文档内容
重难点 10 空间距离与体积问题（2 种考法）
【目录】
考法1：距离问题
考法2：体积问题
二、命题规律与备考策略
一.求点到平面的距离的四步骤
二、常见几何体体积的四种求法
1.直接法求体积（也称公式法）
直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。
可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到
2.等体积法求三棱锥体积
1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。
【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。
3.多面体割补法求体积
1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，
再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；
【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；
常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；
（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；
（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1（4）将台体补成锥体等等。
【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。
4.两部分体积比例法（转移法）
利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。
【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。
三、题型方法
考法1：距离问题
1．（2023•新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的
中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离．
【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可
得证；
（2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离．
【解答】解：（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，
因为G，F分别是AB，PB的中点，所以GF∥AP．
又FG 平面PAD，AP 平面PAD，
所以F⊄G∥平面PAD．⊂
因为E是CD的中点，所以ABCD是平行四边形，
同理可得，EG∥平面PAD．
因为FG∩EG＝G，EG，FG 平面EFG，所以平面EFG∥平面PAD．
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2因为EF 平面EFG，所以EF∥平面PAD．
⊂
（2）因为E是CD的中点，所以△BDE的面积是平行四边形ABCD面积的 ．
因为F是PB的中点，所以三棱锥F﹣BDE的高是四棱锥P﹣ABCD的高的 ．
因为四棱锥P﹣ABCD的体积为32，
所以三棱锥F﹣BDE的体积为 ．
设B到平面DEF的距离为d，
因为△DEF的面积为4，所以 ，得d＝3，
即B到平面DEF的距离为3．
【点评】本题考查线面平行的判定以及点到平面的距离计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于
基础题．
2．（2023•陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面
ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求点F到平面EDB的距离．
【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，利用线面平行的判断，即可证明结论；
（2）根据垂直关系以及相似求解长度，利用等体积法求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，连接EG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴G是AC的中点，
又点E是棱PC的中点，
∴EG是△PAC的中位线，即PA∥EG，
又PA 平面EDB，EG 平面EDB，
⊄ ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3∴PA∥平面EDB；
（2）∵PD⊥平面ABCD，DC，BC 平面ABCD，
∴PD⊥DC，PD⊥BC， ⊂
又BC⊥CD，CD⋂PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴BC⊥平面PCD， ⊂
又PC，DE 平面PCD，则PC⊥BC，DE⊥BC，
在△PDC中⊂，PD⊥DC，PD＝CD＝1，E是PC的中点，
∴ ，DE⊥PC，
又DE⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，
∴DE⊥平面PBC，∴DE是三棱锥D⊂﹣BEF的高，
在△PBC中，PC⊥BC， ，BC＝1，
∴ ，
∴Rt△BCP～Rt△EFP，
∴ ，
则 ， ， ，
，
在△BDE中， ， ， ，
∴由勾股定理的逆定理得BD2＝DE2+BE2，即DE⊥BE，
∴ ，
设点F到平面EDB的距离为h，
∴ ，解得 ，
即点F到平面EDB的距离为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4【点评】本题考查直线与平面平行和点到平面的距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，
属于中档题．
3．（2023•贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，
AB∥CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD．
（2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求点C到平面DEF的距离．
【分析】（1）取AD的中点H，证得HF∥PD，得到HF∥平面PCD，再由HE∥CD，证得HE∥平面
PCD，从而证得平面HEF∥平面PCD，即可得到EF∥平面PCD；
（2）求得 ，由DF2+DE2＝EF2，证得DF⊥DE，根据平面PCD⊥平面
ABCD，得到点P到平面ABCD的距离是 ，点F到平面ABCD的距离是 ，结合V
C﹣DEF
＝V
F﹣
，即可求解．
CDE
【解答】解：（1）证明：取AD的中点H，连接EH，FH．
因为F，H分别是棱PA，AD的中点，所以HF∥PD．
因为PD 平面PCD，HF 平面PCD，所以HF∥平面PCD．
因为E，⊂H分别是棱BC，⊄AD的中点，所以HE∥CD．
因为CD 平面PCD，HE 平面PCD，所以HE∥平面PCD．
⊂ ⊄
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5因为HE，HF 平面HEF，且HE⋂HF＝H，所以平面HEF∥平面PCD．
因为EF 平面⊂HEF，所以EF∥平面PCD．
（2）因⊂为四边形ABCD是梯形，满足AB⊥AD，AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，
且∠PDC＝120°，E，F分别为BC，PA的中点，可得 ，
由（1）可知HF∥PD且HE∥CD，则∠EHF＝∠PDC＝120°，所以 ，
因为DF2+DE2＝EF2，所以DF⊥DE，
因为平面PCD⊥平面ABCD且PD＝2，∠PDC＝120°，
所以点P到平面ABCD的距离是 ，
因为F是PA的中点，则点F到平面ABCD的距离是 ，
设点C到平面DEF的距离为d，因为V
C﹣DEF
＝V
F﹣CDE
，
所以 ，解得 ，
即点C到平面DEF的距离是 ．
【点评】本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于中档题．
4．（2023•天津模拟）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝
2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．
（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（2）求二面角E一BC一F的正弦值；
（3）求直线AD到平面EBC的距离．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【分析】（1）利用空间向量证明线面平行，即证 ；
（2）利用空间向量求二面角， ，再求sin ；
（3）将线面距离转化为点面距离，然后利用空间向量计算点面距离即θ可．
【解答】（1）证明：因为AD∥BC，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，
而AD、DC 平面ABCD，所以DG⊥AD，DG⊥DC，
⊂
因此以D为坐标原点，分别以 、 、 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DA＝DC＝DG＝2，
所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），
G（0，0，2）， ，N（1，0，2），
设 为平面CDE的法向量， ， ，
则 ，不妨令z＝﹣1，可得 ；
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7又∵直线MN 平面CDE，∴MN∥平面CDE．
⊄
（2）解：依题意，可得 ， ， ，
设 为平面BCE的法向量，
则 ，
不妨令z ＝1，可得 ，
1
设 为平面BCF的法向量，
则 ，不妨令z ＝1，可得 ，
2
若二面角E﹣BC﹣F的大小为 ，则 ，
θ
因此 ，
∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为 ．
（3）解：由于平面BCE的法向量 ， ，
直线AD到平面EBC的距离即点直线D到平面EBC的距离：
．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，二面角的计算，线面距离的计算，空间向量及其应用，空间想
象能力的培养等知识，属于中等题．
5．（2023•喀什地区模拟）如图，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分
别为P′B，P′A的中点，将△P′CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且 ，取线段PB的中点
为E．
（1）求证：CE∥平面PAD；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8（2）求点B到面ACE的距离．
【分析】（1）取PA中点F，连接DF，EF，证明四边形CDEF为平行四边形得CE∥FD，从而证得
CE∥平面PAD；
（2）等积转化法，由V
B﹣ACE
＝V
E﹣ABC
求得点B到面ACE的距离．
【解答】解：（1）证明：取PA中点F，连接DF，EF，
∵E为PB的中点，则PE＝EB，PF＝FA，∴EF∥AB， ，
又∵C，D分别为P′B，P′A的中点，则CD∥AB， ，
∴CD＝EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，则CE∥FD．
∵CE 平面PAD，FD 平面PAD，∴CE∥平面PAD；
⊄ ⊂
（2）由条件知： ，PD＝AD＝1，AB＝2， ，∴PD⊥DA，
又PD⊥DC，AD⋂DC＝D，AD，DC 面ABCD，∴PD⊥面ABCD，
⊂
又BD 面ABCD，∴PD⊥BD，∴ ，
⊂
∴△PAB为直角三角形，∴ ；
∵ ， ，∴△AEC为直角三角形．
∴ ，S△ABC ＝1，
点E到面ABC的距离为 ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9设点B到面ACE的距离为d，则V
B﹣ACE
＝V
E﹣ABC
，
∴ ，即 ，∴ ．
【点评】本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，
属中档题．
6．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G
分别是棱BC，AD，PA的中点．
（1）证明：PE∥平面BFG；
（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到DE∥BF，再得到FG∥PD，从而
PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，进而得到平面PDE∥平面BFG，因此得证PE∥平面BFG；
（2）由PD⊥平面ABCD，FG∥PD，可得FG⊥平面ABCD，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM，进
而得到CM⊥平面BFG，即CM的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可．
【解答】解：（1）连接DE，
∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，∵G是PA的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10∴FG∥PD，又PD，DE 平面BFG，且FG，BF 平面BFG，
∴PD∥平面BFG，DE∥⊄平面BFG， ⊂
∵PD∩DE＝D，直线PD，DE在平面PDE内，
∴平面PDE∥平面BFG，又PE 平面PDE，
∴PE∥平面BFG； ⊂
（2）∵PD⊥平面ABCD，FG∥PD，
∴FG⊥平面ABCD，
过C在平面ABCD内，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM，
∵FG∩BF＝F，又FG，BF 平面BFG，
∴CM⊥平面BFG， ⊂
∴CM的长是点C到平面BFG的距离，
∵△BCF中， ，
∴由等面积可得 ，
∴点C到平面BFG的距离为 ．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，线面垂直的判定定理，等体积法
求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
7．（2023•凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝
2，且直线PD与底面ABCD所成的角为 ．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点C到平面PBD的距离．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【分析】（1）根据线面角可得底面ABCD为正方形，进而根据线线垂直可得线面垂直即可求面面垂直，
（2）利用等体积法，结合三棱锥的体积公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，
故∠PDA为直线PD与平面ABCD所成的角，因此 ，
又PA＝2，∴AD＝2
∵底面ABCD为矩形，且AB＝2，
∴底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又PA⊥BD，而AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又BD 平面PBD， ⊂
∴平面PBD⊥平面PAC，⊂
（2） ，
由于 ，
所以 ，
设点C到平面PBD的距离为d，
则
∵V
C﹣PBD
＝V
P﹣BCD
，
∴ ，解得：
∴设点C到平面PBD的距离为 ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
8．（2023•江西模拟）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 中，底面ABCD为菱形，P为BB 的中点，M为
1 1 1 1 1
B C 的中点，
1 1
（1）求证：D M∥平面A DP；
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12（2）若AA ＝AB＝2，∠BAD＝60°，求M到平面A DP的距离．
1 1
【分析】（1）连接 AD ，交 A D于点 O，连接 OP，PM，证明四边形 OD MP 为平行四边形，得
1 1 1
D M∥OP，再利用线面平行的判定定理即可证明．
1
（2）利用等体积法即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接AD ，交A D于点O，连接OP，PM，
1 1
∵M为B C 中点，O为AD 的中点，
1 1 1
∴易证四边形OD MP为平行四边形，
1
∴D M∥OP，又D M 平面A DP，OP 平面A DP，
1 1 1 1
∴D M∥平面A DP；⊄ ⊂
1 1
（2）由（1）可知，M到平面A DP的距离等于D 到平面A DP的距离，设其为h，
1 1 1
∵ ，
∴ ，
又易知 ，
∴可得 ，
∴M到平面A DP的距离为 ．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13【点评】本题考查线面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
9．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝
4，AB＝AD＝2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求点D到平面PBC的距离．
【分析】（1）根据已知求出 ，从而BD2+BC2＝DC2得出BD⊥BC，再根据PD⊥
底面ABCD，得出PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）设点D到平面PBC的距离为d，由V
D﹣PBC
＝V
P﹣BCD
，能求出点D到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，AB＝AD＝2，
则 ， ．
△BCD中， ，
故BD2+BC2＝8+8＝16＝DC2，故BD⊥BC．
又因为PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PD⊥BC．
又因为PD∩BD＝D，PD，BD⊂ 平面PBD，BC⊥平面PBD．
又BC 底面PBC，故平面PBC⊂⊥平面PBD．
（2）⊂解：设点D到平面PBC的距离为d，
根据V
D﹣PBC
＝V
P﹣BCD
，即 ，
因为BC⊥平面PBD，PB 平面PBD，所以BC⊥PB，
⊂
△PBC中， ， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14故 ，解得 ．
即点D到平面PBC的距离为 ．
【点评】本题主要考查面面垂直的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属
于中档题．
10．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若 ，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接PO，证明BD⊥平面PCO，即可证明BD⊥PC；
（2）先利用勾股定理证明AO⊥PO，由等腰三角形的性质可得PO⊥BD，则可证明PO⊥平面ABCD，
利用等体积法可求点A到平面PBC的距离．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接PO，
∵底面ABCD为菱形，OB＝OD，CO⊥BD，
又PB＝PD，∴PO⊥BD．
又PO⋂CO＝O，PO，CO 平面PCO，
∴BD⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，
∴BD⊥PC． ⊂
（2）∵AB＝BD＝2，底面ABCD为菱形，
∴△ABD为等边三角形，∴ ，
在等边三角形PBD中，BD＝2，∴ ，
∴PO2+AO2＝3+3＝6＝PA2，∴AO⊥PO，
又PO⊥BD，AO⋂BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15易知 ， ．
设点A到平面PCD的距离为d，因为V
P﹣ACD
＝V
A﹣PCD
，
∴S△ACD⋅PO＝S△PCD⋅d，即 ，
解得 ，
∴点A到平面PCD的距离为 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，点面距的求解，属中档题．
11．（2023•阿勒泰地区三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图①，以
DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②．
（1）证明：CP⊥DE；
（2）若CE⊥平面DEP，且AB＝2，求点C到平面PBD的距离．
【分析】（1）由题可得∠ACB＝90°，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）根据线面垂直的判定定理可得PE⊥平面CDBE，然后利用等积法结合条件即得．
【解答】证明：（1）在图1中，因为AB＝2BC＝2CD，且D为AB的中点，
∴∠ACB＝90°，又E为AC的中点，所以DE∥BC，
