文档内容
重难点 12 五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题
一、单选题
1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆： 有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上
的一点 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且 ，当 时，椭圆的
中心 到与椭圆切于点 的切线的距离为：（ ）
A．1 B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】设过 点的切线为 ，分别做 于 点，做 交 轴于 点，
设 ，入射角和反射角相等得 ，
利用中位线可得 ，再根据 ，可得答案，
【详解】设过 点的切线为 ，分别做 于 点，
做 交 轴于 点，所得 是 的中位线，
设 ，入射角和反射角相等，则 ，
则
，因为 ，当 为上顶点时， 为 ，
因为， ，所以 ，
即 ， ，
，
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P为椭圆C： 上一点，点 ， 分别为椭圆
C的左､右焦点，若 ，则 的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求 和 的值，再求 的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ， ，
， ，则等腰三角形 底边上的高 ，
所以 ,
设 的内切圆半径为 ，则 ，所以 .
故选：B
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，焦距为2c，过 的
直线与椭圆C交于A，B两点. ， ，若 的周长为20，则经过点
的直线（ ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
【答案】AB
【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点 与椭圆的位置关系作答.
【详解】由椭圆的定义知 ， ，设 ，则 ，
则 ， ，而 ，即有 ，解得 ，
又 的周长为20，则有 ，解得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，则 ，
椭圆C的方程为 ，显然 ，即点 在椭圆上，
所以经过点 的直线与椭圆C相交或相切.
故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点 ， 在y轴上，短轴长等于 ，离心
率为 ，过焦点为 作 轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D． 的周长为
【答案】AC
【分析】解方程组求出 即可选项AB的真假，再利用通径公式判断选项C的真假，再利用椭圆的定义
判断选项D的真假.
【详解】解：由题意得： ，所以 ，因为 ，故 ，因为焦点 ， 在y轴
上，所以椭圆C的方程为 ，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得， ，所以选项C正确；
的周长为 ，所以选项D错误.
故选：AC．
5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线
与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为 ，BD的斜率 ，则
B．存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形
C． 取值范围为D． 周长的最大值为
【答案】BD
【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出 ；B选项，验证出 ， 是直角顶点时，不满足等
腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出 ，求出
；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线 经过焦点 时，
此时 的周长最大.
【详解】将 代入椭圆方程，求出 ，其中 ，
则 ，A错误；
由题意得： ，当 时， ，此时 ，
所以当 ， 是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于 ，故满足题意，所以存在
唯一的实数m使得 为等腰直角三角形，B正确；
不妨设 ，则 ，
因为 ，所以 ，C错误；
如图，当直线 经过焦点 时，此时 的周长最大，等于 ，其他位置都比 小，
例如当直线 与椭圆相交于 ，与x轴交于C点时，
连接 ，由椭圆定义可知： ，显然 ，
同理可知： ，
故 周长的最大值为 ，D正确
故选：BD
6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直线
l交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当 最大时，
C．椭圆离心率为 D． 面积最大值为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义得到 ，进而判断当 轴时，
最小，此时 最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根
据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意： ，根据椭圆的定义可知， ，则
的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当 轴时， 最小，此时 最大，如图：
将 代入椭圆方程得： ，则 .
所以短轴长为 ，A错误；此时 ，B正确； ，C正确；
对D，设 ， ，代入椭圆方程得： ，
则 ，
所以 ，记，于是 ，由对勾
函数的图象和性质可知：函数 在 上是增函数，则函数 在 上是减函数.于是，
当u=1，即t=0时， 面积最大值为 .故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题答案D的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段 作为底边将原三角形分为两
个三角形，进而得到 ；在处理 最好采用换元法，这样可以简
化运算.
三、填空题
7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点， 是椭圆上的动点，则
内切圆半径的最大值为________．
【答案】
【分析】根据椭圆定义可得 ，结合内切圆半径 ，显然当 为短
轴顶点时 最大，即 内切圆半径的最大，此时 ，代入求解．
【详解】∵ ，则
∴ 的周长∵ 内切圆半径 ，则 内切圆半径的最大即为 最大
显然当 为短轴顶点时 最大，此时
则
故答案为： ．
8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C: 的焦点为 ， ，第一象限点P在C上，
且 ，则 的内切圆半径为_________.
