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重难点 12 三角函数的图象与性质的综合应用【八大题型】
【新高考专用】
三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要从以下几个方面进行考查：
(1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、
填空题的形式考查，试题难度较低；
(2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调区间、含参问题等，主要以选择题、
填空题的形式考查，试题难度中等.
(3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如
果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数
及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等.【知识点1 三角函数的图象变换规律】
1．平移变换与伸缩变换法则
(1)平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
(2)伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，
只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选
择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略】
1．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值).
2．求三角函数最值的基本思路
(1)将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
(2)将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
(3)利用导数判断单调性从而求解.
【知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令 ωx+φ=kπ(k∈Z)），求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ= kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为 f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx+φ=
(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在 y=Asin(ωx+φ)中代入
x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ= kπ(k∈Z).
【知识点5 含绝对值的三角函数模型】
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿
着 轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的
函数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
， .
【题型1 三角函数的图象识别与应用】
【例1】（2025·辽宁沈阳·一模）函数 sinx 的图象大致是（ ）
f (x)=
lg(x2+e)A． B．
C． D．
1
【变式1-1】（2024·四川·一模）函数f (x)= cosπx⋅(ex−e−x)，x∈(−4,4)的图象大致为（ ）
4
A． B．
C． D．
3cosx
【变式1-2】（2024·四川达州·二模）函数f(x)= 的部分图象大致为（ ）
2x+2−x
A． B．
C． D．xcos2x
【变式1-3】（2024·四川成都·三模）函数f(x)= 的图象大致是（ ）
ln(x2+1)
A． B．
C． D．
【题型2 三角函数图象变换问题】
π
【例2】（2024·北京·模拟预测）将y=sinx的图象变换为y=sin ( 3x− )的图象，下列变换正确的是
6
（ ）
1 π
A．将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
3 6
π
B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移 个单位
18
π 1
C．将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 倍
6 3
π
D．将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍
6
π
【变式2-1】（2024·四川德阳·模拟预测）把函数f (x)=sin2x图象上所有点先向左平移 个单位长度，再
3
将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=
（ ）
A．sin ( 4x+
2π
) B．sin ( 4x−
π
) C．sin( x+
π
) D．sin ( x+
2π
)
3 3 3 3
π
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f (x)=sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得函
6
1 π π
数图象的横坐标变为原来的 (ω>0)倍，可以得到函数g(x)的图象，若g(x)在 ( , ) 上没有零点，则
ω 6 2ω的取值范围是（ ）
( 5] [5 ]
A． 0, B． ,3 C．(0,3] D．(3,+∞)
3 3
π
【变式2-3】（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|< ）的部分图象如图所示，
2
f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法
错误的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是π
(5π
)
B．函数f(x)的图象关于点 ,0 对称
6
π π
( )
C．函数f(x)在 − ,− 单调递增
2 6
π
D．函数f(x)的图象向右平移 后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
6