在图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，且CE∩PE＝E，CE，PE 平面CEP，
∴DE⊥平面CEP，又PC 平面CEP， ⊂
所以CP⊥DE； ⊂
（2）解：因为CE⊥平面DEP，PE 平面DEP，
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16所以CE⊥PE，又PE⊥DE，CE⋂DE＝E，CE，DE 平面CDBE，
所以PE⊥平面CDBE，连接BE，则PE⊥BE， ⊂
因为AB＝2BC＝2CD＝2，△BCD为等边三角形，
所以PD＝1，BD＝1， ， ，
所以 ，
取PB的中点F，连接DF，则 ，
设点C到平面PBD的距离为h，
∵V
P﹣BCD
＝V
C﹣PBD
，即 ，解得 ，
即点C到平面PBD的距离为 ．
【点评】本题主要考查点、线、面的距离计算，考查转化能力，属于中档题．
12．（2023•射洪市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝
AD＝2CD＝2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点．
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）当PB＝ 时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．
【分析】（1）取线段PA的中点F，连接EF、FD，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17CEFD为平行四边形，则CE∥DF，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知条件可证得AB⊥平面PAD，从而可得平面PAD⊥平面ABCD，分别取线段AD，BC的中点
O，M，连接PO，OM，则可证得OA、OM、OP两两垂直，所以分别以OA、OM、OP所在直线为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用空间向量即可求解．
【解答】解：（1）证明：取线段PA的中点F，连接EF、FD，
则EF为△PAB的中位线，
∴EF∥ AB，
由题知CD∥AB且CD＝ AB，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∴四边形CEFD为平行四边形，
∴CE∥DF，
∵DF 平面PAD，CE 平面PAD，
∴CE∥⊂平面PAD． ⊄
（2）在△PAB中，∵AB＝PA＝2PB＝2 ，∴AB⊥PA．
又∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD，
又AB 平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
分别取⊂线段AD，BC的中点O，M，连接PO，OM，
因为△APD为等边三角形，O为AD的中点，
所以PO⊥AD，即PO⊥平面ABCD，PO＝ ．
因为O，M分别为AD，BC的中点，
所以OM∥AB，
又AB⊥AD，所以OM⊥AD．
分别以OA、OM、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B（1，2，0），P（0，0， ），C（﹣1，1，0），D（﹣1，0，0），E（ ，1， ），
＝（﹣1，1，﹣ ）， ＝（0，1，0）， ＝（ ，0， ），
设平面PCD的法向量为 ＝（x，y，z），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18则 ，即 ，
令z＝1， ＝（﹣ ，0，1），可得d＝ ＝ ＝ ．
所以点E与到平面PCD的距离为 ．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，线面平行的判定定理以及空间向量的运算，考查了数形结合思
想，属于中档题．
13．（2023•河南模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝2， ， ，△PAD为等边三
角形，∠PDC＝∠ADC＝45°．
（1）证明：平面PDC⊥平面PBC；
（2）求点C到平面PAB的距离．
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到DE2＝2，由勾股定理逆定理得到PE⊥CD，找到∠AEP为
二面角A﹣DC﹣P的平面角，且∠PEA＝90°，得到平面PDC⊥平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形
得到线面垂直，进而证明平面PDC⊥平面PBC；
（2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离．
【解答】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19易知 ，PD＝2，∠PDE＝45°，
在△PDE中，由余弦定理得，PE2＝PD2+DE2﹣2PD⋅DEcos∠PDE＝2，
则DE2+PE2＝PD2，故PE⊥CD，
由AD＝2， ，∠ADE＝45°，同理可得 且AE⊥CD，
故∠AEP为二面角A﹣DC﹣P的平面角，
又PA＝2，则AE2+PE2＝PA2，故∠PEA＝90°，故平面PDC⊥平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且∠AEC＝90°，则四边形ABCE为矩形，
故BC⊥CD．又BC 平面ABCD，平面PDC⋂ 平面ABCD＝CD，
故BC⊥平面PCD，⊂又BC 平面PBC，则平面PDC⊥平面PBC．
（2）解：连接AC，设C到⊂平面PAB的距离为h，
由（1）得平面ABCD⊥平面PCD，PE⊥CD，由面面垂直的性质定理，同理可得PE⊥平面ABCD，
V C﹣PAB ＝V P﹣ABC ，即 ，
∵PE⊥CD，AE⊥CD，PE⋂AE＝E，PE，AE 平面AEP，则CD⊥平面AEP，
又AB∥CD，故AB⊥平面AEP，PA 平面AE⊂P，故PA⊥AB，
⊂
故 ，故 ，解得h＝1．
【点评】本题主要考查明明垂直的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（2023•新疆模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面ABCD是长方形，2AD＝CD＝PD＝2，PA＝
，∠PDC＝120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且AF＝ ．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求点C到平面DEF的距离．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【分析】（1）根据已知条件，先求出AD⊥PD，再结合正方形的性质，推得AD⊥DC，再运用线面垂
直的判定定理，即可求证；
（2）根据已知条件，推得EH⊥平面ABCD，DF⊥EM，再结合等体积法，即可求解．
【解答】（1）证明：因为AP＝ ，PD＝2，AD＝1，
所以AP2＝PD2+AD2，所以AD⊥PD，
底面ABCD是长方形，
则AD⊥DC，PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD，
所以AD⊥平面PCD， ⊂
又AD 平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD；
（2）解⊂：如图，作 EH⊥DC 于 H，HM⊥DF 于M，连接EM，
因为EH⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC 平面ABCD，
所以EH⊥平面ABCD； ⊂
因为AD⊥平面PCD，EH 平面PCD，
所以AD⊥EH． ⊂
因为DF 平面ABCD，
所以EH⊂⊥DF；
因为HM⊥DF，HM∩EH＝H，HM，EH 平面EHM，
所以DF⊥平面EHM，EM 平面EHM，所⊂以DF⊥EM．
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21设棱锥C﹣DEF的高为h，
因为底面ABCD是长方形，2AD＝CD＝PD＝2， ，
点E为线段PC的中点，且 ，
所以 ，
，
所以 ，
因为V
E﹣DFC
＝V
C﹣DFE
，即 ，
则 ＝ ，
所以棱锥C﹣DEF的距离 ．
【点评】本题主要考查点、线、面距离的计算，考查转化能力，属于中档题．
15．（2023•榆林一模）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，
PA⊥PD，且PA＝PD＝ ，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．
【分析】（1）取AD的中点G，证明AD⊥平面PBG，由线面垂直的性质定理即可得证；
（2）利用等体积法求点面距离即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22【解答】（1）证明：取AD的中点G，连接BD，BG，PG．因为PA＝PD＝ ，AB＝2CD＝2，所以
AD⊥PG．
又PA⊥PD，所以AD＝2．
又AB＝2，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，所以AD⊥BG．
因为PG∩BG＝G，且PG，BG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG．
又PB 平面PBG，所以AD⊥P⊂B．
（2）⊂解：因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD＝60．
又CD＝1，BD＝2，所以BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC＝4+1﹣2＝3，则BC＝ ．
由BD2＝BC2+CD2，得BC⊥CD，故AB⊥BC，连接AC，
则S△ABC ＝ AB•BC＝ ．因为平面PAD⊥底面ABCD，AD⊥PG，PG 平面PAD，所以PG⊥平面
ABCD， ⊂
则V P﹣ABC ＝ S△ABC •PG＝ ＝ ，
连接CG．因为CD＝DG＝1，∠CDG＝120°，
所以CG＝ ，PC＝ ＝2，PB＝ ＝2，
在△PBC中，点P到BC的距离h＝ ＝ ，
则S△PBC ＝ BC•h＝ ，
得 × d＝ ，
解得d＝ ，即点A到平面PBC得距离为 ．
【点评】本题考查空间直线、平面位置关系的判断，考查点面距离的计算，考查空间想象能力、推理论
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23证、计算、转化能力，属于中档题．
16．（2023•呼和浩特模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱
AB、AP、PD的中点．
（1）证明：PC∥平面EFG；
（2）若PC＝PD＝CD＝2 ，AC＝AD＝AP＝2，求点C到平面EFG的距离．
【分析】（1）依题意可得EF∥BP，GF∥AD，即可得到EF∥平面PBC，再由ABCD为平行四边形得
到GF∥BC，从而得到GF∥平面PBC，即可得到平面FEG∥平面EFG，可证结论；
（2）取AC的中点H，连接FH，HE，依题意可得S△EFH ＝S△EFG ，利用勾股定理逆定理可得PA⊥AD，
同理可得PA⊥AC，DA⊥AC，从而可证AC⊥平面APD，AD⊥平面APC，求出S△EFH ，S△AFG ，设A到
平面EFG的距离为d，由V
A﹣EFG
＝V
E﹣AFG
，可求得d，由H为AC的中点，即A，C到平面EFG的距离
相等，从而得解．
【解答】（1）证明：∵E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
所以EF∥BP，GF∥AD，又EF 平面PBC，BP 平面PBC，所以EF∥平面PBC，
又由ABCD为平行四边形，所以⊄AD∥BC，所以⊂GF∥BC，
GF 平面PBC，BC 平面PBC，所以GF∥平面PBC，
又因⊄为GF∩EF＝F，⊂GF，EF 平面EFG，所以平面FEG∥平面EFG，
又PC 平面PBC，所以PC∥平⊂面EFG；
， ⊂
（2）解：取AC的中点H，连接FH，HE，所以EH∥CB∥AD，且EF＝FG，
所以可得S△EFH ＝S△EFG ，
因为PD＝2 ，AD＝AP＝2，所以PD2＝AD2+AP2，即PA⊥AD，
同理可得PA⊥AC，DA⊥AC，又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AC⊥平面APD，
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，AD⊥平面APC，⊂
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24所以EH⊥平面APC，HF 平面PAC，所以EH⊥HF，
⊂
因为EH＝ BC＝1，FH＝ PC＝ ，
所以S△EFH ＝S△AFG ＝ ×1× ＝ ，S△AFG ＝ AF•FG＝ ×1×1＝ ，HA＝ AC＝1，
设A到平面EFG的距离为d，由V
A﹣EFG
＝V
E﹣AFG
，
所以 S△AFG •HA＝ S△EFG •d，解得d＝ ，
又因为H为AC的中点，即A，C到平面EFG的距离相等，
所以C到平面EFG的距离为 ．
【点评】本题考查利用面面平行证线面平行，求点到面的距离，属中档题．
17．（2023•驻马店三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A B C 中，E为CC 上一点，AB＝CE＝2，AA ＝3，D
1 1 1 1 1
为BB 上一点，三棱锥D﹣A B C 的体积为 ．
1 1 1 1
（1）求证：平面A DE⊥平面ABB A ；
1 1 1
（2）求点E到平面A C D的距离．
1 1
【分析】（1）取AB，A D的中点O，F，由线面垂直的判定可证得CO⊥平面ABB A ，利用三棱锥体
1 1 1
积公式可构造方程求得B D，结合长度关系证得四边形CEFO为平行四边形，由平行关系可得EF⊥平
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25面ABB A ，根据面面垂直的判定可证得结论；
1 1
（2）利用等体积转化，即 ，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果．
【解答】解：（1）证明：分别取AB，A D的中点O，F，连接CO，FO，EF，
1
∵△ABC为等边三角形，O为AB中点，∴CO⊥AB；
∵AA ⊥平面ABC，CO 平面ABC，∴AA ⊥CO；
1 1
又AA 1⋂AB＝A，AA
1
，A⊂B 平面ABB
1
A
1
，∴CO⊥平面ABB
1
A
1
；
⊂
∵O，F分别为AB，A D中点，∴OF∥AA ∥BD， ，
1 1
∵ ，解得：B D＝2，
1
∴BD＝1，∴ ，则OF＝CE，又OF∥AA ∥CE，
1
∴四边形CEFO为平行四边形，∴EF∥CO，
又CO⊥平面ABB A ，∴EF⊥平面ABB A ，
1 1 1 1
∵EF 平面A DE，∴平面A DE⊥平面ABB A ．
1 1 1 1
（2）⊂取A C 中点M，连接B M，DM，
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26∵△A B C 为等边三角形，M为A C ，∴B M⊥A C ；
1 1 1 1 1 1 1 1
∵AA ⊥平面A B C ，B M 平面A B C ，∴AA ⊥B M；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵AA ∩A C ＝A ，AA ，A⊂C 平面ACC A ，∴B M⊥平面ACC A ；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵B D∥CC ，B D 平面ACC⊂A ，CC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴B D∥平面ACC⊄A ， ⊂
1 1 1
∴点D到平面ACC A 的距离即为点B 到平面ACC A 的距离，即B M；
1 1 1 1 1 1
∵ ，∴DM⊥A C ，又A M＝2，∴ ，
1 1 1
∴ ；
又 ， ，
∴ ；
设点E到平面A C D的距离为d，
1 1
则 ，
解得： ，即点E到平面A C D的距离为 ．
1 1
【点评】本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，等体积法求解点面距问
题，化归转化思想，属中档题．
18．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝
2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）求点P到平面AEF的距离．
【分析】（1）先根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，再根据AB⊥BC，利用线面垂直的判定定理证明
BC⊥平面PAB，即AE⊥BC，再根据线面垂直的判定定理能证明AE⊥平面PBC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27（2）先根据长度及垂直关系得到AF，AE，EF，进而得到△AEF的面积，再计算出V
F﹣PAE
，根据等体
积法能求出点P到平面AEF的距离．
【解答】解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，∴B⊂C⊥平面PAB，
∵AE 平面PAB，∴⊂AE⊥BC， ⊂
∵PA＝⊂AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，
∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，
∵PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．⊂ ⊂
（2）由F是BC的中点，∴AF＝ ＝ ，
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB，
⊂
∵E为线段PB的中点，∴AE＝ ＝ ，
由（1）知AE⊥平面PBC，EF 平面PBC，
⊂
∴AE⊥EF，∴EF＝ ＝ ，
∴S△AEF ＝ ＝ ，
∵PA＝AB＝2，∴ ＝ ＝1，
由（1）知BC⊥平面PAB，∴FB⊥平面PAB，
设点P到平面AEF的距离为h，
则有V
P﹣AEF
＝ ＝ ＝V
F﹣PAE
＝ ＝ ，
解得h＝ ，
∴点P到平面AEF的距离为 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（2023•郑州模拟）在几何体ABC﹣A B C 中，AB＝BC＝ ，AC＝3，点D，E在棱AC上，且AD＝
1 1 1
DE＝EC，三棱柱DBE﹣A B C 是直三棱柱．
1 1 1
（1）求证：平面A BE⊥平面ABB ；
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28（2）若A D＝2，求点A 到平面AB C的距离．
1 1 1
【分析】（1）由直三棱柱的性质可得 BB ⊥平面 BDE，即可得到 BB ⊥BE，再由余弦定理求出
1 1
∠ABC、BE，即可得到AB⊥BE，从而得到BE⊥平面ABB ，即可得证；
1
（2）取A C 的中点M，DE的中点N，连接B M，B N，由面面垂直的性质得到B M⊥平面A AC，再由
1 1 1 1 1 1
及等体积法计算可得．
【解答】（1）证明：∵三棱柱DBE﹣A B C 是直三棱柱，∴BB ⊥平面BDE，
1 1 1 1
∵BE 平面BDE，∴BB ⊥BE，
1
⊂
又 ，AC＝3，点D，E在棱AC上，且AD＝DE＝EC，
则AD＝DE＝EC＝1
∴ ，显然0＜∠ABC＜ ，∴ ，
π
∴ ，则 ，
∴BE2+AB2＝AE2，即AB⊥BE，
又BB ∩AB＝B，BB ，AB 平面ABB ，∴BE⊥平面ABB ，
1 1 1 1
又BE 平面A BE，∴平面⊂A BE⊥平面ABB ；
1 1 1
（2）⊂解：取A C 的中点M，DE的中点N，连接B M，B N，
1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29设点A 到平面AB C的距离为d，∵
1 1
，
∴ ，
∵平面A B C ⊥平面A AC，B M⊥A C ，平面A B C ∩平面A AC＝A C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴B M⊥平面A AC，
1 1
∵ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴点A 到平面AB C的距离为 ．
1 1
【点评】本题主要考查面面垂直的证明，点到平面距离的求法，等体积法的应用，考查运算求解能力，
属于中档题．
20．（2023•贵阳模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2 ，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的
中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且 ＝2，求点M到平面PAB的距离．
【分析】（1）利用勾股定理可得OB⊥OP，再结合OP⊥AC即可得证；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30（2）建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，求得点C到平面PAB的距离，可求点M到平