【答案】
【分析】由题意列方程组解出 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径
【详解】由已知条件得 ， ， ，则 （－1，0）， （1，0）.
设点P的坐标为（ ， ），则 ，
，即 ①，
∵第一象限点P在C上，
∴则 ，即 ②，
联立解得
由椭圆的定义得
设 的内切圆半径为r，则
又∵ ，∴ ，即 .
故答案为：
四、解答题
9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E： 的离心率为 ， ，
为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过 且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，
B两点），且 的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点， ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求 ，进而求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线 的方程，利用弦长公式求出 ，再利用两直线垂直斜率乘积为 ，得出直线 ，求出
，进而得到 的函数表达式，求其取值范围即可.
(1)依题意知 ，即 ，
又 的周长为8，即 ，
因此椭圆的方程为 ．
(2)当 时，点 为点 ，不符合题意，舍去；
设直线l的方程为 ，且 ， ，联立 ，消去y可得 ，
则 ， ，
所以 ．
设直线OP的方程为 ，
联立 解得 或
不妨设 ，
所以 ．
故 ，令 ， ，
则 ，
令 ， ，
开口向上，对称轴
在 上单调递增，
．【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为 ，本题三角形周长可转化成除去 边的两个焦点三
角形的其余边长之和；
（2）设出直线 的方程时应注意 ；
（3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；
（4）两直线垂直斜率乘积为 ，几何关系应牢记；
（5）表示出 后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围；
10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左､右焦点，焦
距为4.过右焦点 且与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于M，N两点，已知 的周长为 ，点M关
于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由 的周长求出 ，再由焦距求得 ，进而求出 ，即得椭圆 的方程；
（2）设出直线 的方程联立椭圆方程求得 ，表示出直线 的方程求出 ，由
表示出面积，结合基本不等式求最大值即可.
(1) 的周长为 ，由椭圆定义得 ，即 .又焦距 ，得 ，
则 ，所以椭圆 的方程为 ；
(2)设直线 的方程为 ，联立 得 ，设 ，则 ，点 ，直线 的方程为 ，
令 得 ，即 ，又
，
，
当且仅当 时即 时等号成立，所以四边形 面积的最大值为 .
11．（2022·天津三中二模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其离心率 ，
过左焦点 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图过原点的直线 与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，
设直线 与椭圆的另一个交点为H，连接 得到直线 ，交x轴于点M，交y轴于点N，记 、
的面积分别为 ， ，求 的最小值.【答案】(1) ；(2)4.
【分析】（1）利用椭圆的定义可得 ，结合条件即得；
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，利用点差法可得
，进而可得直线 的方程可设为 ，然后表示出 ， ，再利用基本不等
式即得.
(1)由题知椭圆的离心率 ，且 的周长为8，
所以 ， ,
所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
(2)令直线 的方程为 ， ， ， ，由 轴，则 ，
∴ ， ，则 ，
由将点E，H代入椭圆的方程可得： ，
两式作差可得： ，
所以 ，
由 ，
所以 ，所以直线 的方程可设为 ，
令 时， ，
令 时， ，
则 的面积为 ，
的面积为 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为4.
12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆 的右焦点为 ， ， 为椭圆上的两个动点，
周长的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 经过 ，交椭圆 于点 ， ，直线 与直线 的倾斜角互补，且交椭圆 于点 ， ，
，求证：直线 与直线 的交点 在定直线上.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得， 周长取最大值时，线段 过点 ，可求出 ，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 ，直线 ， ， ， ， .
把直线 与直线 的方程分别代入椭圆 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出 和 ，根据
求出 的值.最后直线 与直线 的方程联立，求两直线的交点即得结论.
【详解】（Ⅰ）设 的周长为 ，
则
，当且仅当线段 过点 时“ ”成立.
， ，又 ， ，
椭圆 的标准方程为 .
（Ⅱ）若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率也不存在，这与直线 与直线 相交于点 矛盾，所以直线
的斜率存在.
设 ， ， ， ， ， .