【题型3 三角函数的定义域、值域（最值）问题】
( π) [ π]
【例3】（2024·广东湛江·二模）函数f (x)=4sin 5x− 在 0, 上的值域为（ ）
6 5
A．[−2,2] B．[−2,4] C．[−2√3,4] D．[−2√3,2]
π
【变式3-1】（2024·青海·二模）已知函数f(x)=sin ( x− ) 的定义域为[m,n]（m0,|φ|< ) 的最小正周期为
2
π
，则（ ）
2
A．ω=2 B．φ的值是唯一的
π
C．f (x)的最大值为√3 D．f (x)图象的一条对称轴为x=
4
π π π
( )
【变式5-1】（2024·天津·一模）下列函数中，以 为周期，且在区间 , 上单调递增的是（ ）
2 4 3
A．f (x)=sin|x| B．f (x)=|sin2x|
C．f (x)=cos|x| D．f (x)=|cos2x|
| x|
【变式5-2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数f(x)=cosx+ sin ，则下列结论正确的是（ ）
2
π
( )
A．f(x)在区间 0, 单调递增
2
B．f(x)的图象关于直线x=π对称
( 9)
C．f(x)的值域为 0,
8
D．若关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{π,2π}
【变式5-3】（2024·河北唐山·一模）已知函数f (x)=|sinωx|+cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则（ ）
A．f (x)在 [ − π , π] 单调递增 B． ( 3π ,0 ) 是f (x)的一个对称中心
8 8 8
[ π π ] π
C．f (x)在 − , 的值域为[1,√2] D．x= 是f (x)的一条对称轴
6 6 8【题型6 ω的取值与最值（范围）问题】
【例6】（2024·四川泸州·一模）若函数f (x)=sin( ωx+ π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上单调递增，则ω的取值范
3 6
围是（ ）
( 1] [1 ]
A．(0,2] B．(0,1] C． 0, D． ,1
2 2
π π
【变式6-1】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ,x=− 为f(x)的零
2 4
π π
点，x= 为f(x)图象的对称轴，且f(x)在 ( 0, ) 上有且仅有1个零点，则ω的最大值为（ ）
4 6
A．11 B．9 C．7 D．5
π π
【变式6-2】（2024·山东烟台·三模）若函数f (x)=sin ( ωx+ ) 在 ( 0, ) 上有且只有一条对称轴和一个
4 3
对称中心，则正整数ω的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π
【变式6-3】（2024·河南南阳·模拟预测）若函数f (x)=cos(ωx+φ) ( ω>0,|φ|≤ ) 的图象关于点
2
(
π
,0 ) 中心对称，且x=−
π
是f (x)的极值点，f (x)在区间 ( 0,
2π
) 内有唯一的极大值点，则ω的最大
3 3 5
值为（ ）
27 25
A．8 B．7 C． D．
4 4
【题型7 三角函数的性质综合】
π
【例7】（2024·天津滨海新·三模）已知函数f
(x)=sin(
2x−
)
，关于该函数有下列四个说法：
6
(5π
)
（1）函数f (x)的图象关于点 ,0 中心对称
12
π
（2）函数f (x)的图象关于直线x=− 对称
8
（3）函数f (x)在区间(−π,π)内有4个零点
[ π ]
（4）函数f (x)在区间 − ,0 上单调递增
2
以上四个说法中，正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
π
【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）关于函数f (x)=sin2x+2sin( x+ ) ，给出如下结论：
4
π
( )
①f (x)的图象关于点 − ,0 对称
4
π
②f (x)的图象关于直线x= 对称
4
③f (x)的最大值是3
④π是函数f (x)的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且
π
( )
y=f (x)的图象关于点 ,0 中心对称，给出下列三个结论：
6
√3
①f (0)= ；
2
π
( )
②函数f (x)在 0, 上单调递减；
3
π
③将y=cos2x的图象向左平移 个单位可得到f (x)的图象．
12
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
1
【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=cosx− ，现给出下列四个结论：
cosx
π
( )
①f (x)的图象关于点 ,0 对称；
2
②函数 的最小正周期为 ；
ℎ(x)=|f (x)| 2π
π
( )
③函数g(x)=2f (x)+|f (x)|在 0, 上单调递减；
2
π
④对于函数g(x)=2f (x)+|f (x)|,∀x∈ ( 0, ) ,3|g(x)|=g(x+π)．
2
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】
【例8】（2024·湖北·模拟预测）已知函数 的图象关于直线
f (x)=2cos2ωx−(sinωx−cosωx) 2 (ω>0)
π π
x= 轴对称，且f (x)在 ( 0, ) 上没有最小值，则ω的值为（ ）
12 3
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【变式8-1】（2024·四川广安·二模）已知函数f (x)=cos2x+sin2x，则下列说法中，正确的是（ ）
A．f (x)的最小值为−1
[ π π]
B．f (x)在区间 − , 上单调递增
4 4
C．f (x)的最小正周期为2π
π
D．f (x)的图象可由g(x)=√2cos2x的图象向右平移 个单位得到
8
π
【变式8-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数f (x)=√3cos ( 2x− ) −2sin2x+1.
2
(1)求f (x)的单调区间；
π
( )
(2)当x∈ 0, 时，求f (x)的值域；
2
π 3 π
(3)若x∈ ( 0, ) 且f (x)= ，求f ( x− ) 的值.