面PAB的距离．
【解答】解：（1）证明：连接OB，
因为PA＝PC，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝ ＝ ＝2 ，
又AB2+BC2＝AC2，则AB⊥BC，
所以OB＝ AC＝2，PB＝4，
则OB2+OP2＝PB2，
所以OB⊥OP，
又OB∩AC＝O，OB 平面ABC，AC 平面ABC，
所以OP⊥平面ABC；⊂ ⊂
（2）易知OB，OC，OP两两互相垂直，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），
所以 ＝（0，2，2 ）， ＝（﹣2，0，2 ），
设平面PAM的一个法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，令z＝1，则x＝ ，y＝﹣ ，
所以平面PAM的一个法向量为 ＝（ ，﹣ ，1），
又 ＝（﹣2，2，0），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31∴C到平面PAB的距离d＝ ＝ ＝ ．
∵ ＝2，∴点M到平面PAB的距离为 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求点到面的距离，考查逻辑推理能力以及运算求解
能力，属中档题．
21．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D D＝CD＝2，
1 1 1 1 1
AB⊥AD．
（1）求证：BC⊥平面D DB；
1
（2）求点D到平面BCD 的距离．
1
【分析】（1）证明直线BC垂直面D DB内的两条相交直线D D、DB，即可得到BC⊥平面D DB；
1 1 1
（2）利用等体积法求点D到平面BCD 的距离．
1
【解答】（1）证明：∵ABCD﹣A B C D 为直四棱柱，
1 1 1 1
∴D D⊥平面ABCD，则BC⊥D D．
1 1
∵AB∥CD，AB⊥AD，∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB＝AD＝1，CD＝2，∴BD2＝2，BC2＝2，
得BD2+BC2＝CD2，则BC⊥DB，
∵D D∩DB＝D，∴BC⊥平面D DB；
1 1
（2）解：由已知可得， ，BC＝ ，
又由（1）知BC⊥BD ，∴ ，
1
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32设点D到平面BCD 的距离为h，由 ，
1
可得 ，则h＝ ．
即点D到平面BCD 的距离为 ．
1
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求点到
平面的距离，是中档题．
考法2：体积问题
1．（2023•吴忠模拟）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD，
∠ABC＝60°，DE∥AF，且FA＝3DE＝3．
（1）在线段AB上是否存在点M，使得ME∥平面BCF；
（2）求三棱锥A﹣EFC的体积．
【分析】（1）分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，由题意可证得
GM∥BF，GE∥BC，由面面平行的判定定理即可证得平面GME∥平面BCF，再由面面平行的性质定理
即可证得ME∥平面BCF；
（2）由等体积法即可求出三棱锥A﹣EFC的体积．
【解答】解：（1）存在，理由如下：
如图，分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33则 ，所以GM∥BF．
又GM 平面BCF，BF 平面BCF，
所以G⊄M∥平面BCF．⊂
因为DE∥AF， ，FA＝3DE＝3，
所以DE∥AG，DE＝AG，
所以四边形ADEG是平行四边形，
所以GE∥AD，
因为AD∥BC，所以GE∥BC，
又GE 平面BCF，BC 平面BCF，
所以G⊄E∥平面BCF，⊂
且GM∩GE＝G，所以平面GME∥平面BCF，
ME 平面GME，
所以⊂ME∥平面BCF．
（2）由题意可知△ACD为等边三角形，因为FA⊥底面ABCD，
所以平面ACD⊥平面ADEF，平面ACD⋂ 平面ADEF＝AD，
过点C作CQ⊥AD，所以CQ⊥平面ADEF，因为△ACD为等边三角形，
所以 ，则点C到平面ADEF的距离 ，
，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34【点评】本题主要考查线面平行的相关计算，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础
题．
2．（2023•九江三模）直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥BC，D为CC 的中点， ．
1 1 1 1
（1）求证：平面AB C⊥平面ABD；
1
（2）若 ，求三棱锥B ﹣ABD的体积．
1
【分析】（1）先证AB⊥平面BB C C，得到B C⊥AB①，再借助三角形相似证明B C⊥BD②，最后
1 1 1 1
证出平面AB C⊥平面ABD；
1
（2）等体积法求 即可．
【解答】证明：（1）∵ABC﹣A B C 为直三棱柱，∴AB⊥BB ，
1 1 1 1
又∵AB⊥BC，BC⋂BB
1
＝B，∴AB⊥平面BB
1
C
1
C，
∵B C 平面BB C C，∴B C⊥AB①，
1 1 1 1
⊂
设BC＝t，则 ， ，
， ，∴∠BB C＝∠CBD，
1
∵∠BB C+∠B CB＝90°，∴∠CBD+∠B CB＝90°，故B C⊥BD②，
1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35由①②，AB 平面ABD，AD 平面ABD，且AB⋂BD＝B，知B
1
C⊥平面ABD，
又∵B C 平面⊂AB C， ⊂
1 1
∴平面A⊂B C⊥平面ABD；
1
解：（2）由BC2+CD2＝BD2，得 ，
解得 ，
∴△BB D的面积 ，
1
由（1）知AB⊥平面BB C C，
1 1
∴三棱锥A﹣BB D的体积 ，
1
∴三棱锥B ﹣ABD的体积 ．
1
【点评】本题主要考查了面面垂直的判定，考查了等体积法求三棱锥的体积公式，属于中档题．
3．（2023•遵义模拟）如图，棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝BB'＝CC'＝DD'＝ ，底面ABCD是边长为4
的正方形，底面A′B′C′D′是边长为2的正方形，连接AC′，BD，DC′．
（1）证明：AC′⊥BD．
（2）求三棱锥D﹣BCC′的体积．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明 ＝0，即可得AC′⊥BD；
（2）利用V D﹣BCC′ ＝V C′﹣DBC ＝ S△DBC •C′H求解即可．
【解答】解：（1）证明：由题意，该棱台是正四棱台．连接AC交BD于O，以OA，OB所在直线为
x，y轴，
经过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，交上底面A′B′C′D′于O′，连接C′O′，建立空间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36直角坐标系如图．
根据正四棱台的性质，过C′作底面ABCD的垂线，则垂足H在AC上．
根据题干数据， ， ， ，
C′O′为上底面正方形对角线长的一半，
显然 ，故 ， ，
则 ，故 ，
于是 ＝（﹣3 ，0， ）， ＝（0，﹣4 ，0），
则 ＝0，
所以 ⊥ ，
所以AC′⊥BD；
（2）因为V D﹣BCC′ ＝V C′﹣DBC ＝ S△DBC •C′H＝ × ×4×4× ＝ ，
所以三棱锥D﹣BCC′的体积为 ．
【点评】本题考查了建模思想、利用空间向量证明直线与直线垂直，用改变顶点法求几何体的体积，属
于中档题．
4．（2023•河南模拟）如图，ABCD﹣A B C D 是棱长为2的正方体，E是B D 的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）证明：CE⊥BD；
（2）求三棱锥A﹣B CE的体积．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37【分析】（1）利用正方形性质和线面垂直的判定得AC⊥BD，AA ⊥BD，再利用线面垂直的判定即可；
1
（2）设AC与BD交于点F，连接B F，首先证明DE∥平面AB C，再利用顶点转化法即可求出三棱锥
1 1
体积．
【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
在正方体ABCD﹣A B C D 中，AA ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1
又BD 平面ABCD，
所以A⊂A
1
⊥BD，
又AA ∩AC＝A，AA 平面AA C C，AC 平面AA C C，
1 1 1 1 1 1
所以BD⊥平面AA C⊂C， ⊂
1 1
又CE 平面AA C C，
1 1
所以C⊂E⊥BD；
（2）证明：设AC与BD交于点F，连接B F，
1
在正方体ABCD﹣A B C D 中，BD∥B D 且BD＝B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又E，F分别是B D ，BD的中点，
1 1
∴DF∥B E，DF＝B E，
1 1
∴四边形B EDF是平行四边形，
1
∴DE∥B F，
1
又∵DE 平面AB C，B F 平面AB C，
1 1 1
⊄ ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38∴DE∥平面AB C．
1
又 正 方 体 ABCD﹣ A B C D 的 棱 长 为 2 ，
1 1 1 1
．
【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
5．（2023•商洛三模）如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝2，
，PC⊥底面ABCD，M为棱AP上的一点．
（1）证明：AB⊥CM；
（2）若三棱锥P﹣CDM的体积为 ，求 的值．
【分析】（1）过点A作AN⊥BC，垂足为N，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝60°，利用余弦定理
求出AC2，从而得到AC⊥AB，由线面垂直得到PC⊥AB，即可证明AB⊥平面PAC，从而得证；
（2）设 ，则V P﹣CDM ＝ V P﹣ACD ，求出V P﹣ACD ，即可求出 ，从而得解．
【解答】（1）证明：过点A作AN⊥BC，垂λ足为N， λ
在等腰梯形ABCD中，因为AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝2，所以 ，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BCcos∠ABC＝3，则AB2+AC2＝BC2，则AC⊥AB，
因为PC⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，所以PC⊥AB，
因为AC∩PC＝C，AC，PC⊂ 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，
又CM 平面PAC，所以AB⊥⊂CM；
⊂
（2）解：设 ，则V P﹣CDM ＝ V P﹣ACD ，
λ
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
即当三棱锥P﹣CDM的体积为 时， ．
【点评】本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积应用，属于中档题．
6．（2023•重庆模拟）如图，在正三棱锥S﹣ABC中，E是高SO上一点， ，直线AE与底面所
成角的正切值为 ．
（1）求证：AE⊥平面EBC；
（2）求三棱锥E﹣ABC外接球的体积．
【分析】（1）延长AO交BC于点D，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，计算出平面 EBC的
法向量 ，证明出 ，即可证得结论成立；（2）设正三棱锥E﹣ABC的外接球球心为O′（0，
0，t），根据O′A＝O′E可求得t的值，即可求得外接球的半径，结合球体的体积计算可得结果．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于点D．
因为SO⊥平面ABC，所以∠EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40从而 ，所以 ．
因为AO＝2，则 ，SA＝4， ．
以点O为坐标原点，与CB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直
角坐标系O﹣xyz，
则O（0，0，0），A（0，﹣2，0）， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面EBC的法向量为 ，
由 ，得 ，取z＝1，则 ，x＝0，即 ，
所以 ，即 ，所以AE⊥平面EBC；
（2）解：因为E是正三棱锥S﹣ABC的高SO上一点，
故三棱锥E﹣ABC为正三棱锥，设其外接球的球心为O'（0，0，t），
由O'A＝O'E，得 ，解得 ，
所以外接球的半径 ，所以外接球的体积 ．
【点评】本题考查了线面平行的证明以及三棱锥的外接球体积的计算问题，属于中档题．
7．（2023•江西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41面PBC．
（1）证明：四边形ABCD是正方形；
（2）若PA＝AB＝3，M为PC上一点，且满足PC＝3PM，求三棱锥P﹣ABM的体积．
【分析】（1）过点A作AE⊥PB交PB于点E，利用面面垂直的性质定理得到AE⊥平面PBC，利用线
面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，结合四边形ABCD是菱形即可得证；
（2）利用等体积得到 ，设点M到平面ABCD的距离为h，代入三棱锥的
体积公式即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AE⊥PB交PB于点E，
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AE⊥PB，AE 平面PAB，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥BC， ⊂
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AE∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AB，
由题意四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵ ，
设点M到平面ABCD的距离为h，则 ，
由 ，
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42【点评】本题考查了面面垂直的性质定理和三棱锥的体积计算，属于中档题．
8．（2023•重庆模拟）如图，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，AC＝EA＝2FC＝2，四边形ABCD为菱形．
（1）证明：FA⊥平面EBD；
（2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 ，求三棱锥E﹣BDF的体积．
【分析】（1）设 AC，BD 交于点 O，连接 OE，根据线面垂直的性质可得 EA⊥BD，FC⊥BD，
EA⊥AC，CF⊥AC，证明Rt△EAO≅Rt△ACF，从而可得∠AEO＝∠FAC，进而可证EO⊥AF，再根据
线面垂直的判定定理即可得证；
（2）如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OB＝a，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的
正弦值求出a，再利用向量法求出点F到平面EBD的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解．
【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，连接OE，
因为EA∥FC，所以A，C，F，E四点共面，
因为EA⊥平面ABCD，所以FC⊥平面ABCD，
因为AC，BD 平面ABCD，
所以EA⊥BD，⊂FC⊥BD，EA⊥AC，EF⊥AC，
又四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD， ，
因为AC∩EA＝A，所以BD⊥平面ACFE，所以BD⊥FA，
又AC＝EA＝2FC＝2，
所以OA＝FC，
所以Rt△EAO≅Rt△ACF，
所以∠AEO＝∠FAC，
所以∠EAF+∠AEO＝∠EAF+∠FAC＝90°，
所以EO⊥AF，
又EO∩BD＝O，EO，BD 平面EBD，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百⊂】
43所以FA⊥平面EBD；
（2）解：如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OB＝a，
则B（a，0，0），C（0，1，0），D（﹣a，0，0），A（0，﹣1，0），E（0，﹣1，2），F（0，1，
1）， ，
由（1）知 是平面EBD的一个法向量，
则 ，解得a＝3，
则 ，
则点F到平面EBD的距离 ，
又 ，则 ，
所以三棱锥E﹣BDF的体积为 ．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
9．（2023•河南模拟）如图，已知三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AC＝2，A A＝A B＝A C＝2 ，∠BAC
1 1 1 1 1 1
＝90°，E是BC的中点，F是线段A C 上一点．
1 1
（1）求证：AB⊥EF；
（2）设P是棱AA 上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求棱锥P﹣ABC的体积．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44【分析】（1）连接A E，AE，根据题意得到A E⊥平面ABC，利用线面垂直的性质即可得证；
1 1
（2）由题意当 PE⊥AA 时，PE最小，此时△PBC面积最小，在△A AE中，过 P做PM⊥AE，则
1 1
PM∥A E，求得对应值后代入三棱锥体积公式，即可求解．
1
【解答】证明：（1）连接A E，AE，
1
∵A B＝A C，E为BC中点，∴A E⊥BC，
1 1 1
又AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AE⊥BC，且AE＝BE＝EC，
∵A A＝A B＝A C，
1 1 1
△A
1
AE≅△A
1
EB，∴A
1
E⊥AE，又A
1
E⊥BC，BC∩AE＝E，
∴A E⊥平面ABC，A E⊥AB；
1 1
由已知AB⊥AC，AC∥A C ，∴AB⊥A C ，A C ∩A E＝A ，∴AB⊥平面A C E，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
而F A C ，EF 平面A C E，∴AB⊥EF；
1 1 1 1
解：∈（2）由（1⊂）可知A E⊥BC，AE⊥BC．∴BC⊥平面A AE，∴BC⊥PE，
1 1
，又∵P在棱A A上移动，∴当PE⊥AA 时，PE最小，此时△PBC面积最小，
1 1
在Rt△A EA中， ，则 ，∴ ，
1
在△A AE中，过P做PM⊥AE，则PM∥A E，∴ 平面ABC，于是可得 ，
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45∴ ．
【点评】本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
10．（2023•湖南模拟）如图，四边形ABCD为正方形，四边形ADEF是梯形，AF∥DE，AD＝DE＝3AF，
平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，点P是线段FC上的一点（不包括端点）．
（1）证明BD⊥FC；
（2）若AF＝1，且直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，求三棱锥C﹣PBD的体积．
【分析】（1）由面面垂直得AB⊥平面ADEF，从而得AB⊥AF．再由已知ED⊥BD，得AF⊥BD，从而
可得AF⊥平面ABCD，得证AF⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明BD⊥平面AFC，即可证得；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，由线面角的空间向量法求得 值，
λ
然后由棱锥体积公式计算可得．
【解答】证明：（1）连接AC，因为四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AB⊥AD，
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，
又AF 平面ADEF，∴AB⊥AF， ⊂
∵ED⊥⊂BD，AF∥DE，∴AF⊥BD，
又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABCD，
∴AF⊥平面ABCD， ⊂
又BD 平面ABCD，∴AF⊥BD，
