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重难点 12 圆锥曲线中的弦长与面积问题（2 种考法）
【目录】
考法1：弦长问题
考法2：面积问题
二、命题规律与备考策略
一、圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝|x －x|
1 2
＝·
＝·|y －y|＝·.
1 2
二、三角形面积问题
直线 方程：
三、焦点三角形的面积
直线 过焦点 的面积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】注意： 为联立消去 后关于 的一元二次方程的二次项系数
y
A
F 1 O F 2 x
B
四、平行四边形的面积
直线 为 ，直线 为
注意： 为直线与椭圆联立后消去 后的一元二次方程的系数.
y
C
A
H
O
x
D
B
三、题型方法
考法1：弦长问题
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知椭圆E： 的离心率为 ，
且过点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点 且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B
两点，求AB的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.
（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由题意知， ，所以 ， ，设椭圆E的方程为 .
将点 的坐标代入得： ， ，所以椭圆E的方程为 .
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为 ，上顶点为 ，所以直线m斜率为 ，
由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ，
， ， ，
所以 .
2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的
右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1) =1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)3
【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进
行求解即可.
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有 ，
又因为离心率为2，
所以有 代入 中，可得 ，
∴C的标准方程为： ；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为 ，
所以直线l的斜率为 ，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为 ，
方程为 与双曲线方程联立为：
，
设 ，则有 ，
3．（2023·全国·模拟预测）已知点 在抛物线 上，记 为坐标原点，
，以 为圆心， 为半径的圆与抛物线 的准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)记抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与直线 垂直，交抛物线 于 ， 两点，求弦 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得 ，解得 、 、 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ， ，即可求直线 的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定
理，由焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意可得 ，解得 或 ，又 、 、 ，
所以 ，所以抛物线方程为 .
（2）由（1）可得 ， ， ，
因为直线 直线 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线 ，点 为其焦点，直线
与抛物线交于 两点， 为坐标原点， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和 ，点
分别为 的中点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由题意，求得点的坐标，利用三角形的面积，建立方程，可得答案；
（2）利用分类讨论，明确直线的斜率存在，联立方程，写出韦达定理，求得中点坐标，利用两点距离公
式，结合基本不等式，可得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）
直线方程为 ，将其代入抛物线可得 ，
由已知得 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ．
（2）
因为 ，若直线 分别与两坐标轴垂直，
则直线 中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线 的斜率均存在且不为0．设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ．
联立 ，得 ，则 ，
设 ，
则 ，设 ，则 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，同理可得 ，
故 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
故 的最小值为6．
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 的直线 交
于 ， 两点，其中 在第二象限．
(1)若 过点 ，求 的面积；
(2)设线段 交半径为1的圆 于点 ，直线 与 交于点 ，若直线 ， 的斜率之比为 ，
求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线 与椭圆 联立方程组，利用弦长公式求出 ，再求出点 到直线 的距离，可求
的面积；
（2）设出相应直线的方程，通过联立方程组利用已知条件求出所需点的坐标，得到 .
【详解】（1）设 ， ，直线 过点 和 ， ，直线 方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ，于是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
椭圆的左顶点为 到直线 的距离 ，
的面积 .
．
（2） 在第二象限，直线 斜率存在，且斜率 ，
设直线 的方程为 ，联立方程组 ，消去 得
，
设 ，因为 ， 由韦达定理，有 ，得 ，
代入方程 ，解得 ， ，
由 ， ，
线段 交半径为1的圆 于点 ，∴
设 ，则 ，
解得 ，
直线 的方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ，可得
，
，记 ，
有 ， 或 ，当 时， 不在第二象限，舍去，所以 ，得 ，
， ，
6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆 过点 .
(1)若椭圆E的离心率 ，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率 ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆 相切，
求线段 的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）把点 代入椭圆方程，可得 ，由 ，可求b的取值范围；
（2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线 的位置，联立方程组，利用弦长公式结
合不等式的性质求 的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）∵ 在椭圆，∴ ，有 ，所以 ，
又∵ ，所以 ，∵ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，又 ，
所以 ，椭圆 .
因为直线 与 相切，故 .
