平轨道BC时的阻力大小为小球重力的0.3倍，其它轨道的阻力及空气阻力不计，
取g=10m/s2。
(1)求小球经过D点时的速度大小v ；
D
(2)求小球的释放高度h；
(3)设小球落到斜面AE上某点离A点的距离x，改变小球下落时的高度h，求x与h的函数关系。2．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为 m的小球先后两次以不同的
速度冲上轨道，第一次小球恰能通过轨道的最高点A，之后落于水平面上的P点，第二次小球通过最高
点后落于Q点，P、Q两点间距离为R。求：
（1）第一次小球落点P到轨道底端B的距离；
（2）第二次小球经过A点时对轨道的压力。
1. （2020·新课标Ⅰ卷）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的
总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每
根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
2. （2020·新课标Ⅱ卷）如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的
水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E，它会落到坑内c
1点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E，该摩托车恰能越过坑到达b点。
2
等于（ ）
A. 20 B. 18 C. 9.0 D. 3.0
的
3.（2020·江苏卷）如图所示，小球A、B分别从 和l 高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平
位移分别为l和 。忽略空气阻力，则（ ）
A. A和B的位移大小相等
B. A的运动时间是B的2倍
C. A的初速度是B的
D. A的末速度比B的大
4. （2020·浙江卷）如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一
定空间。当公交车（ ）
A. 缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B. 急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动C. 缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D. 急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
5．（2019·新课标全国Ⅱ卷）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下
落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用 v表示他
在竖直方向的速度，其v–t图像如图（b）所示，t 和t 是他落在倾斜雪道上的时刻。则
1 2
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v 时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
1
6．（2019·江苏卷）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动
半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
7．（2019·浙江选考）一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为
1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
8．（2018·江苏卷）某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保
持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的
A．时刻相同，地点相同
B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同
D．时刻不同，地点不同
9．（2018·北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤
道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，
由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比
现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
10．（2018·天津卷）滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的
圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则
运动员沿AB下滑过程中
A．所受合外力始终为零
B．所受摩擦力大小不变C．合外力做功一定为零
D．机械能始终保持不变
v
11．（2018·新课标全国III卷）在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和 的速度沿同一方向水平抛出，
2
两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
12．（2018·新课标I卷）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四
分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，
自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其他轨迹最高点，机械能
的增量为
A．2mgR
B．4mgR
C．5mgR
D．6mgR
13．（2018·浙江选考）A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它们通过的路
程之比是4:3，运动方向改变的角度之比是3:2，则它们
A．线速度大小之比为4:3
B．角速度大小之比为3:4
C．圆周运动的半径之比为2:1
D．向心加速度大小之比为1:2
14．（2018·江苏卷）火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在 10 s内匀速
转过了约10°。在此10 s时间内，火车A．运动路程为600 m
B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s
D．转弯半径约为3.4 km
15．（2017·江苏卷）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细
杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速
度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没
有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
16．（2017·新课标全国Ⅰ卷）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气
的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
17．（2016·新课标全国Ⅲ卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有
一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W。重力加
速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则A． B．
C． D．
18．（2016·浙江卷）如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径 R=90 m的大圆弧
和r=40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O'距离L=100 m。赛车沿弯道路线行驶时，
路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道
上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度 g=10
m/s2， π =3.14），则赛车
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.85 s
19．（2016·江苏卷）有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计
空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是
A．① B．②
C．③ D．④
20．（2016·上海卷）风速仪结构如图（a）所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转
时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径
为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图
（b）所示，则该时间段内风轮叶片A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
21．（2016·新课标全国Ⅲ卷）如图，在竖直平面内有由 圆弧AB和 圆弧BC组成的光滑固定轨道，两
者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为 。一小球在A点正上方与A相距 处由
静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