又AC⊥⊂BD，AF∩AC＝A，AF，AC 平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又FC 平面AFC⊂，
∴BD⊥FC； ⊂
解：（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如
图所示：
则F（0，0，1），C（3，3，0），B（3，0，0），D（0，3，0），E（0，3，3），
所以 ， ．设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46则 ，
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令x＝1，解得y＝1， ，
所以 ，
又直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，
所以 ，
解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判断定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，以及
三棱锥的体积公式，属于中档题．
11．（2023•安阳模拟）如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，AA ⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D，
1 1 1 1
E，F分别是棱B C ，AC，BC的中点．
1 1
（1）证明：AD∥平面C EF；
1
（2）若2AA ＝3AB＝3，求三棱锥A﹣C DE的体积．
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47【分析】（1）先证明平面ABD∥平面C EF，再由面面平行的性质定理可得AD∥平面C EF；
1 1
（2）由线面垂直的性质和等积法，结合棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【解答】解：（1）证明：连接BD，由E，F分别是棱AC，BC的中点，可得EF∥AB，
EF 平面ABD，则EF∥平面ABD；
又D⊄是棱B
1
C
1
的中点，可得BF∥DC
1
，且BF＝DC
1
，
可得四边形BFC D为平行四边形，即有C F∥BD，
1 1
而C F 平面ABD，则C F∥平面ABD，
1 1
由面面⊄平行的判定定理可得平面C EF∥平面ABD，
1
而AD 平面ABD，可得AD∥平面C EF；
1
⊂
（2）连接CD，由E为AC中点，可得 ，
由题意，2AA ＝3AB＝3，则 ，
1
作EG⊥BC于G，则EG⊥面BB C C，且 ，即三棱锥E﹣CC D的高为 ，
1 1 1
所以 ．
【点评】本题考查空间中线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48属于中档题．
12．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝ ，DH⊥平面ABCD，
EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）求三棱锥 F﹣BDG的体积．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，先证明四边形AOGE为平行四边形，得到AE∥GO，再根据线面
平行的判定得证；
（2）连接GE交FH于K，可证得GE⊥面BDHF，再利用等体积法求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EG，GO，
由ABCD﹣EFGH为四棱台，可知ACGE四点共面，且EG 面EFGH，AC 面ABCD，
∴EG∥AC， ⊂ ⊂
∵EFGH和ABCD均为菱形，且 ，EH＝2，AD＝4，
∴ ，
∴四边形AOGE为平行四边形，
∴AE∥GO，
又GO 面BDG，AE 面BDG，
∴AE∥⊂平面BDG； ⊄
（2）连接GE交FH于K，
∵GE⊥FH，FD⊥GE，FH∩DH＝D，FH 面BDHF，DH 面BDHF，
∴GE⊥面BDHF， ⊂ ⊂
∵四边形ABCD为菱形且 ，EF＝2，
∴ ，
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49【点评】本题考查线面平行的判定以及三棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中
档题．
13．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D
（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直及平行关系证明线线垂直；
（2）通过线面垂直找到三棱锥的高，建立锥体体积函数，利用导数法求最值即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，M，E分别为AC，BC的中点，则ME∥AB，
折叠前AD⊥BC则折叠后AD⊥CD，又∠BDC＝90°即CD⊥BD，且AD⋂BD＝D，
又AD 平面ADB，BD 平面ADB，所以CD⊥平面ADB，
又AB⊂平面ADB，所以⊂CD⊥AB，而ME∥AB，所以CD⊥ME；
（2）⊂设BD＝x（0＜x＜3），则CD＝3﹣x，
因为AD⊥CD，AD⊥BD，且CD⋂BD＝D，
又CD 平面BDC，BD 平面BDC，所以AD⊥平面BDC，
所以A⊂D为三棱锥A﹣B⊂CD的高，
在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，所以AD＝CD＝3﹣x，
所以 ，
则 ，令V′＝0解得x＝1或x＝3（舍去），
令V′＞0解得0＜x＜1，令V′＜0解得1＜x＜3，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50所以 在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
故当x＝1即当BD＝1，CD＝2时，V
A﹣BCD
取最大值，
此时 ．
【点评】本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，三棱锥的体积的最值的求解，函数思
想，属中档题．
14．（2023•乌鲁木齐模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA
＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．
【分析】（1）在线段PB上取点M，使得PM＝2MB，进而证明DF∥AM即可证明结论；
（2）利用V
P﹣AEF
＝V
D﹣AEF
＝V
F﹣ADE
等体积转化，即可得到本题答案．
【解答】解：（1）证明：在线段PB上取点M，使得PM＝2MB，
所以，在△PBC中， ，且MF∥BC，
因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，
所以MF∥AD，MF＝AD，
所以四边形ADFM是平行四边形，所以DF∥AM，
又DF 平面PAB，AM 平面PAB，
所以D⊄F∥平面PAB；⊂
（2）作FG⊥PD交PD于点G，
因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA与AD交于点A，
所以CD⊥面PAD，CD⊥PD，
又FG⊥PD，所求FG∥CD，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51所以△PFG～△PCD，
所以 ，得 ，又E为PD中点，
所以 ．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积的求解，相似三角形的应用，化归转化思想，属
中档题．
15．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中
1
点，已知AB＝4，BC＝6．
（1）证明：BF⊥平面EPF；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52【分析】（1）根据圆的性质得到AF⊥BF，根据圆柱的性质得到EF⊥BF，然后根据线面垂直的判定定
理证明即可；
（2）根据BF⊥平面EPF得到AB与平面EPF所成角为∠BAF，然后根据线面角得到 ，AF＝
2，最后根据锥体的体积公式求体积即可．
【解答】解：（1）证明：连接AF，
∵四边形ABCD是圆柱OO 的轴截面，
1
∴AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，
又EF是圆柱的母线，
∴EF⊥平面ABF，
∵BF 平面ABF，
∴EF⊂⊥BF，
又∵AF⋂EF＝F，AD∥EF，AF，EF 平面ADEF，
∴BF⊥平面ADEF， ⊂
又∵P是线段AD的中点，
∴平面ADEF即为平面EPF，
∴BF⊥平面EPF．
（2）由（1）知BF⊥平面EPF，
∴BF为三棱锥B﹣EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影，
∴AB与平面EPF所成角为∠BAF，
由已知∠BAF＝60°，AB＝4，BC＝6，
∴ ，AF＝ABcos60°＝2， ，
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53【点评】本题考查线面垂直的判定定理，考查线面角以及三棱锥的体积计算，考查空间想象能力，推理
论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
16．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 的侧面BB C C是边长为1的正方形，侧面BB C C⊥
1 1 1 1 1 1 1
侧面AA B B，AB＝4，∠A B B＝60°，G是A B 的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求证：平面GBC⊥平面BB C C；
1 1
（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．
【分析】（1）在△GB B中，由余弦定理求出GB，由勾股定理逆定理得出GB⊥BB ，再说明GB⊥平面
1 1
BB 1 C 1 C和GB 平面GBC，即可证明； （2）由V A﹣PBG ＝V P﹣ABG ，说明PB为三棱锥P﹣ABG的高，即
可求出体积．⊂
【解答】解：（1）证明：在△GBB 中， ，BB ＝1，∠A B B＝60°，
1 1 1 1
则在△GB B中，由余弦定理得GB＝ ＝ ，
1
因为 ，即 ，
所以GB⊥BB ，由已知平面BB C C⊥平面AA B B，
1 1 1 1 1
且平面BB C C∩平面AA B B＝BB 又GB 平面AA B B，故GB⊥平面 BB C C，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54又GB 平面GBC，则平面GBC⊥平面BB C C；
1 1
（2）由⊂题意知，由（1）知，GB⊥平面 BB C C，BC 平面BB C C，
1 1 1 1
则BC⊥GB，又BC⊥BB ，且GB∩BB ＝B，GB，BB⊂平面AA B B，
1 1 1 1 1
可得BC⊥平面AA B B，因此PB为三棱锥P﹣ABG的高⊂，
1 1
因为∠A B B＝60°，∠GBB ＝90°，所以∠ABG＝30°，
1 1 1
又S△ABG ＝ sin∠ABG×AB×BG＝ × ×4× ＝ ，
所以V A﹣PBG ＝V P﹣ABG ＝ ×S△ABG ×PB＝ × × ＝ ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
17．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱 ABCD﹣A B C D 中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝
1 1 1 1
1，CD＝2，M是DD 的中点．
1
（1）证明：BC⊥B M；
1
（2）若B M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A B C D 的体积．
1 1 1 1 1
【分析】（1）连接BD，求出BD、BC，即可得到BC⊥BD，由线面垂直得到BB ⊥BC，即可证明BC⊥
1
平面B BDD ，从而得证；
1 1
（2）设AA ＝2a（a＞0），利用勾股定理表示出 、CM2、 ，再由B M⊥CM求出a，最后根
1 1
据锥体体积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图，连接BD，∵AB＝AD＝1，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，
∴ ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55∴BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD，
∵BB ⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BB ⊥BC，
1 1
又BB ∩BD＝B，BB ，B⊂D 平面B BDD ，∴BC⊥平面B BDD ，
1 1 1 1 1 1
∵B M 平面B BDD ，∴B⊂C⊥B M．
1 1 1 1
⊂
（2）设AA ＝2a（a＞0），则由已知可得 ，
1
CM2＝CD2+MD2＝4+a2， ，
∵B M⊥CM，∴ ，即2+a2+4+a2＝2+4a2，
1
解得 （负值舍去），∴ ，
∴四棱柱ABCD﹣A B C D 的体积 ．
1 1 1 1
【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，几何体的体积的求解，属中档题．
18．（2023•南宁一模）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，
AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的截
面为 ．
α
（1）若 与棱PB交于点F，画出截面 ，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明 ＝3．
（2）求多α面体ABCDMF的体积． α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56【分析】（1）延长 DC 交 AB 于 E，连接 ME 交 PB 于 F，连接 FC，可得截面 ，可证
△MNF∽△EBF，进而易证结论； α
（2）利用V
ABCDMF
＝V
E﹣MAD
﹣V
E﹣FBC
，可求多面体ABCDMF的体积．
【解答】解：（1）延长DC交AB于E，连接ME交PB于F，连接FC，
如图，四边形MFCD为截面 ，
α
证明：△ADE中，BC∥AD，由 ＝ ，则C为DE的中点，B为AE的中点，
过M作MN∥AB交PB于N，则MN＝ AB＝1，MN∥AB，
∴△MNF∽△EBF，∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝2NF，即BF＝ BP，∴ ＝3．
（2）V
ABCDMF
＝V
E﹣MAD
﹣V
E﹣FBC
，
V E﹣MAD ＝ S△ADM •AE＝ ，V E﹣FBC ＝V F﹣BEC ＝ S△BFC • PA＝ ，
V ABCDMF ＝V E﹣MAD ﹣V E﹣FBC ＝ ．
【点评】本题考查截面的作法，考查体积的求法，属中档题．
19．（2023•平顶山模拟）如图，在矩形 ABCD中，点E在边CD上，且满足AD＝DE＝2，CE＝1，将
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57△ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P﹣ABCE．
（1）若点F在线段AP上，且EF∥平面PBC，试确定点F的位置；
（2）若 ，求四棱锥P﹣ABCE的体积．
【分析】（1）过点F作FG∥AB交PB于点G，根据线面平行的性质定理即得；
（2）取AE的中点O，利用勾股定理及线面垂直的判定定理可得 PO⊥平面ABCE，然后利用锥体的体
积公式即得．
【解答】解：（1）如图，过点F作FG∥AB交PB于点G，连接CG，
因为FG∥AB∥EC，所以E，F，G，C四点共面，
若EF∥平面PBC，由EF 平面EFGC，平面EFGC∩平面PBC＝CG，
⊂
所以EF∥CG，所以四边形EFGC为平行四边形， ，
则 ，
所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF∥平面PBC．
（2）如图，取AE的中点O，连接OB，取BC的中点M，连接OM，
则OM＝2，BM＝1，所以 ，又PA＝PE＝2，
则 ，又 ，则OB2+OP2＝PB2，
所以PO⊥OB．
因为PO⊥AE，PO⊥OB，AE∩OB＝O，AE，OB 平面ABCE，
所以PO⊥平面ABCE， ⊂
则四棱锥P﹣ABCE的体积为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58【点评】本题考查线面平行的证明，四棱锥的体积的求解，属中档题．
20．（2023•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，其中AD∥BC，AB⊥AD，CD＝ ，BC＝2AD＝2，平面
PBC⊥平面ABCD，点E是PB上一点，CE⊥PB．
（1）求证：CE⊥平面PAB；
（2）若△CDE是等边三角形，当点A到直线PC距离最大时，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证明AB⊥平面PBC，从而得到AB⊥CE，又CE⊥PB，由线
面垂直的判定定理证明即可；
（2）首先确定当点A到直线PC距离最大时，PC⊥AC，利用（1）中的结论证明PC⊥平面ABCD，利
用平面几何知识求解梯形ABCD的面积，求出棱锥的高PC，由锥体的体积公式求解即可．
【解答】（1）证明：因为AD∥BC，AB⊥AD，则AB⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC，又CE 平面PBC， ⊂
所以AB⊥CE，又CE⊥PB，⊂PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，
则CE⊥平面PAB； ⊂
（2）解：因为点A到直线PC的距离为d＝AC•sin∠ACP，
当∠ACP＝90°时，点A到直线PC的距离最大，此时PC⊥AC，
由（1）可知，AB⊥平面PBC，又PC 平面PBC，
所以AB⊥PC，又AB∩AC＝A，AB，A⊂C 平面ABCD，
所以PC⊥平面ABCD， ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59又△CDE为等边三角形，所以CD＝CE＝ ，
在Rt△BCE中，BC＝2，CE＝ ，则BE＝ ，
故∠CBE＝45°，所以PC＝2，
因为 ，
故 ，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为1．
【点评】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的计算等知
识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．
21．（2023•江西模拟）在边长为4的等边△PCD（如图甲）中，已知点A，B分别为PD，PC的中点，现
将△PAB沿直线AB翻折，使点P在底面ABCD的射影刚好为对角线AC与BD的交点H，连接PC，PD
得到四棱锥P﹣ABCD（如图乙）．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD．
（2）求四棱锥P﹣HBC的体积．
【分析】（1）由图甲得出BD⊥BC，由图乙得出PH⊥面ABCD，即PH⊥BC，由此得出BC⊥平面
PBD，平面PBC⊥平面PBD．
（2）判断四边形ABCD为等腰梯形，求出S梯形ABCD ，利用△HDC∽△HBA求出AH，利用Rt△PAH求
出PH，再计算V四棱锥P﹣ABCD ，V三棱锥P﹣HBC ．
【解答】（1）证明：在等边△PCD（如图甲）中，B为PC的中点，所以BD⊥BC，
由题意（如图乙）知，PH⊥面ABCD，因为BC 平面ABCD，所以PH⊥BC．
又因为PH，BD 平面PBD，PH∩BD＝H，所以⊂BC⊥平面PBD．
又因为BC 面P⊂BC，所以平面PBC⊥平面PBD．
⊂
（2）解：因为BD⊥BC，且∠BCD＝60°，BC＝2，所以BD＝2 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60可求得△BDC边CD的高为 ，四边形ABCD为等腰梯形，
则S梯形ABCD ＝ ×（2+4）× ＝3 ，
又因为A，B均为中点，所以AB∥CD，则△HDC∽△HBA，所以 ，即 ，
在Rt△PAH 中，PH＝ ，
所以V四棱锥P﹣ABCD ＝ S梯形ABCD •PH＝ ×3 × ＝2 ，
所以V三棱锥P﹣HBC ＝ V三棱锥P﹣ABC ＝ × V四棱锥P﹣ABCD ＝ ．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题．
22．（2023•四川模拟）如图所示，直角梯形 ABDE 和三角形 ABC 所在平面互相垂直，DB⊥AB，
ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE与AC所成角为45°．
（1）求证：平面ACE⊥平面BCD；
（2）若点F在CE上，当△AFB面积最小时，求三棱锥F﹣ABE的体积．
【分析】（1）由异面直线DE与AC所成角，得出∠BAC＝45°，则AC⊥BC，再由面面垂直得出线面垂
直，再证得面面垂直．