6 2 12
π
【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x− )−1．
3
(1)求函数f(x)的在[0,π]上单调递减区间；
(2)若函数f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点，求m的取值范围．一、单选题
1．（2024·山东·一模）函数
(ex−1)sinx，则
的部分图象大致形状是（ ）
f (x)= y=f (x)
ex+1
A． B．
C． D．
( 1)
2．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数y=cos x− 的图象，只需将正弦函数y=sinx图象上各点
3
（ ）
π 1
A．横坐标向右平移 − 个单位长度，纵坐标不变
2 3
π 1
B．横坐标向左平移 − 个单位长度，纵坐标不变
2 3
π
C．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
6
π
D．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
6
π π π
3．（2024·上海长宁·一模）已知函数y=sin( ωx+ ) (ω>0)在区间 ( − , ) 上单调递增，则ω的取
6 2 3
值范围是（ ）
( 4) ( 6]
A．(0,1] B．(0,1) C． 1, D． 0,
3 5
4．（2024·西藏拉萨·一模）若函数f (x)=|sinωx|+sin|ωx|(ω>0)在(−1,1)上恰有9个极值点，则ω的取值
范围是（ ）
(13π 17π] [13π
)
(9π 13π]
A． , B． ,+∞ C． , D．
2 2 2 2 2
[13π 17π
)
,
2 2π
5．（2024·湖南邵阳·三模）将函数f (x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函数g(x)的
3ω
π π
图象，若g(x)在区间
(
− ,0
)
上单调递增，且在区间
( ,π)
上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为
18 3
（ ）
(1 ) (4 7] (4 7) ( 1) (4 7]
A． ,1 ∪ , B．(0,1)∪ , C． 0, ∪ , D．
3 3 3 3 3 3 3 3
( 1) (4 )
0, ∪ ,3
3 3
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π)，对于任意x∈R，有
π π π
g ( −x )=g ( +x )=−g ( x− ) ，则以下错误的为（ ）
3 6 6
2π
A．函数g(x)的最小正周期为
3
(11 )
B．函数g(x)的图象关于点 π,0 对称
12
π π
( )
C．函数g(x)在 − , 上单调递减
12 12
D．函数g(x)在(−π,π)上共有6个极值点
π
7．（2024·山东济南·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，下
2
列说法错误的是（ ）
3π
A．函数的周期是 B．函数y=f(x)的图象的过点(0,√3)
2
C．函数y=f(x)在 [ −π,− 5π ] 上单调递减 D．当x∈ ( − 13π ,− 3π )时，f(x)>1
6 6 2
1
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+ ，有下列命题：
2π
( )
①f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象关于 ,0 对称；
12
[π π] 5π
③f(x)在区间 , 上单调递增；④将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函
3 2 12
数y=sin2x的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、多选题
9．（2024·山西太原·二模）函数f (x)=Asin(ωx+θ)（A>0，ω>0，−π<θ<0）的部分图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
π
A．θ=− B．f (x)的周期T=π
3
( 13π ) ( π π)
C．f (x)图象关于点 − ,0 对称 D．f (x)在区间 − ,− 上递减
12 2 3
10．（2024·四川·一模）已知函数f (x)=sinωx+√3cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则（ ）
A．f (x)的最大值为2
π π
( )
B．f (x)在 − , 上单调递增
3 6
π
( )
C．f (x)的图象关于点 − ,0 中心对称
6
π
D．f (x)的图象可由y=2cos2x的图象向右平移 个单位得到
12
π
11．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|< )图象上相邻两点
2A ( x , √2) ,B ( x , √2)，若 |x −x |= π，且 y=f ( x− π )为奇函数，则（ ）
1 2 2 2 1 2 3 6
π
A．ω=2 B．φ=
4
π π
C．函数f ( x+ ) 为偶函数 D．函数f (x)在区间 ( 0, ) 上单调递增
6 3
三、填空题
π π
12．（2024·河北石家庄·二模）已知函数y=√2sin(x− ) 在区间 [0,a],[0,a+ ] 上的值域均为
4 4
[−1,b]，则实数a的取值范围是 ．
( π) π
13．（2024·内蒙古赤峰·二模）将函数 f (x)=2sin ωx+ (ω>0)的图象向右平移 个单位，得到函
6 6ω
[ π π]
数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在 − , 上为增函数，则ω的取值范围是 .
6 4
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=sin❑ 2ωx+√3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π，
则下列结论中正确的有 .
π
①函数f (x)的图象关于直线x= 对称；
3
(π kπ )
②函数f (x)的对称中心是 + ,0 (k∈Z)；
12 2
[π 5π]
③函数f (x)在区间 , 上单调递增；
12 12
1 π
④函数f (x)的图象可以由g(x)=cos2x+ 的图象向右平移 个单位长度得到.
2 3
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)=sinx−√3cosx.
π
( )
(1)求f 的值，
6
(2)求函数y=f (x)⋅sinx的单调递增区间.π
16．（2024·山西临汾·三模）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,0<φ< ) 的图象可由函数
2
π
y=3sinx的图象平移得到，且关于直线x= 对称．
3
(7π
)
(1)求f 的值；
12
π π
(2)求函数g(x)=f ( 2x+ )+f ( 2x− ) ,x∈[0,π]的单调递增区间．
6 6
π
17．（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数f (x)=sin(ωx+θ) ( ω>0,0≤θ≤ ) 的图象与y轴相交于点
2
( 1) 5π
0, ，且在y轴右侧的第一个零点为 .
2 12
(1)求θ和ω的值；
(2)已知0<α<
π
<β<π，f
(α
−
π)
=
1
，f
(α+β
+
π)
=−
2√2
，求cosβ的值.
2 2 12 3 2 6 3
18．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数f (x)=2sinxcosx−2√3sin2x+√3.
[ π]
(1)若x∈ 0, 时，m0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，
2
(7π
)
点P(0,−1)，Q ,0
12
(1)求f (x)的解析式；
π
(2)将f (x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移 个单位长
3
[ π ]
度，得到g(x)的图象，求g(x)在区间 − ,0 上的最值.
2
