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专题 14 数列求和综合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的前2020项的和为（
）
A． B． C． D．
3．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（ ）
A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99
4．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， .则使得 的值为（
）
A． B． C． D．
5．已知数列{a}满足：a =a-a （n≥2，n∈N*），a=1，a=2，S 为数列{a}的前n项和，则S =（
n n+1 n n-1 1 2 n n 2021
）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．正项数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．7．化简 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列 中， ，求数列 的前 项和 为（ ）
A． B．
C． D．
9．等比数列 中， ， ，数列 ， 的前 项和为 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
10．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， ．则使得 成
立的 的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
第II卷（非选择题）
二、填空题11．数列 是首项和公差都为1的等差数列，其前n项和为 ，若 是数列 的前n项和，则
______
12．已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使 成立的最小的自然
为__________.
13．已知数列 满足 ，则 的前20项和 ________．
14．已知正项数列 满足 ， ，则
___________.
15．设数列 满足 ， ， ，则数列 的前50项和是________．
16．设 ，则 __________.
17．数列 的前 项和为 ，且 ，且 ，则 ___________.
18．在数列 中， ，且 ，则数列 的前 项和为
__________.19．已知数列 ，……，则该数列的前10项和为__________．
20．已知数列 满足 且 ，数列 的前 项为 ，则不
等式 最小整数解为________.
三、解答题
21．数列 的前n项和为 ，若 ，点 在直线 上.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
22．已知数列 为等差数列，公差 ，且 ， ， 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
23．在等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
24．已知数列 满足 ， .
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
在（① ；② ；③ 三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，
如果多写按第一个计分）
25．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， .数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
26．已知 是等比数列， ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
27．已知公差不为0的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 ．
28．已知数列 满足 ， ， ．数列 满足 ， ，其中
为数列 是前n项和．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ，并证明： ．
29．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足 ， ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求证： ．30．在各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列．等差数列{ }满足 ，
．
（1）求数列{ }，{ }的通项公式;
（2）设数列 的前n项和为Tn，证明：
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题1．已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的前9项之和为（ ）
A．32 B．43 C．34 D．35
2．数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设 为数列 的前 项和， ，且 .记 为数列 的前 项和，
若对任意 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．记数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．数列 是正项等比数列，满足 ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
6．数列 满足 ，且 （ ），则 （ ）A． B． C． D．
7．设数列 满足 ，若 ，且数列 的前 项和为 ，则 （
）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，数列 满足 ，则数列 的前2019项和为（ ）
A． B．1010 C． D．1011
9．已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ．若 ，则数列
的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
10．数列 满足 ﹐若 ，则 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
11．已知等差数列 的公差为2，前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列.令 ，数列 的前n项和为 ，若对于 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 满足 ，设 ，且 ，则数列 的
首项 的值为（ ）
A． B． C． D．
13．设 为数列 的前n项和， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．正项数列 的前n项和为 ，且 ，设 ，则数列 的前2020
项的和为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
15．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .若 ，则数列 的前2021项和为
___________.16．已知数列 的各项均为正数， ， ， ，数列 的前
项和为 ，若 对任意正整数 都成立，则 的取值范围是___________.
17．设 为数列 的前 项和，满足 ， ，其中 ，数列 的前 项和为 ，则
___________.
18．已知正项数列 满足 且 ，令 ，则数列 的前 项的和
等于___________.
19．已知 ，记数列 的前n项和为 ，且对于任意的 ， ，则实数t 的最
大值是________.
20．数列 且 ，若 为数列 的前 项和，则 __________.
21．用 表示正整数 所有因数中最大的那个奇数，例如： 的因数有 ， ， ，则 ， 的因
数有 ， ， ， ，则 ．计算 ________．
22．已知数列 满足 ，则 ___________；若 ，则数列 的前 项和 ___________.
23．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则 ______________．
24．已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上．若 ，数列 的前 项和
为 ，则满足 的 的最大值为________．
25．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ，设 ，则数列
前 项和的取值范围为_________．
26．已知数列 满足： ， ， ( 且 )，等比数列 公比
，令 ，则数列 的前 项和 ___________.
27．已知数列 与 前n项和分别为 ， ，且 ， ，
则 ________．三、解答题
28．数列 中， 为 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
29．已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， .设数列 满足 ，证明： .