（2）取AB中点G，△AFB面积最小时，线段FG最短．当点F为CE中点时，FG⊥CE，线段FG最短．
求此时三棱锥F﹣ABE的体积即可．
【解答】解：（1）证明：因为AC＝BC，所以∠BAC为锐角．
因为ED∥AB，所以∠BAC为异面直线DE与AC所成角，
所以∠BAC＝45°．所以△ABC为等腰直角三角形，
所以∠ACB＝90°．则AC⊥BC．
因为平面ABDE⊥平面ABC，DB⊥AB，平面ABDE⋂ 平面ABC＝AB，DB 平面ABDE，
所以DB⊥平面ABC，DB⊥AC，所以AC⊥平面BCD．因为AC 平面AC⊂E，
所以平面ACE⊥平面BCD； ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61（2）取AB中点G，连接FG，BE．如图：
因为AB＝2DE＝2BD＝2，DB⊥AB，ED∥AB，
所以 ．
因为AC＝BC，所以△ACE≌△BCE．
所以∠ACE＝∠BCE，△ACF≌△BCF．
所以AF＝BF，FG⊥AB．
所以△AFB面积最小时，线段FG最短．
因为EG＝CG＝1， ，
所以当点F为CE中点时，FG⊥CE，线段FG最短．
因为平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE⋂ 平面ABC＝AB，EG⊥AB，EG 平面ABDE，
所以EG⊥平面ABC， ⊂
所以 ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
23．（2023•柳南区二模）某校积极开展社团活动，在一次活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算
术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分
别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，
再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍薨”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若∠AEB＝ ，求三棱锥A﹣BEF的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62【分析】（1）在图2中取线段CF中点H，连接OH、GH，可证四边形AOHG是平行四边形，进而可
证AO∥平面GCF；
（2）可证EF⊥面ABE，进而可求三棱锥A﹣BEF的体积．
【解答】解：（1）证明：在图2中取线段CF中点H，连接OH、GH，如图所示
由图 1 可知，四边形 EBCF 是矩形，且 CB＝2EB，∴O 是线段 BF 与 CE 的中点，∴OH∥BC 且
，
图1中AG∥EF且 ，而EF∥BC且EF＝BC．所以在图2中，AG∥BC且 ，
∴AG∥OH且AG＝OH，∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，
由于AO 平面GCF，HG 平面GCF，∴AO∥平面GCF．
（2）∵E⊄F⊥AE，EF⊥BE⊂，AE，BE 面ABE，AE∩BE＝E，∴EF⊥面ABE，
⊂
S△ABE ＝ AE•BE•sin ＝2× ＝ ，
所以V A﹣BEF ＝V F﹣ABE ＝ S△ABE •EF＝ × ×4＝ ，
即三棱锥A﹣BEF的体积为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
24．（2023•江西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，BD⊥平面AB C，其垂足D落在直线B C上．
1 1 1 1 1
（1）求证：AC⊥B C；
1
（2）若P是线段AB上一点，BD＝1，BC＝AC＝2，三棱锥B ﹣PAC的体积为 ，求 的值．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63【分析】（1）由直棱柱性质得AC⊥BB ，再由BD⊥平面AB C，得AC⊥BD，从而可得线面垂直，然
1 1
后得线线垂直；
（2）△B BC是直角三角形，BD⊥B C，由已知可得出BB ，由（1）可得AC⊥BC，因此只要设AP＝
1 1 1
x，则△APC面积可表示出来，也可得出三棱锥B ﹣PAC的体积，求得x，得出 ．
1
【解答】解：（1）∵ABC﹣A B C 是直三棱柱，则BB ⊥面ABC，
1 1 1 1
又AC 面ABC，∴AC⊥BB ，
1
又BD⊂⊥平面AB C，AC 平面AB C，∴AC⊥BD，
1 1
又BD∩BB ＝B，BD 平⊂面BB C C，BB 平面BB C C，∴AC⊥平面BB C C，
1 1 1 1 1 1 1 1
又B C 平面BB C C，⊂∴AC⊥B C； ⊂
1 1 1 1
（2）由⊂（1）知AC⊥平面BB C C，
1 1
∴AC⊥BC，BC＝AC＝2，∴ ，点C到AB的距离为 ，
设AP＝x，则 ，
∵BD⊥B C，BC＝2，BD＝1，∴ ，
1
由B
1
B⊥BC，BC2＝CD⋅CB
1
， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，则 ．
【点评】本题考查线线垂直的证明，线面垂直判定定理与性质，三棱锥的求解问题，属中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6425．（2023•呼和浩特模拟）如图；在直三棱柱ABC﹣A B C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，点D为
1 1
AB的中点．
（Ⅰ）求证 AC⊥BC ；
1
（Ⅱ）求三棱锥A ﹣CDB 的体积．
1 1
【分析】（1）由题意可得AC⊥BC，CC ⊥AC，可证AC⊥平面BCC ，可证结论；
1 1
（2）过C作CF⊥AB，F为垂足，利用等体积法可求三棱锥A ﹣CDB 的体积．
1 1
【解答】（1）证明：在△ABC 中，∵AC＝3，AB＝5，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC，
又在直三棱柱ABC﹣A B C 中，C ⊥平面ABC，
1 1 1 l
∴CC ⊥AC，CCi∩BC＝C，∴AC∁⊥平面BCC ，
1 1
∴AC⊥BC ．
1
（2）解：在△ABC 中，过C作CF⊥AB，F为垂足，
∵平面ABB A ⊥平面ABC，且平面ABB A ∩平面ABC＝AB，
1 1 1 1
∴CF⊥平面ABB A ，
1 1
而 ，
∵ ＝ ，而 ＝ A B •AA ＝5×4× ＝10，
1 1 1
∴ ＝ ×10× ＝8．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查利用等积法求三棱锥的体积，属中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6526．（2023•赣州二模）在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D为AB的中点，E为侧棱CC 的中点．
1 1 1 1
（1）证明：DE∥平面AB C ；
1 1
（2）设∠BAC＝90°， ，且异面直线DE与B C 所成的角为30°，求三棱锥D﹣AB C
1 1 1 1
的体积．
【分析】（1）连接EA
1
，DA
1
，设DA 1⋂AB
1
＝M，EA 1⋂AC
1
＝N，证明MN∥DE，根据线面平行判定定
理证明DE∥平面AB C ；
1 1
（2）取AC的中点为F，结合异面直线夹角定义可得∠EDF＝30°，由条件解三角形求 AA ，A B ，
1 1 1
A C ，证明A C ⊥平面A DB ，结合锥体体积公式求三棱锥的体积．
1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）证明：连接EA ，DA ，
1 1
设DA ∩AB ＝M，EA ∩AC ＝N，
1 1 1 1
因为E为侧棱CC 的中点．AA ＝CC ，AA ∥CC ，
1 1 1 1 1
所以AA ＝2EC ，AA ∥EC ，
1 1 1 1
所以2EN＝NA ，
1
因为D为AB的中点，AB＝A B ，AB∥A B ，
1 1 1 1
所以2AD＝A B ，AD∥A B ，
1 1 1 1
所以2DM＝MA ，
1
所以MN∥DE，又MN 平面AB C ，DE 平面AB C ，
1 1 1 1
所以DE∥平面AB C ；⊂ ⊄
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66（2）取AC的中点为F，
因为D为AB的中点，
所以DF∥BC，
又BC∥B C ，
1 1
所以DF∥B C ，
1 1
所以∠EDF为异面直线DE与B C 所成的角，
1 1
故∠EDF＝30°，
设A C ＝x，A A＝y，A B ＝z，
1 1 1 1 1
因为 ，∠BAC＝90°，
所以x2+z2＝32，x2+y2＝32，
， ，
又∠EDF＝30°，
所以 ，又 ， ，
因为DA⊥AA ，DA⊥AC，AA ∩AC＝A，AA ，AC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1
所以DA⊥平面ACC A ，AE 平面ACC A ， ⊂
1 1 1 1
所以DA⊥AE， ⊂
所以 ，
又x2+z2＝32，x2+y2＝32，
所以x＝4，y＝4，z＝4，
即AC＝AA ＝A B ＝4，
1 1 1
因为A C ⊥AA ，A C ⊥A B ，A A∩A B ＝A ，A A，A B 平面AB D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67所以A C ⊥平面AB D，
1 1 1
所以三棱锥D﹣AB C 的体积 ．
1 1
【点评】本题考查线面平行的判定定理，考查异面直线所成角以及三棱锥的体积计算，考查空间想象能
力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
27．（2023•内江三模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图
1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）在图2中，当三棱锥A﹣BCD的体积取最大值时，求三棱锥A﹣MDE的体积．
【分析】（1）由CD⊥AD，CD⊥BD证得CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，又ME∥AB，即可得证；
（2）设BD＝x（0＜x＜3），可证AD⊥平面BCD，可得 ，
利用导数法求最值，可知x＝BD＝1，又BD⊥平面ACD，利用等体积法，由V
A﹣MDE
＝V
E﹣ADM
求得答案．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD、BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，∵AB 平面ABD，∴CD⊥AB， ⊂
又∵M，E分别为AC、BC⊂的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME；
解：（2）图1所示的△ABC中，设BD＝x（0＜x＜3），则CD＝3﹣x，
∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝3﹣x．
折起后AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，BD、DC 平面BCD，
∴AD⊥平面BCD，又∠BDC＝90°， ⊂
∴ ， ，x （0，3），
∈
令 ，x （0，3）， ，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）∈单调递增；当1＜x＜3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴x＝BD＝1时，f（x）取最大值，即三棱锥A﹣BCD的体积最大，
∵AD⊥平面BCD，BD 平面BCD，∴BD⊥AD，
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68又BD⊥DC，AD∩DC＝D，AD、DC 平面ACD，∴BD⊥平面ACD，
因为E为线段BC的中点， ⊂
所以E到平面ACD的距离 ， ，
又 ，
故三棱锥A﹣MDE的体积为 ．
【点评】本题考查立体几何中折叠问题，线面垂直的判定定理与性质，三棱锥的体积问题，化归转化思
想，函数思想，属中档题．
28．（2023•河南模拟）如图，四边形 ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，BD＝ ED＝2
FB．
（1）证明：平面EAC⊥平面FAC；
（2）记三棱锥A﹣EFC的体积为V ，三棱锥A﹣BFC的体积为V ，求 ．
1 2
【分析】（1）由已知可证AC⊥平面BDEF，进而可证AC⊥EO，EO⊥FO，可证EO⊥平面ACF，进而
可证结论．
（2）分别计算两个几何体的体积，可求 ．
【解答】解：（1）证明：设BD交AC于点O，连接EO，FO，
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以AC⊥ED．又 ED∩BD＝D，所以AC⊥平面BDEF，所以AC⊥EO⊂．
设FB＝1，由题意得ED＝2， ， ，
因为FB∥ED，所以FB⊥平面ABCD，所以 ， ，EF＝3．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69因为EF2＝OE2+OF2，所以EO⊥FO．
因为OF∩AC＝O，所以EO⊥平面ACF．
又EO 平面EAC，所以平面EAC⊥平面FAC．
⊂
（2）由（1）可知AC⊥平面BDEF，所以AC⊥OF，由（1）所设可知 ， ，
因为EO⊥平面ACF，所以 ，
由（1）可知 FB⊥平面ABCD，所以FB⊥平面ABC．又FB＝1，BO＝2，
所以 ，
所以 ＝3．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查求空间几何体的体积的计算，属中档题．
29．（2023•南昌三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，
AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2，G为直线AF上一点，AG＝1．
（1）求证：BG∥平面DCE；
（2）若BF与CE所成的角为60o，求多面体ABCDEF的体积．
【分析】（1）延长DC交AB于点M，连接EM，根据已知求得BM＝AB＝2，易证AGEB为平行四边形，
有EG∥AB，则BMEG为平行四边形，即BG∥EM，最后应用线面平行的判定证结论；（2）取AD的中
点N，可得CE∥NG，在平面ABEF内，过G作FB的平行线交AB于P，得∠NGP＝60°，证明GP为
△AFB的中位线，由棱台结构特征确定ABCDEF为棱台，最后应用棱锥体积公式求体积．
【解答】解：（1）证明：延长DC交AB于点M，连接EM，则EM在面DCE内，
由BC∥DA，则 ＝ ，又AD＝AB＝2BC＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70所以 ，可得BM＝AB＝2，由AF∥BE，G在AF上且AG＝BE＝1，
故AGEB为平行四边形，则EG∥AB，且EG＝AB，又A，B，M共线，
所以EG∥BM，且EG＝BM，故BMEG为平行四边形，
则BG∥EM，由BG 平面DCE，EM 平面DCE，所以BG∥平面DCE．
⊄ ⊂
（2）取AD的中点N，则NC∥∥AB∥GE，且NC＝GE＝2，
所以NCEG为平行四边形，则CE∥∥NG，
在平面ABEF内，过G作FB的平行线交AB于P，
所以BF与CE所成的角，即为NG与GP所成角，则∠NGP＝60°，DA⊥平面ABEF，
AG，AP 平面ABEF，则DA⊥AG，DA⊥AP，而AN＝AG＝1，
⊂
设AP＝x，则△NGP 中， ， ，
，则△NGP为等边三角形，
故 ，即x＝1，所以在△AFB中，P为AB的中点，且GP∥FB，
故GP为△AFB的中位线，所以AF＝2AG＝2，
易知多面体ABCDEF为棱台，且BC⊥BE，且BC＝BE＝1，
体积V＝V M﹣AFD ﹣V M﹣BEC ＝ × ×AF×AD×MA﹣ × ×BE×BC×MB＝ ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考要空间几何体的体积的计算，属中档题．
30．（2023•德阳模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将
△PDA沿PD翻折至△PDA'．
（1）△PDA沿PD翻折中是否会改变二面角C﹣BA'﹣P的大小，并说明理由；
（2）若PB＝CB＝2PD＝2，E是A'C的中点．求证：DE∥平面A'PB，并求当平面PDA'⊥平面PBCD时
四棱锥A'﹣PBCD的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71【分析】（1）证明BC⊥平面A′PB，从而证明平面ABC⊥平面A'PB，即可说明结论：（2）设F为
A′B的中点，连接EF，根据线面平行的判定定理即可证明 DE∥平面A′PB；继而证明 PA'⊥平面
PBCD，根据棱锥的体积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）△PDA沿PD翻折中是不会改变二面角C﹣BA﹣P的大小；
理由如下：在△ABC中，∠B＝90°，故BC⊥AB．而PD∥BC，故PD⊥AB，则PD⊥PA，PD⊥PA'，
而PA∩PA′＝P，PA，PA′ 平面A′PB，故PD⊥平面A′PB，又PD∥BC，故BC⊥平面A′PB，
而BC＝平面A′BC，故平面⊂A′BC⊥平面A′PB，故△PDA沿PD翻折中是不会改变二面角C﹣BA'﹣
P的大小；
证明：设F为A′B的中点，连接EF，E是A'C 的中点，则EF∥BC， ，
又PB＝CB＝2PD＝2，即 ，而PD∥BC，故EF∥PD，EF＝PD，
即四边形EFPD为平行四边形，所以DE∥PF，而PF 平面A′PB，DE 平面A′PB，
故DE∥平面A′PB．由于 PD⊥PA'，平面PDA'⊥平面⊂ PBCD，平面PD⊄A'∩平面PBCD＝PD，
且PA′ 平面PDA′，故 PA'⊥平面PBCD，由 ，PD∥BC，∠B＝90°，
知PA'＝⊂PA＝PB＝2，四边形PBCD为直角梯形，
故四棱锥A'﹣PBCD 的体积为V＝ × （1+2）×2×2＝2．
【点评】本题考查二面角的定义，考查空间几何体的体积，属中档题．
31．（2023•唐山二模）在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1，∠BAD＝120°，
PA⊥CD，PD⊥AC，点E是棱PD上靠近点P的三等分点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 72（2）若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（1）先证AC⊥平面PAD，得AC⊥PA，然后可证明PA⊥平面ABCD；
（2）以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图，设AP＝t，
由面面角的向量法求得t，再由体积公式求得棱锥体积．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，
由余弦定理可得， ，
从而有AB2＝BC2+AC，所以AC⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AC⊥AD，
∵PD⊥AC，PD∩AD＝D，AD，PD 平面PAD，
∴AC⊥平面PAD， ⊂
∵PA 平面PAD，
∴AC⊂⊥PA，
∵PA⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD 平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD； ⊂
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73设AP＝t，
则A（0，0，0）， ，D（0，2，0），P（0，0，t）， ，
由（1）知，AD⊥平面PAC， 是平面PAC的一个法向量，
设平面EAC的一个法向量是 ， ，
由 ，z＝﹣1，则 ，
因为平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为 ．
所以 ，解得t＝3，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理以及四棱锥的体积，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考
查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
32．（2023•合肥模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为4，点M为棱AA 的中点，P，Q分别为
1 1 1 1 1
棱BB ，CC 上的点，且B P＝CQ＝1，PQ交BC 于点N．
1 1 1 1
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求多面体BDMPQ的体积．
【分析】（1）由题意易得MN∥AE，再由线面平行的判定定理，即可证明；
（2）设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则V＝V B﹣MPD +V B﹣PQD ＝2V B﹣PQD ＝2V D﹣PBQ ，再代入数
据计算，即可求解；
【解答】解：（1）证明：∵B P＝CQ＝1，正方体的棱长为4，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 74∴BP＝C Q＝3，又BP∥C Q，