若直线 的斜率不存在，不妨设直线 为： ，代入椭圆方程可得此时线段 .
若直线 的斜率存在，可设直线 的方程为： .
由直线 与 相切，故 ，可得： .
联立 得 ，所以 ，
线段
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 .
当且仅当 ，故当 时， 的最大值为2.
综上所述：当 时，线段 的最大值2.
7．（2021·陕西西安·统考三模）已知点 在椭圆C： （ ）上，且椭圆的离
心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点 ， 是以 为底边的等腰三角形，求弦
的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列出关于 的方程组，求出 的值即可求出椭圆C的方程；
（2）以AB为底作等腰三角形，顶点为 且 ，其中AB中点为 ，这样可得等量关
系 ，利用韦达定理可得弦中点坐标 ，解得m=2，进而可得A，B两点坐标，即可求
解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由已知得 ，解得 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）设直线/的方程为 ， ， ， 的中点为 .
由 消去y，整理得 ，
由 得 ，
由根与系数的关系得 ， ，
则 ， ，即 .
∵ 是等腰 的底边， 的中点为D，
∴ .
∴ 的斜率 ，解得 ，满足 .
此时 ， ，
则 ．
8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 与抛物线 的图
象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且 ．
(1)求椭圆 的离心率．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若椭圆 的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线 相交于不同的两点M、N，且 的面积为
24，求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用 表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；
（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程，设l方程及点M、N的坐标，由面积求得l方程，再由弦长公式
即可求得 .
【详解】（1）∵抛物线方程为 ∴其焦点为 ，抛物线的准线方程为 ．
设点 ，故 到准线的距离为 ．
即 ，∴
因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得 ．
根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程 ，化简得 ．
即 ，所以 ，则椭圆E的离心率 ．
故答案为：
（2）因为椭圆 的焦距为2，所以 ，所以 ，
所以椭圆 方程为 ．
抛物线 的方程为 ．且 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为 ， ，且 ．
设点 ， ，联立l与
消去x得： ．
所以 ， ．
所以 ．所以 ．
故答案为：
9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，它
的四个顶点构成的四边形的面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线 与圆 相切且与椭圆 交于 、 两点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程，解出 、 的值，可得出椭圆 的方程；
（2）分析可知，直线 不与 轴平行或重合，设直线 的方程为 ，利用直线 与圆 相切可
得出 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及基本不等式可求
得 的最大值.
【详解】（1）解：椭圆 的四个顶点构成的四边形的面积为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可得 ，解得 ， ．
所以，椭圆 的方程为 ．
（2）解：若直线 与 轴平行或重合，此时直线 与圆 相交，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，由题意可得 ，即 .
联立 消去 得 ，即 ，
．
设 、 ，则 ， ．
所以，
．
令 ，则 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ， ．
故 的最大值为 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为
2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为 （异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和
，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据椭圆的定义分析运算即可；
（2）分类讨论斜率是否存在，根据题意结合点差法分析可得 ，求点Q的坐标，结合题意解得 ，
再利用弦长公式运算求解.
【详解】（1）以点E，F所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系，
设点
由题意可知 ，所以点M的轨迹是以E，F为焦点，长轴长 的椭圆．
因为 ， ，即 ， ，则 ，
故点M的轨迹C的方程 ．
（2）由（1）不妨取 ，
当直线AB的斜率不存在时，则直线 ，
此时AB的中点为 即为点 ，可得 ，不合题意；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ，点 ， ，
则 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，两式作差得 ，
则 ，即 ，
可得 ，故直线 ，
联立得方程组 ，解得 ，
即 ，
因为 ，解得 或 ，
所以直线AB的方程为 或 ．
①若直线AB的方程为 ，
联立得方程组 ，消去y并整理得 ，
则 ， ，
所以 ；
②若直线AB的方程为 ，
联立得方程组 ，消去y并整理得 ，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
综上所述：弦AB的长为 或 ．
【点睛】方法点睛：
（1）有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与
系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
（2）弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线
斜率是否存在．
11．（2022·上海青浦·统考二模）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 的重心 在 轴上，求此时直线 的方程.