将直线 的方程代入椭圆方程得： .
， ,
.
同理， .
由 得 ，此时 .直线 ，
联立直线 与直线 的方程得 ，
即点 在定直线 .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，
属于难题.
题型二：待定系数法求椭圆方程
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们
垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，
已知椭圆 的面积为 ，两个焦点分别为 ，点P为椭圆C的上项点．直线
与椭圆C交于A，B两点，若 的斜率之积为 ，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到方程组 ①和 ②，即可解出a、b，求出长轴长.
【详解】椭圆的面积 ，即 ①.
因为点P为椭圆C的上项点，所以 .
因为直线 与椭圆C交于A，B两点，不妨设 ，则 且 ，所以
.
因为 的斜率之积为 ，所以 ，把 代入整理化简得： ②
①②联立解得： .所以椭圆C的长轴长为2a=6.
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆 的左焦点 的直线与椭圆交于不同的两
点 ， ，与 轴交于点 ，点 ， 是线段 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设 在第一象限，由椭圆的左焦点 ，点 ， 是线段 的三等分点，易得 ，
代入椭圆方程可得 ，又 ，两式相结合即可求解
【详解】
不妨设 在第一象限，由椭圆的左焦点 ，点 ， 是线段 的三等分点，
则 为 的中点， 为 中点，所以 ，所以 ，则
即 ，所以 ， ，将点坐标代入椭圆方程得 ，即 ，
又 ，所以 ， ，
所以椭圆的标准方程是 .
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，点
在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为 的直线与椭圆E交于A、B两点．
若线段AB的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由离心率和点 求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及 的坐标，由点
差法得到 ，结合中点坐标及斜率求得 ，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为 ，则 ，解得 ，故双曲线方程为
，焦点为 ；设椭圆方程为 ，则椭圆焦点为焦点为 ，故 ，设 ，则
，
两式相减得 ，整理得 ，即 ，解得 ，故
，椭圆方程为 .
故选：D.
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x＝my－1经过椭圆C： 的一个焦点F，且与C
交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的短轴长为
B．弦 的最小值为3
C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】由于直线x＝my－1经过定点 ，则由题意得 ，再由离心率为 可求出 ，从而可求出 ，
则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可
【详解】依题意可知，直线x＝my－1经过定点 ，所以 ．又椭圆C的离心率为 ，所以a＝
2，则 ，所以椭圆C的短轴长为 ，所以A选项不正确；当m＝0时，弦AB即为椭圆的一条通径，且 ，所以B选项正确；
椭圆C的长轴长为2a＝4，所以 ，当 最短时，此时点 在以AB为直径的圆外，当
趋近于4时，点 在以AB为直径的圆内，因此，存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点 ，
所以C选项正确；
由 ，得 ，设 ， ，则 ，
联立 整理得 ，
恒成立，则 ， ．
因为 ，所以 解得 ，所以D选项正确．
故选：BCD．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆 的左､右焦点分别为F､
1
F，长轴长为 ，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|=|OF|=|OF|=c，直线PF 与椭圆C交于另一个
2 1 2 2
点Q，若 ，点M在圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B．三角形MF F 面积的最大值为
1 2
C． D．圆G在椭圆C的内部
【答案】ABCD
【分析】先根据已知条件，解出椭圆C的标准方程，再逐个验证各个选项即可.【详解】△ 中，原点O为边 中点，|OP|=|OF|=|OF|，则 ，
1 2
设 ， ，则 ，
△ 中， ,
则有 ，解之得
故△ 为等腰直角三角形： ， ，
故 ，则
又 ，故 .
椭圆 的方程为
选项A：椭圆C的焦距为是2，正确；
选项B：圆 的半径为
△MF F 面积的最大值为 ，正确；
1 2
选项C： ，正确；
选项D：圆 圆心在原点，半径 ，故圆G在椭圆C的内部，正确.
故选：ABCD
6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆 ： 与半椭圆
： 组成，其中 ， ，设点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ，
和 ， 是轴截面与 ， 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线 为边界， ， 在宝
珠珠面上，若 ，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率是 B．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为
C．椭圆 的焦距为4 D．椭圆 的长短轴之比大于椭圆 的长短轴之比
【答案】BC
【分析】据题意可知 ， 为正三角形，结合曲线 可求出 、 的方程，然后逐项验
证即可.