1 1
∴△BPN≌△C QN，
1
∴BN＝C N，∴点N为线段BC 的中点，
1 1
过点N作NE⊥BC，垂足点为E，
则NE∥CC ，且NE＝ CC ＝2，
1 1
∴NE∥AM，且NE＝AM＝2，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE．又MN 平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；⊄ ⊂
（2）设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，
则V＝V B﹣MPD +V B﹣PQD
＝2V
B﹣PQD
＝2V
D﹣PBQ
＝ ＝16，
故该多面体BDMPQ的体积为16．
【点评】本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，转化顶点求锥体的体积，属中档题．
33．（2023•五华区模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，M 为 PA 的中点，
PD⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面CDM⊥平面PAB；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75（2）若AD∥BC，AD＝2BC，AB＝2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为 ，求三棱锥P﹣
MCD的体积．
【分析】（1）根据题意，取AD中点为N，连接PN，由面面垂直的性质定理可得PN⊥平面ABCD，再
由线面垂直的判定可得DM⊥平面PAB，从而得到结果；
（2）根据题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设AD＝2a，由条件可得a，从而得到三棱锥P﹣MCD的体积．
【解答】解：（1）证明：取AD中点为N，连接PN，
因为△PAD为等边三角形，所以PN⊥AD，
且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN 面PAD，所以PN⊥平面ABCD，
又AB 平面ABCD，所以PN⊥AB， ⊂
又因为⊂PD⊥AB，PN∩PD＝P，PN，PD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为DM 平面PAD，所以AB⊥DM，⊂
因为M为A⊂P中点，所以DM⊥PA，且PA∩AB＝A，PA，PB 平面PAD，所以DM⊥平面PAB，
且DM 平面CDM，所以平面CDM⊥平面PAB． ⊂
（2）由⊂（1）可知，PN⊥AB且PD⊥AB，PN∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD，且AD 平面PAD，所以
AB⊥AD， ⊂
以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 76设 AD ＝ 2a ， 则 可 得
即 ， ，
设平面MCD的法向量为 ，
则 ，即 ，则可取 ，
设直线PB与平面MCD所成角为 ，
θ
所以 ，
解得a2＝16，或a2＝1，即a＝4或1，
当a＝4时，则AD＝2a＝8，
所以 ．
当a＝1时，AD＝2，
所以 ．
【点评】本题考查面面垂直的判定以及棱锥的体积计算，考查利用空间向量求解线面角，考查逻辑推理
能力和运算求解能力，属于中档题．
34．（2023•河南模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，2OH＝2PO＝DC＝2，
PO⊥平面ABCD，H为DC的中点．
（1）求证：平面DPO⊥平面POC；
（2）求三棱锥H﹣POD体积的最大值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 77【分析】（1）首先证明DO⊥OC，再利用线面垂直的性质定理得PO⊥OD，最后利用面面垂直的判定
定理即可．
（2）通过转换顶点知当PO⊥OD时，△DOH的面积最大，此时体积最大，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）证明：∵2OH＝DC，H为DC中点，
∴DH＝OH＝CH，∴∠ODH＝∠DOH，∠HOC＝∠HCO，
∵∠ODH+∠DOH+∠HOC+∠HCO＝ ，∴ ，
∴DO⊥OC，∵PO⊥平面ABCD，ODπ 平面ABCD，
∴PO⊥OD，又OP∩OC＝O，PO 平⊂面POC，OC 平面POC，
∴OD⊥平面POC，又OD 平面D⊂PO， ⊂
∴平面DPO⊥平面POC；⊂
（2）由（1）可知OC⊥OD，∴点O在以CD为直径的圆上，
∴当OH⊥CD时，△DOH的面积最大，
又V
H﹣POD
＝V
P﹣DOH
，
∴三棱锥H﹣POD体积的最大值为：
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，三棱锥的体积的最值
的求解，属中档题．
35．（2023•郑州模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A B C D 中，C E⊥平面ABCD，C E＝4，点H在CC
1 1 1 1 1 1 1
上，且 ．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求证：EH∥平面AB D ；
1 1
（2）若点F在BD上，EF∥BC，∠DBC＝90°，BC＝3，FB＝2，求四棱锥H﹣BCEF的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 78【分析】（1）由已知可得AD∥B C ，AD＝B C ，可得EH∥AB ，可证EH∥平面AB D ；
1 1 1 1 1 1 1
（2）由已知可求S△DBC ，S△DEF ，进而求得H到平面BCEF的距离，可求四棱锥H﹣BCEF的体积．
【解答】（1）证明：∵ ，
∴EH∥C D，
1
又∵ABCD为平行四边形，
AD∥BC，AD＝BC，
在四棱柱ABCD﹣A B C D 中，
1 1 1 1
∴BC∥B C ，BC＝B C ，
1 1 1 1
则有AD∥B C ，AD＝B C ，
1 1 1 1
则四边形ADC B 为平行四边形，∴A B∥C D，
1 1 1 1
∴EH∥AB ，
1
∵EH 平面AB D ，AB ， 平面AB D ，
1 1 1 1 1
∴EH⊄∥平面AB D ； ⊂
1 1
（2）解：∵EF∥BC，∴ ＝ ＝ ，而BF＝2，∴BD＝6，
∵∠DBC＝90°，∴S△DBC ＝ BC•BD＝ ×3×6＝9，
又∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， ＝ ，
∴S△DEF ＝9× ＝4，∴S
BCEF
＝9﹣4＝5，
令H到平面BCEF的距离为h，C到平面BCEF距离为h′，
∵C E⊥平面ABCD，∴h′＝CE＝4，
1
而 ＝ ，则 ＝ ，∴h＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 79V H﹣BCEF ＝ S BCEF •h＝ ×5× ＝ ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
36．（2023•山西模拟）如图①，在矩形ABCD中， ，E为AD的中点，如图②，沿BE将
△ABE折起，点P在线段AD上．
（1）若AP＝2PD，求证：AB∥平面PEC；
（2）若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为90°？若存在，求
此时三棱锥C﹣APE的体积；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直
的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD与CE交于点Q，连接PQ，如图所示：
由题意可得 ，
所以 ．
又因为AP＝2PD，
所以 ，
所以AB∥PQ．
因为PQ 平面PEC，AB 平面PEC，
所以AB∥⊂平面PEC． ⊄
（2）解：由（1）知，当AP＝2PD时，PQ∥AB．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 80因为AB⊥AE，所以AE⊥PQ．
取BE的中点为O，连接AO，如图所示：
由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的中点，AB＝AE，O是BE的中点，
所以AO⊥BE，
因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO 平面ABE，
所以AO⊥平面BCDE． ⊂
由已知得，在矩形ABCD中，O是BE的中点，
所以 ，
所以 ．
由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的中点， ，
所以 ，
所以∠AEB＝∠DEC＝45°，
所以∠BEC＝90°，即CE⊥BE．
因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，CE 平面BCDE，
所以CE⊥平面ABE． ⊂
因为AE 平面ABE，
所以CE⊂⊥AE．
又因为CE∩PQ＝Q，CE 平面PEC，PQ 平面PEC，
所以AE⊥平面PEC． ⊂ ⊂
因为AE 平面AEC，
所以平面⊂AEC⊥平面PEC，即当AP＝2PD时，平面AEC与平面PEC的夹角为90°，
此时 ＝ ．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，平面与平面所成角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能
力，属于中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8137．（2023•赤峰模拟）如图，一半圆的圆心为O，AB是它的一条直径，AB＝2，延长AB至C，使得BC
＝OB，设该半圆所在平面为 ，平面 外有一点P，满足平面POC⊥平面 ，且OP＝CP＝ ，该半
α α α
圆上点Q满足 ．
（1）求证：平面POQ⊥平面POC；
（2）若线段CQ与半圆交于R，求三棱锥O﹣PQR的体积．
【分析】（1）连接 PB，证明 PB⊥OC，PB⊥OQ，推出 PO⊥OQ，得到 OQ⊥平面 POC，推出
OQ⊥AB，证明OQ⊥平面POC，即可证明平面POQ⊥平面POC．
（2）过点O作OD⊥QR于D，则D为QR的中点，利用V
O﹣PQR
＝V
P﹣OQR
求解即可．
【解答】（1）证明：连接PB，∵OP＝CP，OB＝CB，∴PB⊥OC，……………………………（1分）
又∵平面POC⊥平面 ，平面POC∩平面 ＝OC，∴PB⊥ ，∴PB⊥OQ，…………………（2分）
α α α
∴ ，∴OP2+OQ2＝PQ2，
∴PO⊥OQ，∴OQ⊥平面POC，又AB 平面POC，∴OQ⊥AB，………（4分）
由平面POC⊥平面 ，且交于AB，∴O⊆Q⊥平面POC，
又OQ 平面POQ，α故平面POQ⊥平面POC．……………（6分）
（2）解⊆：过点O作OD⊥QR于D，则D为QR的中点，
在Rt△COQ中：∵ ，即： ，………………（8分）
∴ ，…………………………………（9分）
∴ ，……………………………（10分）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82又∵ ，
∴ ．…………………（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的求法，考查转化思想以及计算能力，是
中档题．
38．（2023•赤峰三模）如图，在四棱锥 P﹣ABMN 中，△PNM 是边长为 2 的正三角形，AN⊥NP，
AN∥BM，AN＝3，BM＝1， ，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求四棱锥P﹣ABMN的体积．
【分析】（1）通过添加辅助线，利用面面平行的判定定理证明面 CDQ∥面BMP，进一步证明CD∥平
面BMP；
（2）利用面面垂直的判定定理证明平面ANMB⊥平面NMP，从而可得PQ⊥平面ANMB，再利用锥体
的体积公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图，取MN中点Q，连CQ，DQ，
∵DQ为中位线，
∴DQ∥MP，DQ∥平面BMP．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 83同理，在梯形ABMN中，CQ∥MB，CQ∥平面BMP，
∴平面CDQ∥平面BMP，又CD 平面CDQ，
∴CD∥平面BMP； ⊂
（2）如图，在梯形ABMN中，过B作BE∥MN交AN于E，
在△AEB中，得AE＝2，BE＝2， ，则AB2＝AE2+BE2，
得AE⊥BE，BE∥MN，
∴AN⊥NM，又AN⊥NP，NM∩NP＝N，
∴AN⊥平面NMP，又AN 平面ANMB，
∴平面ANMB⊥平面NMP⊂，
连接PQ，则易知PQ⊥MN，又平面ANMB∩平面NMP＝MN，
∴可得PQ⊥平面ANMB，易知PQ＝ ，
∴四棱锥P﹣ABMN的体积为：
＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定
定理与性质定理，四棱锥的体积的求解，属中档题．
39．（2023•西安模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，∠PAB＝∠BAC＝150°，PA＝
AC＝4，AB＝4 ，E、F分别是PB、BC的中点．
（1）求证：AB⊥EF；
（2）求四棱锥A﹣PEFC的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 84【分析】（1）在平面PAB内作PM⊥直线BA于M、连接MC，根据三角形全等得到CM⊥AM，即可得
到AB⊥平面PMC，即可得到AB⊥PC，再根据EF∥PC，即可得证；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 及 题 意 可 得 PM⊥ 底 面 ABC ， 再 由 、
、V A﹣PEFC ＝V A﹣PFC +V A﹣PEF 及锥体的体积公式计算可得．
【解答】（1）证明：在平面PAB内作PM⊥直线BA于M、连接MC，
∵∠PAB＝∠BAC＝150°，PA＝AC＝4，
∴∠PAM＝∠CAM＝30°，
在△PAM与△CAM中，∠PAM＝∠CAM，PA＝AC、AM＝AM，
∴△PAM≌△CAM，
∴∠CMA＝∠PMA＝90°，即CM⊥AM，即AB⊥CM，
∵AB⊥PM，AB⊥CM，PM∩CM＝M，PM，CM 平面PMC，
∴AB⊥平面PMC，又PC在平面PMC内，∴AB⊥⊂PC，
∵E、F分别是PB、BC的中点，得EF∥PC，∴AB⊥EF．
（2）解：由（1）和题意知，侧面PAB⊥底面ABC，侧面PAB∩底面ABC＝AB，PM⊥AB，PM 平面
PBM， ⊂
所以PM⊥底面ABC，且PM＝4sin30°＝2，
∵F为BC的中点，得BF＝FC，又∠BFA与∠CFA互补，
∴△BFA的面积与△CFA的面积相等，
∴ ①，
又∵E是PB的中点，得P点到平面AEF的距离与B点到平面AEF的距离相等，
∴ ②，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 85由 ① ② 得 ＝
，
∴四棱锥A﹣PEFC的体积为 ．
【点评】本题主要考查直线与直线垂直的证明，棱锥体积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于
中档题．
40．（2023•江西模拟）如图：在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为线段SA上一点，
且2SM＝AM，平面CDM与侧棱SB交于点N．
（1）求 ；
（2）平面CDM将四棱锥S﹣ABCD分成了上下两部分，求四棱锥S﹣MNCD和多面体ABCDMN的体积
之比．
【分析】（1）由直线与平面平行的判定与性质证明MN∥AB，再由平行线截线段成比例得答案；
（2）设V
S﹣MNC
＝V，再由等体积法分别求出平面CDM将四棱锥S﹣ABCD分成的上下两部分的体积，
作比得答案．
【解答】解：（1）∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∵AB 平面SAB，CD 平面SAB，∴CD∥平面SAB，
∵CD⊂平面CDMN，平⊄面CDMN∩平面SAB＝MN，
∴CD⊂∥MN，则MN∥AB，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 86∵2SM＝AM，∴ ，可得 ＝ ；
（2）设V
S﹣MNC
＝V，∵CD＝3MN，∴V
S﹣MCD
＝3V
S﹣MNC
＝3V，
∵△SMN∽△SAB，且 ，∴S△SAB ＝9S△SMN ，则S四边形ABNM ＝8S△SMN ，
∴V
C﹣ABNM
＝8V，
∵S△AMD ＝2S△SMD ，∴V
C﹣AMD
＝2V
C﹣SMD
＝6V．
∴V
S﹣MNCD
＝4V，V多面体ABCDMN ＝6V+8V＝14V，
∴四棱锥S﹣MNCD和多面体ABCDMN的体积之比为 ．
【点评】本题考查多面体的体积及其求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，考查运算求解能力，
是中档题．
41．（2023•南昌一模）已知直棱柱 ABCD﹣A B C D 的底面 ABCD 为菱形，且 AB＝AD＝BD＝2，
1 1 1 1
，点E为B D 的中点．
1 1
（1）证明：AE∥平面BDC ；
1
（2）求三棱锥E﹣BDC 的体积．
1
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理，即可证明；
（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，进行计算，即
可求解．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于点F，连接C F，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 87在直四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA ∥CC ，AA ＝CC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形AA C C为平行四边形，
1 1
∴AC∥A C ，AC＝A C ，
1 1 1 1
又底面ABCD为菱形，∴点F为AC的中点，E为B D 的中点，
1 1
即点E为A C 的中点，∴C E∥AF，C E＝AF，
1 1 1 1
∴四边形AFC E为平行四边形，
1
∴AE∥C F，又C F 平面BDC ，AE 平面BDC ，
1 1 1 1
∴AE∥平面BDC ；⊂ ⊄
1
（2）在直棱柱ABCD﹣A B C D 中BB ⊥平面A B C D ，A C 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴BB ⊥A C ， ⊂
1 1 1
又上底面A B C D 为菱形，∴B D ⊥A C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又B D ∩BB ＝B ，B D ，BB 平面BB D D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A C ⊥平面BB D D， ⊂
1 1 1 1
∵在△ABD中，AB＝AD＝BD＝2，且点F为BD的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．
42．（2023•河南模拟）在如图所示的多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥CD，AE＝2CD＝2，CA＝
CB＝3，AB＝2 ．
（1）证明：平面ABE⊥平面BDE；
（2）求多面体ABCDE的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 88【分析】（1）延长ED和AC交于H，连接BH，运用线面垂直的判定定理推得BH⊥平面ABE，再由面
面垂直的判定定理可得证明；
（2）由多面体ABCDE的体积为V
E﹣ABH
﹣V
D﹣BCH
，由棱锥的体积公式可得所求值．
【解答】解：（1）证明：延长ED和AC交于H，连接BH，
由AE∥CD，AE＝2CD＝2，可得AC＝CH＝BC，
则∠ABH＝90°，即BH⊥BA，
由AE⊥平面ABC，BH 平面ABC，可得AE⊥BH，
由AE∩AB＝A，可得B⊂H⊥平面ABE，
又BH 平面BDE，
所以平⊂面BDE⊥平面ABE；
（2）在直角△ABH中，AB＝2 ，AH＝6，BH＝ ＝4，
多面体ABCDE的体积为V
E﹣ABH
﹣V
D﹣BCH
＝ •EA•S△ABH ﹣ •CD•S△BCH
＝ ×2× ×4×2 ﹣ ×1× ×4× ＝2 ．
【点评】本题考查空间中面面垂直的判定定理和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能
力，属于中档题．
43．（2023•丹东模拟）如图，PA，PB是圆锥的母线，延长底面圆O直径AB到点C，使得BC＝OB，直线
CE与圆O切于点D，已知AB＝2，二面角P﹣EC﹣A的大小为60°．
（1）求该圆锥的侧面积；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 89（2）若平面PAE⊥平面PAC，求三棱锥P﹣AEC的体积．
【分析】法1，（1）利用二面角的定义确定二面角的平面角，即可得圆锥的高度与母线长，从而可得
圆锥的侧面积；
（2）根据面面垂直的性质得PO⊥EC，再由线面垂直的判定于性质定理可证得AE⊥AC，结合几何性质