【答案】(1)3
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）令 ，求出 即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表示出 的面
积即可.
（3）分类讨论直线 ，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出 中点 的坐标，
再利用重心的性质求出 的坐标，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）由题意 ，所以 ，
在椭圆方程中令 ，得 ，
解得 ，所以 .
（2）设直线 的方程为： ，
将其与椭圆方程联立得 ，
化简并整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
令 ，则 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 面积的最大值为 .
（3）当直线 不与 轴重合时，设直线 ： ， 的中点为点 ，
由（2）可知，将其与椭圆方程联立并整理得 ，
所以 ， ，
因为 的重心 在 轴上，
所以由重心坐标公式得 ，
所以 ，
所以 ， ，
因为 ，所以由等腰三角形三线合一可知 ，
所以直线 ： ，
所以 ，
所以点 ，将其代入椭圆方程化简并整理得 ，
解得 或 ，
所以直线 ： 或 .
当直线 与 轴重合时，点 在椭圆的上、下顶点，满足题意，此时直线 ： .
综上所述：满足题意的直线 的方程为 或 或 .
考法2：面积问题
1.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 运动时，点 的轨迹为曲线 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 的另一条直线 与 相交于
两点，且 的面积是 面积的 倍，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点 为线段 的垂直平分线与半径 的交点，
所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中 ，
所以曲线 的方程为 ．
（2）由已知得 ，所以直线 的方程为 ，所以 点的坐标为 ．
当直线 的斜率不存在时， ，或 都与已知不符；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
易知 ，则 ，
，
由 的面积是 面积的 倍可得 ，
化简得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，也就是 ，
所以 ，
解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 的方程为 ．
2.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知 是椭圆 的左顶点， 是椭圆上不同
的两点．
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)设 ，若 ，且 、 、 和 、 、 分别共线，求证： 三点
共线；
(3)若 是椭圆 上的点，且 ，求 的面积．
【答案】(1)焦距为 ，离心率为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由 可知，
， ，故 ，
所以焦距 ，离心率 ．
（2）设 ， ，
由题意， ， ， ， ， ， ，
，
又 ，
所以 ，得 ，
方法一：由 三点共线，则 ，即 ，
同理可得， 三点共线，则 ，即 ，
故 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，
所以 ，
所以 ，
由 ，整理得 ，
所以有 ，
又 ，
故 ，
所以 ，
所以 三点共线．
方法二：因为 ， ，则 ，
由 得直线 的方程为 ，
与椭圆 联立 ，得 ，
则 ，
所以 ，
同理得 ，
所以 ， ，即 三点共线．
（3）设 ，
因为 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当直线 的斜率不存在时，则 ，
所以 ， ，
又 是椭圆 上的点，此时 ，
故 ，
②当直线 的斜率存在时，可设 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
又点 在椭圆 上，代入整理得， ，
从而 ，
于是 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ．
3.（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【详解】（1） .
又 在椭圆上 .
所以，椭圆方程为 .
（2）由已知直线 的斜率存在.