【详解】 ， 是半椭圆 ： 的焦点， ， 关于原点对称，且 ,
又 ， 为正三角形， ,
， 在 上, , .
又 半椭圆 ： 的短轴与半椭圆 ： 的长轴相等，即 ，
对于半椭圆 ： ， ，对于半椭圆 ： ， ，
， ， ， ， ， ，
半椭圆 的方程为： ，半椭圆 的方程为：
对于A选项：椭圆 的离心率为： ，故A选项不正确；
对于B选项：椭圆 上的点到 距离为的最小值为： ，故B选项正确；
对于C选项：椭圆 的焦距为 ，故C选项正确；
对于D选项：椭圆 的长短轴之比为 ，椭圆 的长短轴之比为 ，
， ，
椭圆 的长短轴之比小于椭圆 的长短轴之比，故D选项错误；
故选：BC
三、解答题
7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点
，求 的最小值．
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线 的斜率不存在和直线 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出 ，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出
，再表达出直线PQ的方程，表达出 ，用基本不等式求解最小值，与 比较大小，求出最小值.
(1)由题意得： ，解得： ，
所以椭圆方程为
(2)由（1）知： ，
当直线 的斜率不存在时， ， ， ，
此时 ，
当直线 的斜率存在时，故可设直线为 ，
联立椭圆方程得： ，
设 ，则 ，
其中
所以 ，
其中 ，
所以 ，因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，
所以直线PQ： ，
令 得： ，
所以 ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值为2.
【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根
之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.
8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆 的焦距为 ，且过点
．
(1)求椭圆 的方程；(2)设 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，点 是椭圆 上在第一象限的任意一点，直线 与 轴交于
点 ，直线 与 轴交于点 ， 与 的面积分别为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；
（2）设 ，利用点斜式求出直线 和 的方程，求出 的坐标，根据题意求
出 ，由此可知 ，再根据
在椭圆 上，可知 ，由此可得 ，再利用基本不
等式即可求出 的最小值，进而求出 的范围.
(2)解：设椭圆 的焦距为
由题意可知: ，解得 ，所以 ；
(2)设 ，
由题意可知 ，
所以直线 方程为 ，直线 方程为 ；
令 代入直线 方程，可得 ，令 代入直线 方程，可得 ，
所以
所以
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，即 的取值范围 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对 变形成 和 ，然
后再对 化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.
9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知 是椭圆 的左､右焦点， 是 的上顶点. 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 轴的交点为 ，过 的两条直线 都不垂直于 轴， 与 交于点 与 交于
点 ，直线 与 分别交于 两点，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b，继而求得a，可得答案.
（2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点 的纵坐标，二者
相加，进行化简，可证明结论.
(1)由题意知， ，
是 的上顶点， 点 的坐标为 .
点 的坐标为 直线 的方程为 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
，
所以 的方程为 .
(2)证明：直线 与 轴的交点为 ，
设 ，
设直线 ，
则 ，联立直线 和曲线 的方程，得方程组 ，
消去 得
则 .
同理 .
三点共线， ，
得 ，
同理 .
.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和
椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母
的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C： 的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与
A点关于直线l： 对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直
线EF恒过定点.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求出 ，设 ，利用向量数量积求出 ，将 代入椭圆中，求出
，得到椭圆方程；（2）先根据 得到 ，进而设出直线方程 ，
联立后得到两根之和，两根之积，利用 及 求出 ，
得到定点坐标.
(1)点O与A关于直线 对称，
可知 ，故点 ， ，
由题意可设 ， ，
于是 ，解得： ，
将 代入椭圆方程中， ，解得： ，
所以椭圆方程为
(2)证明： ， ，直线l： ，
由题意得：圆心在直线l： 上，设 ，
且 ，所以 ，故 ，
则 ，
设直线EF： ， ，
由 ，得： ，
则 ，
， ，
所以 ，
则
，
即 ，解得： （舍去）或 ，
所以直线EF为： ，恒过定点
【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题
干条件得到方程，求出定值.