30．已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是各项均为正数的等比数列， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知 ，___________，是否存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ？若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）31．在① ， ；②公差为2，且 ， ， 成等比数列；③ ；三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列 为公差不为零的等差数列，其前项和为 ，______．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，其中 表示不超过x的最大整数，求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
32．在① ② 这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并
解答下列问题．
已知数列的 前 项和是 数列 的前 项和是 ，__________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 证明：
33．在① ；② ；③ ， ， 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并解答．
问题：数列 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 ， 且______．
（1）求数列 的通项公式；（2） ，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
34．已知数列 中， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切
恒成立，求 的取值范围.
35．已知 为等比数列， ，记数列 满足 ，且 .
（1）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数 ，设 ，求 的前 项的和 .
36．设正项数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，若数列 的前 项和为 ，证明： .
37．已知数列 的前 项和为 .若 ，且
（1）求 ；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 .证明： .
38．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式以及 ；
（2）求使不等式 成立的最小值n．
39．设数列 前 项和为 ， ， （ ）.
（1）求出 通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .40．设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求 通项公式；
（2）对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ， （ ），则数列 的前2017项的和
为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列 满足 ，其前 项和 ，数列 满足 ，其前 项和为 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列 满足 ， ，若 ， 是数列 的前 项和，对任意 ，不
等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．设 为不超过x的最大整数， 为 可能取到所有值的个数， 是数列 前n
项的和，则下列结论正确个数的有
（1）
（2） 是数列 中的项
（3）
（4）当 时， 取最小值
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
5．设数列 的前 项积 ，记 ，求 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知 数列 的前 项和， ，且 ，若 ，（其中），则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．2018
7．数列 满足 ， （ 且 ），数列 为递增数列，数列 为递减数列，
且 ，则 （）．
A． B． C．4851 D．4950
8．已知数列 中， ，若 ，设 ，若 ，则正整数
的最大值为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
9．已知数列 满足 … ，设数列 满足： ,数列 的前 项
和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同
时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 零点时给出一个数列 ：满足
，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 （ ）有两个零点 ， ，
数列 为牛顿数列，设 ，已知 ， ， 的前 项和为 ，则 等于A． B． C． D．
11．已知 是函数 的极值点，数列 满足 ， ，记
，若 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
12．设 表示不超过 的最大整数，已知数列 中， ，且 ，若
，则整数
A．99 B．100 C．101 D．102
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知数列 满足： ， ， ( 且 )，等比数列 公比
，则数列 的前 项和 ___________.
14．各项均为正数的等比数列 ，满足 ，且 ， ， 成等差数列，数列 满足
，数列 的前 项和 ，则 ______.
15．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， 成等比数列， ，数列满足 ，前 项和为 ，则 _________.
16．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，设 ，则数列 的前 项和
取最大值时 的值为______________
17．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，满足 ， ，且
．若对 ， 恒成立，则实数 的最小值为____________．
18．已知函数 若对于正数 ，直线 与函数 的图象恰
有 个不同的交点，则数列 的前n项和为________.
19．数列 满足 ， ，则 的整数部分是___________.
20．设 表示正整数n的个位数字,记 ,M是 的前4038项的和,函数
,若函数 满足 ,则数列 的前2020项的和为________.
21．已知正项数列 满足 ， ，则数列 的前 项和为___________．
22．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为___________.
23．设 是数列 的前 项和，若 ，则 _____.
24．在各项均为正数的等比数列 中， ，当 取最小值时，则数列 的前 项和为
__________．
三、解答题
25．已知等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前n项和
，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
26．已知数列 是正项等差数列， ，且 .数列 满足 ，数列 前
项和记为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式 ；（2）若数列 满足 ，其前 项和记为 ，试比较 与 的大小.
27．已知正项数列 的首项 ，其前 项和为 ，且 .数列 满足： (b+ b
1 2
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，证明： .
28．已知等比数列 的各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项
之积为 ，且 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（3）设 ，若数列 的前 项和 ，证明： ．
29．已知函数 .（1）若 ，求a的值；
（2）证明： .
30．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足： ， ，若不等式 恒成立，求实数
的取值范围.