设直线 方程为 ， ， ，
由 ， 得 ．
由 ，得 ．①
， ．
又中点在直线 上， 即 ，
将之代入①得 ，所以 ．
，
点 到直线 的距离 ，
．
设 ， ．
．
时， 的最大值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 运动时，点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 的另一条直线 与 相交于
两点，且 的面积是 面积的 倍，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点 为线段 的垂直平分线与半径 的交点，
所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中 ，
所以曲线 的方程为 ．
（2）由已知得 ，所以直线 的方程为 ，所以 点的坐标为 ．
当直线 的斜率不存在时， ，或 都与已知不符；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ，
易知 ，则 ，
，
由 的面积是 面积的 倍可得 ，
化简得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，也就是 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ．
5.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知 是椭圆 的左顶点， 是椭圆上不同
的两点．
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)设 ，若 ，且 、 、 和 、 、 分别共线，求证： 三点
共线；
(3)若 是椭圆 上的点，且 ，求 的面积．
【答案】(1)焦距为 ，离心率为
(2)证明见解析
(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由 可知，
， ，故 ，
所以焦距 ，离心率 ．
（2）设 ， ，
由题意， ， ， ， ， ， ，
，
又 ，
所以 ，得 ，
方法一：由 三点共线，则 ，即 ，
同理可得， 三点共线，则 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
由 ，整理得 ，
所以有 ，
又 ，
故 ，
所以 ，
所以 三点共线．
方法二：因为 ， ，则 ，
由 得直线 的方程为 ，
与椭圆 联立 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ，
同理得 ，
所以 ， ，即 三点共线．
（3）设 ，
因为 ， ， ，
①当直线 的斜率不存在时，则 ，
所以 ， ，
又 是椭圆 上的点，此时 ，
故 ，
②当直线 的斜率存在时，可设 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
又点 在椭圆 上，代入整理得， ，
从而 ，
于是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 到直线 的距离 ，
所以 ．
6.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，焦
距为 ．点 在第一象限的双曲线上，过点 作双曲线切线与直线 交于点 ．
(1)证明： ；
(2)已知斜率为 的直线 与双曲线左支交于 两点，若直线 ， 的斜率互为相反数，求 的
面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，焦距为 ，
所以， ，解得 ，
所以，双曲线的标准方程为 ，
因为过点 作双曲线切线与直线 交于点 ，故切线的斜率存在，
所以，设 ，在点 的切线方程为 ，
联立方程 得
所以， ，即 ①
因为 ，代入①式得 ，解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，在点 的切线方程为 ，
所以点 的坐标为 ，即 ，
因为 ，
所以
所以，
（2）解：由题，设直线 的方程为 ，
与双曲线方程 联立得 ，
设 ，
所以
因为直线 ， 的斜率互为相反数，所以 ，
所以，
整理得： ②
将 代入②整理得： ③
结合 可知 时，③式恒成立，
所以，由（1）可知 ， ， ，
所以，
所以 的面积 .
7.（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为
垂足且位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）
的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1，
，求 的面积.
【答案】(1) （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【详解】（1）设动点 ，由题意知M只能在直线 与直线 所夹的范围内活动.
， ，
动点 在 右侧，有 ，同理有 ，
∵四边形 的面积为8，∴ ，即 ，
所以所求轨迹C方程为 （ ）.
（2）如图，设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ，
， ， 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则 或 ，同时 或 ，解得 或 .
，解得 或 （舍去）.
时，直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 .
直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 ，
，
点Q到直线 的距离 ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二： ，
，
，则 ，
.
8.（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分
别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 ，求 的值；
(2)记 的面积分别为 ，当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由已知条件得： ，设PA，PB的斜率分别为 ，
则QA，QB的斜率分别为 ，
由 即有 ．
由 即有
而 ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由于 ，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点 为圆心，
又
则 ，
①，又 ②，
得： ，解得 ．
由 ，，而 ．
．
因为 ，根据单调性，求得
9.（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T： 和椭圆C： ，过抛物线T
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求 的值；
(2)若 ，且 恰好被 平分，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在椭圆中， ，所以 ，
由 ，得 ．
（2）设直线l： ， ， ，
联立方程 ，消去x得 ，
，则 ，
设 的中点 ，则 ， ，
设 ， ，则直线MN的斜率为 ，
， ，
相减得到 ，即 ，
即 ，解得 ，
由点G在椭圆内，得 ，解得 ，
因为 ，
所以p值是1，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 面积 ．
10（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线 的焦点为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线 上的点，且 ， ，求
的面积.
【答案】(1) ；
(2)32
【详解】（1）解：由已知可得 ，解得 ，
∴拋物线 的方程为 ；
（2）解：如图所示：
设 ， ， ，
若 轴，由 得 ， ， 或 ， ，
此时不满足 ，∴不满足题意；
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
将 代入抛物线方程得 ， ，
∴ ， .
将 代入抛物线方程得 ，∴ ①.
直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 .
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ②.
由①②解得 ，将其代入①可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ， ， .
∵ ， 满足 ，∴ ， .
∴ ，
∴ .
同理可得，当 时，直线 的方程为 ， ， ，
∵ ， 满足 ，∴ ， .
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为32.
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