即可求得三棱锥P﹣AEC的体积．
法2，（1）建立空间直角坐标系，利用二面角的坐标运算即可得圆锥的高度与母线长，从而可得圆锥
的侧面积；
（2）根据空间向量坐标运算证得AE⊥AC，结合几何性质即可求得三棱锥P﹣AEC的体积．
【解答】解：法1：（1）连结PO，PD，OD，
∵CE与圆O的切于点D，∴OD⊥EC．
∵PO⊥平面AEC，EC 平面AEC，则PO⊥EC，
又OD∩PO＝O，OD，⊂PO 平面POD，∴EC⊥平面POD，又PD 平面POD，
∴PD⊥EC，∴∠PDO是P⊂﹣EC﹣A的平面角． ⊂
因此∠PDO＝60°．
∵OD＝1，∴ ，故PB＝2．
于是该圆锥的侧面积S侧 ＝ ×1×2＝2 ．
（2）过O在平面PAC内作πOF⊥PA垂π足为F．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 90∵平面PAE⊥平面PAC，交线为PA，又OF⊥PA，OF 平面PAC
∴OF⊥平面PAE，∵AE 平面PAE，可得OF⊥AE．⊂
又PO⊥AE，PO∩OF＝O⊂，PO，OF 平面PAC，∴AE⊥平面PAC，
∵AC 平面PAC，从而AE⊥AC． ⊂
⊂
由题设及（1）得∠OCD＝30°，AC＝3，可知 ，△AEC面积为 ．
因此三棱锥P﹣AEC的体积 ．
法2：（1）连结PO，则PO⊥平面AEC，以O为坐标原点， 为x轴正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系O﹣xyz，y轴在平面AEC内．
∵CE与圆O切于点D，∴OD⊥DC，∵连结OD，∵OD＝1，OC＝2，∴∠DOC＝60°．
因此C（﹣2，0，0）， ， ．
设P（0，0，h）（h＞0），则 ．
设 平 面 PEC 的 法 向 量 ， 则 ， 可 取
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91平面AEC的一个法向量 ，由 ，可得 ．
可知 ，∵OD＝1，∴PB＝2．
于是该圆锥的侧面积S侧 ＝ ×1×2＝2 ．
π π
（2）∵A（1，0，0）， ，∴ ．
设E（x ，y ，0），则 ， ．
2 2
∵ ，取平面PAC的一个法向量 ，
则 ，又 ，可得 ．
∴ ，故 ，∴ ．
由 ， 得△AEC面积为 ．
于是三棱锥P﹣AEC的体积 ．
【点评】本题主要考查圆锥侧面积的求法，棱锥体积的求法，二面角的求法，考查运算求解能力，属于
中档题．
44．（2023•四川模拟）如图，四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是菱形，点M，N分别为棱BC，CD
的中点，CG⊥MN， ，AE＝EF＝1，AB＝2．
（1）证明：平面ABFE⊥平面ABCD；
（2）当 时，求多面体ABMN﹣EFGH的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 92【分析】（1）由 AC⊥BD，MN∥BD，得 AC⊥MN，又 CG⊥MN，可得 MN⊥面 ACGE，从而得
AE⊥MN．取点K为线段AB的中点，可得AE∥KF，由BF2＝BK2+FK2得FK⊥AB，即AE⊥AB，证得
AE⊥面ABCD，即可证明平面ABFE⊥平面ABCD；
（2）利用勾股定理可得 AB⊥AD，菱形ABCD是边长为2的正方形，由 AE⊥面ABCD可知四棱台
ABCD﹣EFGH的高为1，求得V
ABCD﹣EFCH
，V
G﹣MNC
，V
H﹣ADN
，则答案可求．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
∵M，N是BC，AD中点，∴MN∥BD，故AC⊥MN．
又∵CG⊥MN，且多面体ABCD﹣EFGH是四棱台，∴A，C，G，E共面，
∵AC∩CG＝C，AC，CG 平面ACGE，
∴MN⊥平面ACGE，而A⊂E 平面ACGE，∴AE⊥MN．
又∵多面体ABCD﹣EFGH是⊂四棱台，∴四边形AEFB是梯形．
取点K为线段AB的中点，连接FK．
∵AK∥EF，AK＝EF，∴四边形AKFE是平行四边形，故AE∥KF．
在△FKB中，∵BF2＝BK2+FK2，∴FK⊥AB，故AE⊥AB，
MN与AB相交，且MN，AB 平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD，
又AE 平面ABFE，∴平面A⊂BFE⊥平面ABCD；
⊂
（2）解：当MN＝ 时，BD＝2MN＝2 ，则BD2＝AB2+AD2，∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
则菱形ABCD是边长为2的正方形．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 93由（1）知，AE⊥平面ABCD，∴四棱台ABCD﹣EFGH的高为1，
则V
ABCD﹣EFGH
＝ ×1×（1+ +2）＝ ．
又∵V
G﹣MNC
＝ ×1×（ ×1×1）＝ ，V
H﹣ADN
＝ ×1×（ ×2×1）＝ ，
∴多面体ABMN﹣EFGH的体积为 ﹣ ﹣ ＝ ．
【点评】本题考查面面垂直的判定，多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解
能力，是中档题．
45．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB
＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．
【分析】（1）设PN⊥平面ABC于点N，过N作NE⊥AB于E，NF⊥AC于F，连接PE，PF，通过全等
三角形及角平分线性质可证N与H重合，从而可证平面PAM⊥平面ABC；
（2）由（1）知PH⊥平面ABC，且由已知可求PH长度，再由角平分线性质可求△AMC面积，从而可
求三棱锥M﹣PAC的体积．
【解答】（1）证明：如图，设PN⊥平面ABC于点N，过N作NE⊥AB于E，NF⊥AC于F，连接PE，
PF，
∵PN⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PN⊥AB， ⊂
又∵NE⊥AB，∴AB⊥平面PNE，∴AB⊥PE，
同理AC⊥PF，
在Rt△PAE，Rt△PAF中，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 94∴△PAE≌△PAF，∴AF＝AE，
在Rt△ANE，Rt△ANF中，AF＝AE，AN＝AN，
∴△ANE≌△ANF，∴NE＝NF，即N到AB，AC的距离相等，
同理N到BC，AC的距离相等，故N为△ABC的内心，N与H重合，
∴PH⊥平面ABC，
又∵PH 平面APM，∴平面PAM⊥平面ABC．
（2）解⊂：由已知可得AC＝5，设△ABC的内切圆半径为r，
则 ，故r＝1，
∵H为△ABC的内心，∴AH平分∠BAC，∴ ，BM+CM＝4，∴ ， ，
故△AMC的面积为 ，
因为HE⊥AB，AB⊥BC，∴HE∥BC，∴ ，得AE＝2，
∴ ， ，
故三棱锥M﹣PAC的体积为 ．
【点评】本题主要考查面面垂直的证明，棱锥体积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
46．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分
别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 95【分析】（1）连接BD，得EF∥BD，再由已知证明BD⊥平面PAC，可得EF⊥平面PAC，进一步得到
平面EFG⊥平面PAC；
（2）以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PG＝
PC，（0＜ ＜1且 ），由已知线面角的正弦值求得 ，再由等体积法求三棱锥E﹣ABG体积．
λ【解答】（1λ）证明：连接BD，∵E，F分别是线段PB，PDλ的中点，∴EF∥BD，
∵底面四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥⊂平面PAC，而EF∥BD，得EF⊥平面PAC，
又EF 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAC；
（2）⊂解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线
为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（1，0，1），F（0，1，1），
P（0，0，2），C（2，2，0），
设PG＝ PC，（0＜ ＜1且 ），
λ λ
则 ＝（2 ，2 ，2﹣2 ），
λ λ λ
， ，
设平面AEF的一个法向量为 ，
由 ，取z＝﹣1，得 ．
设直线AG与平面AEF所成角为 ，
θ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 96sin ＝|cos＜ ， ＞|＝| |＝| |＝ ，
θ
∴ ，即3（6 ﹣2）2＝12 2﹣8 +4，
λ λ λ
∴12 2﹣8 +1＝0，解得 ＝ （ 舍去）．
λ λ λ
∴PG＝ PC，
由已知可得BC⊥平面PAB，则G到平面PAB的距离为 BC＝ ．
∴ ＝ ．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面
体的体积，是中档题．
47．（2023•咸阳二模）如图，直四棱柱 ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝8，AB＝4，∠BAD＝
1 1 1 1 1
60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（Ⅰ）证明：MN∥平面C DE；
1
（Ⅱ）求三棱锥N﹣C DE的体积．
1
【分析】（Ⅰ）连接ME，B C，由已知可证四边形MNDE为平行四边形，得MN∥DE，再由直线与平
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 97面平行的判定得MN∥平面C DE；
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得MN∥平面C DE，可得 ＝ ，求出△C ME的面积，证明
1 1
DE⊥平面BCC B ，即可求得三棱锥N﹣C DE的体积．
1 1 1
【解答】证明：（Ⅰ）连接ME，B C，
1
∵M、E分别为BB 、BC中点，∴ME是△B BC的中位线，可得ME∥B C且 ，
1 1 1
又N为A D中点，A D∥B C且A D＝B C，∴ND∥B C且 ，
1 1 1 1 1 1
∴ME∥DN，且ME＝DN，则四边形MNDE为平行四边形，得MN∥DE，
又DE 平面C DE，MN 平面C DE，∴MN∥平面C DE；
1 1 1
解：（⊂Ⅱ）由（Ⅰ）得M⊄N∥平面C DE，
1
∴ ＝ ，
在矩形BCC B 中，可得 ，
1 1
由已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，E为BC的中点，∴DE⊥BC，
∵DE⊥CC ，∴DE⊥平面BCC B ，可得DE为三棱锥D﹣C EM的高，
1 1 1 1
由已知求得 ，∴ ，
即三棱锥N﹣C DE的体积为 ．
1
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面
体的体积，是中档题．
48．（2023•江西模拟）如图，三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB＝BC＝B A＝B C，D 是 AC 的中点，
1 1 1 1 1
AB ⊥BD．
1
（1）证明：B D⊥平面ABC；
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 98（2）若 ，点B 到平面ACC A 的距离为 ，求三棱锥C ﹣A B C的体积．
1 1 1 1 1 1
【分析】（1）由已知得BD⊥AC，结合AB ⊥BD，得BD⊥平面AB C，进一步得到BD⊥B D，再说明
1 1 1
B D⊥AC，即可证明B D⊥平面ABC；
1 1
（2）由（1）知AC⊥平面BB D，证明平面BDD B ⊥平面ACC A ，过点B 作B H⊥DD 于点H，可得
1 1 1 1 1 1 1 1
，进一步求得所用边长，结合B D⊥平面ABC，再由等体积法求三棱锥C ﹣A B C的体积．
1 1 1 1
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，
∵AB ⊥BD，AB ∩AC＝A，∴BD⊥平面AB C，
1 1 1
又B D 平面AB C，∴BD⊥B D，
1 1 1
∵B A＝⊂B C，D是AC的中点，∴B D⊥AC，
1 1 1
∵BD⊥B D，且BD∩AC＝D，∴B D⊥平面ABC；
1 1
（2）解：由（1）知，BD⊥AC，B D⊥AC，BD∩B D＝D，
1 1
∴AC⊥平面BB D，
1
∵AB＝BC＝B A＝B C，∴BD＝B D，取A C 的中点D ，连接DD ，B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
可得BB ∥DD ，∴平面BDD B 即为平面BB D，
1 1 1 1 1
又AC 平面ACC A ，∴平面BDD B ⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
⊂
过点B 作B H⊥DD 于点H，则B H⊥平面ACC A ，可得 ，
1 1 1 1 1 1
在三棱柱ABC﹣A B C 中，四边形BDD B 为平行四边形，∴∠B BD＝∠B D D，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵BD＝B D，∴ ，可得BD＝B D ＝1，则 ，
1 1 1
又∵ ，∴AD＝1．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 99∵B D⊥平面ABC，∴ ＝ ．
1
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面
体的体积，是中档题．
49．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，△A B C 与△AB C 均是边长为2的正三角形，且
1 1 1 1 1 1 1 1
AA ＝ ．
1
（Ⅰ）证明：平面AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB C C的体积．
1 1
【分析】（Ⅰ）取B C 中点O，连接AO，A O，则A O⊥B C ，AO⊥B C ，AO＝A O＝ ，∠A OA
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
是平面 AB C 和平面 A B C 所成角，由 ＝ ，得∠A OA＝90°，由此能证明平面
1 1 1 1 1 1
AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）由A O⊥B C ，AO⊥B C ，得B C ⊥平面AOA ，从而B C ⊥BB ，取BC中点D，连接AD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
OD，则AO＝AD＝ ，DO＝ ，AO⊥AD，过A作AE⊥平面BB C C，交CD于点E，由题意E是
1 1
OD中点，由此能求出四棱锥A﹣BB C C的体积．
1 1
【解答】解：（Ⅰ）证明：取B C 中点O，连接AO，A O，如图，
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 100∵三棱柱ABC﹣A B C 中，△A B C 与△AB C 均是边长为2的正三角形，且AA ＝ ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A O⊥B C ，AO⊥B C ，AO＝A O＝ ＝ ，
1 1 1 1 1 1
∴∠A OA是平面AB C 和平面A B C 所成角，
1 1 1 1 1 1
∵ ＝ ，∴∠A OA＝90°，
1
∴平面AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）∵A O⊥B C ，AO⊥B C ，AO∩A O＝O，∴B C ⊥平面AOA ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵AA 平面AOA ，∴B C ⊥AA ，∴B C ⊥BB ，
1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
取BC中点D，连接AD，OD，则AO＝AD＝ ，DO＝ ，AO⊥AD，
过A作AE⊥平面BB C C，交CD于点E，由题意E是OD中点，
1 1
AE＝ ＝ ，
∴四棱锥A﹣BB C C的体积为：
1 1
V＝ ＝ ＝2．
【点评】本题考查面面垂直的判定与性质、四棱锥的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
50．（2023•定西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC
与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，OP＝ ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
（1）求证：平面OEF∥平面PCD；
（2）求三棱锥O﹣PEF的体积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 101【分析】（1）根据中位线定理、面面平行的判定定理能证明平面OEF∥平面PCD；
（2）利用等体积法能求出三棱锥O﹣PEF的体积．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，
∴O为AC中点，
∵点E是棱PA的中点，F是棱PB的中点，
∴OE是△ACP的中位线，OF是△BDP的中位线，
∴OE∥PC，OF∥DP，
∵OE 平面DCP，PC 平面DCP，∴OE∥平面DCP，
∵OF⊄平面DCP，DP⊂平面DCP，∴OF∥平面DCP，
∵OE⊄∩OF＝O，OE 平⊂面OEF，OF 平面OEF，
∴平面OEF∥平面P⊂CD． ⊂
（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
∴△BAD是等边三角形，∴OB＝1，OA＝ ，
∵OP⊥底面ABCD，OA 底面ABCD，OB 底面ABCD，
∴OP⊥OA，OP⊥OB，∴⊂△POA和△POB⊂均为直角三角形，
∴PA＝ ＝ ，PB＝ ＝2，
∴cos ＝ ，
∴sin∠PAB＝ ＝ ，
∴ ，
设点O到平面PEF的距离为h，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 102∵V
O﹣PAB
＝V
P﹣OAB
，∴ ，
解得h＝ ，
∴三棱锥O﹣PEF的体积为：
＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查中位线定理、面面平行的判定定理、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中
档题．
51．（2023•广西一模）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝ ，BC＝2，E
为AC的中点，F为AD的中点．
（1）证明：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求多面体BCDFE的体积．
【分析】（1）推导出CD⊥AB，CD⊥平面ABC，由EF∥CD，得EF⊥平面ABC，由此能证明平面
BEF⊥平面ABC．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法能求出多面体BCDFE的体积．
【解答】解：（1）证明：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴CD⊥AB，∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 103∵E为AC的中点，F为AD的中点．∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．
⊂
（2）解：∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝ ，BC＝2，EF∥CD，
∴S梯形CDFE ＝ ＝ ．
以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），B（2，0， ），C（0，0，0），E（1，0， ），D（0， ，0），
＝（2，0，0）， ＝（0， ，0）， ＝（1，0， ），
设平面CDFE的法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取x＝ ，得 ＝（ ，0，﹣2），
点B到平面CDFE的距离d＝ ＝ ，
∴多面体BCDFE的体积V＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
52．（2023•柳州模拟）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 104直的四棱锥体．如图，四棱锥P﹣ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，AB＝AD＝2，
．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若 ，求三棱锥G﹣DEF的体积．
【分析】（1）连接AC，证明F为AC的中点，再由E为PC的中点，连接EF，可得EF∥PA，即可证
明EF∥平面PAD；
（2）由 ，得BG＝ BC，求出三角形DGF的面积，再由等体积法求三棱锥G﹣DEF的体积．
【解答】（1）证明：如图，
∵底面ABCD为长方形，F为DB的中点，则F为长方形ABCD的中心，连接AC，则F为AC的中点，
又E为PC的中点，连接EF，则EF∥PA，
∵PA 平面PAD，EF 平面PAD，∴EF∥平面PAD；
⊂ ⊄
（2）解：∵ ，∴BG＝ BC，则 ＝ ，
∵E为PC的中点，∴E到平面DGF的距离等于 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 105∴三棱锥G﹣DEF的体积 ＝ ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面
体的体积，是中档题．
53．（2023•宜宾模拟）圆柱O O 中，四边形DEFG为过轴O O 的截面， ，DE＝16，△ABC为
1 2 1 2
底面圆O 的内接正三角形，AB∥DE．
1
（1）证明：CO ⊥平面ABFG；
2
（2）求三棱锥G﹣BCF的体积．
【分析】（1）连接 CO ，并延长交 AB 于 H，连接 O H，O C，推导出 CH⊥AB，CH⊥DE，
1 2 2
O O ⊥DE，从而 DE⊥平面 CHO ，由 DE∥FG，得 FG⊥平面 CHO ，从而 FG⊥CO ，推导出
1 2 2 2 2
O C⊥O H，由此能证明CO ⊥平面ABFG；
2 2 2
（2）由CO 2 ⊥平面ABFG，得FG⊥O 2 H，再由V G﹣BCF ＝V C﹣BGF ＝ S△BGF CO 2 ＝ （ FG•O 2 H）CO 2 ，
能求出三棱锥G﹣BCF的体积．
【解答】解：（1）证明：圆柱O O 中，四边形DEFG为过轴O O 的截面， ，DE＝16，
1 2 1 2
△ABC为底面圆O 的内接正三角形，AB∥DE．
1
根据题意，连接CO ，并延长交AB于H，连接O H，O C，
1 2 2
∵△ABC为底面圆O 的内接正三角形，
1
∴CH⊥AB，∵AB∥DE，∴CH⊥DE，
∵四边形DEFG为过轴O O 的截面，
1 2
∴O O ⊥DE，∵O O ∩CH＝O ，∴DE⊥平面CHO ，
1 2 1 2 1 2
∵DE∥FG，∴FG⊥平面CHO ，∴FG⊥CO ，
2 2
∵DG＝4 ，DE＝16，∴O C＝8，O H＝4，CH＝12，O O ＝4 ，
1 1 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 106∴O C2＝O C2+O ＝96，O H2＝O H2+O O ＝48，
2 1 1 2 1 1 2
∴O C2+O H2＝CH2，O C⊥O H，
2 2 2 2
∵O H∩FG＝O ，
2 2
∴CO ⊥平面ABFG；
2
（2）由（1）可知：CO ⊥平面ABFG，则FG⊥O H，
2 2
则V G﹣BCF ＝V C﹣BGF ＝ S△BGF CO 2
＝ （ FG•O H）CO ＝ （ ×16× ） ＝128 ．
2 2
【点评】本题考查线面垂直的判定与证明、三棱锥的示法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
54．（2023•河南模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，AB＝AC＝AD．
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若BD＝2，BC＝1，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥A﹣BCD的体积．
【分析】（1）取BD的中点G，连接AG，CG，则有AG⊥BD，由△ABG≌△ACG可得∠AGC＝∠AGB
＝90°，AG⊥CG，由线面垂直的判定定理可得AG⊥平面BCD，即得；
（2）设AG＝a（a＞0），建立空间坐标系，则有时当 时，直线AB与平面ACD所成的角最大，
再利用棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）证明：如图，取BD的中点G，连接AG，CG．
因为∠BCD＝90°，BG＝DG，所以BG＝CG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 107又因为AB＝AC，G为BD的中点，
所以AG⊥BD，
所以∠AGB＝∠AGD＝90°，
又因为AG为公共边，
所以△ABG≌△ACG，
所以∠AGC＝∠AGB＝90°，所以AG⊥CG，
又因为AG⊥BD，BD∩CG＝G，BD，CG 平面BCD，
所以AG⊥平面BCD，又因为AG 平面AB⊂D，
所以平面ABD⊥平面BCD； ⊂
（2）过点C作直线CH⊥平面BCD，
以C为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建系如图，
设AG＝a（a＞0），
则 ，B（0，1，0），C（0，0，0）， ，
则有 ， ， ．
设平面ACD的一个法向量为 ，
由 ，取 ，
设直线AB与平面ACD所成的角为 ，
α
则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
因为BD＝2，BC＝1，∠BCD＝90°，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 108所以 ，
此时三棱锥A﹣BCD体积 ，
故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥A﹣BCD的体积为 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线面角问题，三棱锥的体积
的求解，化归转化思想，方程思想，属中档题．
55．（2023•朝阳区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝
AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．
（1）证明：F为PD的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．
条件①：三角形BCF的面积为 ；
条件②：三棱锥P﹣BCF的体积为1．
【分析】（1）由线面平行的判定证AB∥面PCD，再由线面平行的性质可证AB∥EF，进而有△PCD中
EF为中位线，即可证结论；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 109（2）由线面垂直的性质、判定证PD，DA，DC两两垂直，且BC⊥面PCD，构建空间直角坐标系，根
据所选条件求得CD＝3，进而求直线方向向量和面PAD的法向量，利用线面角夹角的向量求法求其正
弦值．
【解答】解：（1）证明：由底面ABCD是矩形，则AB∥CD，而AB 面PCD，CD 面PCD，
所以AB∥面PCD， ⊄ ⊂
又E是PC的中点，面ABE与线段PD交于点F，即面ABE∩面PCD＝EF，
而AB 面ABE，则AB∥EF，故CD∥EF，
△PCD⊂中EF为中位线，故F为PD的中点；
（2）由PD⊥底面ABCD，BC 面ABCD，则PD⊥BC，又CD⊥BC，
由PD∩CD＝D，PD，CD 面⊂PCD，则BC⊥面PCD，
由CF 面PCD，故BC⊥C⊂F，即△BCF为直角三角形，且BC＝2；
由PD⊂面PAD，则面PAD⊥面ABCD，同理有面PCD⊥面ABCD；
又DA⊂，DC 面ABCD，故PD⊥DA，PD⊥DC，又DA⊥DC，
所以PD，D⊂A，DC两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，
选①，则 ，故 ，而 ，
选②，由 ，而BC＝2，PF＝1，所以CD＝3；
此时， ，B（2，3，0），则 ，
又 是面PAD的一个法向量，若直线BE与平面PAD所成角为 ，
θ
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 110【点评】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质，面面垂直的判定定理与性质定理，
向量法求解线面角问题，属中档题．
56．（2023•铜仁市模拟）如图，在直角梯形 ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为
AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动
点（与点B，C不重合）．
（I）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）设三棱锥B﹣EMN和四棱锥P﹣EBCD的体积分别为V 和V ，当N为BC中点时，求 的值．
1 2
【分析】（I）由PE⊥EB，PE⊥ED，PE⊥平面EBCD，从而平面PEB⊥平面EBCD，由BC⊥EB，从而
平面PBC⊥平面PEB，推导出EM⊥PB，从而EM⊥平面PEB，由此能证明平面EMN⊥平面PBC．
（Ⅱ）由N是BC中点，得 ＝ ＝ ，点M，P到平面EBCD的距离之比为 ，从而
＝ ，由此能求出结果．
【解答】解：（I）证明：∵PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，
∴PE⊥平面EBCD，
又PE 平面PEB，∴平面PEB⊥平面EBCD，
∵BC⊂平面EBCD，BC⊥EB，
∴平面⊂PBC⊥平面PEB，
∵PE＝EB，PM＝MB，∴EM⊥PB，
∵BC∩PB，∴EM⊥平面PEB，
∴EM 平面EMN，∴平面EMN⊥平面PBC．
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 111（Ⅱ）解：∵N是BC中点，∴ ＝ ＝ ，
点M，P到平面EBCD的距离之比为 ，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥和四棱锥的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
57．（2023•江西模拟）如图，在几何体ABCDE中，AB＝BC，AB⊥BC，已知平面ABC⊥平面ACD，平面
ABC⊥平面BCE，DE∥平面ABC，AD⊥DE．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）若AC＝2CD＝2，设M为棱BE上的点，且满足2BM＝ME，求当几何体ABCDE的体积取最大值
时AM与CD所成角的余弦值．
【分析】（1）由题意通过面面垂直的性质得到DO⊥平面ABC，然后结合线面平行可得DO⊥DE，进
而根据线面垂直的判定定理即可证明DE⊥平面ACD；
（2）过点E作EN⊥BC交BC与点N，连接ON，据此可得四边形ODEN为平行四边形，然后把多面体
ABCDE分为两个三棱锥求体积，令DE＝x（0≤x≤1），把求体积的最大值转化为求关于x的函数的最
大值，利用导数研究其最值，然后以点O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，通过向量法求AM与CD
所成角的正切值．
【解答】（1）证明：过点D作DO⊥AC，与AC交于点O，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 112∵平面ABC⊥平面ACD，且两平面的交线为AC，
由面面垂直的性质定理可得DO⊥平面ABC，
又∵DE∥平面ABC，∴DO⊥DE，
又∵AD⊥DE且AD∩DO＝D，
由线面垂直的判断定理可得DE⊥平面ACD．
（2）解：过点E作EN⊥BC交BC与点N，连接ON，
∵平面ABC⊥平面BCE，且两平面的交线为BC，
∴EN⊥平面ABC，
又∵DE∥平面ABC，
∴D，E到平面ABC的距离相等，
∴DO∥EN且DO＝EN，ON⊥平面ACD，
∴CO＝ON，DE＝ON，
∴ ，
又DO2+DE2＝DO2+CO2＝CD2＝1，令DE＝x（0≤x≤1），
则V ＝f（x）＝ ＝ ，
ABCDE
则 ，
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
据此可知当 ，即 时取得最大值 ，
如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（﹣ ，0，0），B（﹣ ，1，0），E（0， ），C（ ，0，0），D（0，0， ），
因为M为棱BE上的点，且满足2BM＝ME，
所以M（﹣ ， ， ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 113＝（ ， ）， ＝（﹣ ，0， ），
设AM与CD所成角为 ，
α
则cos ＝ ＝ ＝ ，
α
即当几何体ABCDE体积最大时，AM与CD所成角的余弦值为 ．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的相关计算，利用导数求最值的方法，线面角的计算，
空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
58．（2023•湖北模拟）如图所示，六面体 ABCD﹣A B C D 的底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝ ，
1 1 1 1
AA ∥ BB ∥ CC ∥ DD ， 且 BB ⊥ 平 面 ABCD ， AA ＝ CC ，
1 1 1 1 1 1 1
，平面BEF与平面ABCD的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面B BDD ．
1 1
（2）已知EF＝2，三棱锥B ﹣BDF的体积 ＝ ，若D F与平面BDD 所成角为 ，求sin
1 1 1
的取值范围． θ θ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 114【分析】（1）根据线面平行以及线面垂直，证明线面垂直；
（2）作辅助线得到在O点处可作为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：（1）证明：连接AC，∵AA ∥CC ，AA ＝CC ， ， ，
1 1 1 1
∴ ，∴AE＝CF，AE∥CF，
∵EF 平面BEF，AC 平面BEF，∴AC∥平面BEF，
∵平面⊂BEF∩平面AB⊄CD＝l，AC 平面ABCD，
∴AC∥l， ⊂
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又BB ⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，则AC⊥BB ，
1 1
又BD∩BB ＝B，∴AC⊥⊂平面B BDD ，
1 1 1
∴AC⊥平面B BDD ，
1 1
又AC∥l，∴直线l⊥平面B BDD ．
1 1
（2）连接A C ，交B D 于O 点，AC∩BD＝O，则OO ∥BB ，
1 1 1 1 1 1 1
∵BB ⊥平面ABCD，∴OO ⊥平面ABCD，
1 1
∵OB，OC 平面ABCD，∴OO ⊥OB，OO ⊥OC，
1 1
⊂
∵ ，四边形ABCD是菱形，∴OB⊥OC，
∴以OB，OC，OO 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
1
设BB ＝t，则DD ＝2t，
1 1
∵三棱锥B ﹣BDF的体积 ＝ ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 115∴ ＝ ＝ ，
∴t＝2，即BB ＝2，DD ＝4，
1 1
∴OO ＝3，则D （﹣ ，0，4）， ＝（0，0，3 ），F（0，1，3 ），
1 1
λ λ
∴ ＝（ ），
又 ＝（0，1，0）是平面BDD 的一个法向量，
1
∵D F与平面BDD 所成角为 ，
1 1
θ
∴sin ＝ ＝ ，
θ
设f（ ）＝（3 ﹣4）2+ ，（0＜ ≤1），则f（ ） [ ， ]，
λ λ λ λ ∈
∴ ≤sin ≤ ．
θ
∴sin 的取值范围为[ ， ]．
【点评θ 】本题考查线面垂直、线面平行的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档
题．
59．（2023•汕头一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，
AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2．
（1）已知点G为AF上一点，且AG＝2，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求该多面体ABCDEF的体积．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面DCE的法向量及直线BG的方向向量，即可证明；
（2）设AF＝a，（a＞0，且a≠1），利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数 a的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 116值，再根据锥体的体积公式能求出该多面体ABCDEF的体积．
【解答】解：（1）证明：∵DA⊥平面ABEF，AB，AF 平面ABEF，
∴DA⊥AB，DA⊥AF，又AB⊥AF， ⊂
以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），E（1，2，0），C（0，2，1），D（0，0，2），G（2，0，0），
∴ ＝（﹣1，0，1）， ＝（﹣1，﹣2，2）， ＝（2，﹣2，0），
设平面DCE的法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，令x＝2，得 ＝（2，1，2），
∵ ＝2，且不存在 ，使得 ，即 与 不共线，
λ
∴BG与平面DCE不平行且不垂直．
（2）设AF＝a（a＞0且a≠1），则F（a，0，0），∴ ＝（a，﹣2，0），
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
∴ ＝|cos＜ ＞|＝ ＝ ，
化简得11a2﹣40a﹣16＝0，解得a＝4或a＝﹣ （舍），
∵AD∥BC，DA⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF，
∵AB 平面ABEF，BE 平面ABEF，
⊂ ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 117∴BC⊥AB，BC⊥BE，又AB⊥AF，AF∥BE，∴AB⊥BE，
BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，∴AB⊥平面BCE，
⊂
，
∴ ＝ ＝ ，
S ＝ ，
ABEF
∴ ＝ ＝ ，
∴V ABCDEF ＝V D﹣BCE +V D﹣ABEF ＝ ．
【点评】本题考查线面位置的判定与性质、多面体体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
60．（2023•福建模拟）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角
形，其中D为直角顶点，∠DCB＝60°．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边
形EFGH为平行四边形．
（1）求证：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH；
（2）设二面角A﹣BC﹣D的平面角为 ，求 在区间[0， ]变化的过程中，线段DA在平面BCD上的
投影所扫过的平面区域的面积； θ θ
（3）设 ＝ （ （0，1）），且平面ABC⊥平面BCD，则当 为何值时，多面体ADEFGH的体积
λ λ∈ λ
恰好为 ？
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 118（2）由 的变化过程中，得出AD的射影，再求面积即可．
θ
（3）当平面ABC⊥平面BCD时，多面体ADEFGH的体积恰好为 时，求得 的值．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH为平行四边形， λ
∴EF∥GH．而GH 面BCD，EF 面BCD，
∴EF∥面BCD．而⊂EF 面ABC，⊄面ABC∩面BCD＝BC，
∴EF∥BC．而EF 面⊂EFGH，BC 面EFGH，
∴BC∥平面EFGH⊂．同理，AD∥平⊄面EFGH：
（2）∵AB＝AC，
∴A在平面BCD上的投影满足AB＝AC，即A′在线段BC的中垂线上．
如图所示，将Rt△BCD补成边长为2的正△BCM，
当二面角A﹣BC﹣D为0°角时，即点A在平面BCD上，
此时A’为M，
当二面角A﹣BC﹣D为90°角时，此时A为BC中点N，
故DA′在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为△DMN，
而S△DMN ＝ ，
故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为 ．
（3）取BC中点O，因为OA⊥BC，
所以OA⊥平面BCD，OA＝ ，
，
而多面体ADEFGH的体积恰好为 ，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半．
连接AH、AG．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 119∴ ，整理得 ，即 ，
解得： ＝ （ 舍去）．
λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 120【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算
求解能力，是中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 121