题型三：直接法解决离心率问题
一、单选题
1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知 是椭圆 的左､右焦点，点 是椭圆上的一个
动点，若 的内切圆半径的最大值是 ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 ， ， ，设 内切圆的半径为 ，根据等面积法得到 ，即可得
到 的最大值，从而求出 ，即可求出椭圆的离心率；
【详解】解：由椭圆 ，可得 ， ， ，则 ，
如图，
设 内切圆的半径为 ，
，
，则 ，
要使 内切圆半径最大，则需 最大，
，
又 内切圆半径的最大值为 ，即 ，解得 ，所以 ．
则椭圆的离心率
故选：B．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为 的液
体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出临界情况下，椭圆 ， ，即可求出椭圆离心率的取值范围.
【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，
设 ， .
因为圆柱底面积为 ，故液体体积为
，解得 ，即 ，
，故 ，所以 ， ，
即 ，所以离心率 ，即椭圆离心率的取值范围是 .
故选：
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程
所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说
法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的面积可能为2 D． 的最小值为【答案】ABD
【分析】A：根据椭圆方程可直接求得 ， ， ，和离心率 ；B：由椭圆的定义可得
，结合不等式 代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取
得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知 ， ， ，所以离心率 ，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得 ，所以 ，即 的最大
值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取得最大值 ，故选项C错
误；
对于选项D，易知 ，则圆 ，所以
，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题
4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆 和 在相同的焦点 ， ，
离心率分别为 ，B为椭圆 的上顶点， ，且垂足P在椭圆 上，则 的最大值是
___________.【答案】
【分析】首先分别表示出 ，设 ，将 表示成关于 的三角函数，然后求其最值即可.
【详解】由图知 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，当且仅当 时等号可取到.
故答案为： .
5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图， ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦
点， ， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点，若 ，且 ，则 与 的离心率
之积为_____.【答案】2
【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出 ， ，再根据椭圆和双曲线的定义以及
离心率公式求出离心率即可求解.
【详解】解：连接 ，根据椭圆的对称性可知：点 是 的中点，
所以，四边形 为平行四边形，
若 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，
所以 ， ， ，
所以，四边形 为矩形，
所以，在直角三角形 中， ，
所以， ，
在椭圆中， ，可得
在双曲线中， ，可得
所以离心率之积 ，
故答案为： .
四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，斜率为 且过点
的直线 与 轴交于点
(1)证明：直线 与椭圆相切
(2)记在（1）中的切点为 ，过点 且与 垂直的直线交 轴于点 ，记 的面积为 的面积为
，若 ，求椭圆的离心率
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公
式进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求
解即可.
(1)由已知， ．
令 与椭圆方程 联立，经过整理，得到 ，所以
，所以直线 与椭圆相切．
(2)由（1），有 ，所以 ，所以
，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．令 ，得到 ，所以．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.
7．（2022·安徽安庆·二模（理））已知曲线 ，其离心率为 ，焦点在x轴上.
(1)求t的值；
(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线
y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.
【答案】(1)2(2)证明见解析
【分析】（1）根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆，从而确定 ，结合离心率求得答案;
（2）设点M.N的坐标，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示直线 的方程，求得点G
坐标，从而表示出直线 和直线 的斜率，然后结合根与系数的关系式，化简，证明二者相等，即可
证明结论.
(1)由曲线 ，其离心率为 ，焦点在x轴上.可知，
曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则其方程可化为 ，
所以 必须满足： ，解得 ，
因 的离心率为 ， ，即 ，故 ，
解得 .
(2)由（1）可知 的方程为 ，所以 ， .
把 代入 ，整理得 ，设 ， ，
则 ， ，
因为点 ，所以直线 的方程为： .
令 ，得 ，所以 .
因为点 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 .
所以
.
其中
，
当 时，上式等于0，即 ，这说明 ， ， 三点共线.
【点睛】本题考查了根据曲线表示椭圆求参数的值，以及直线和椭圆的位置关系等问题，其中证明三点共
线是难点，解答时要注意解答思路要清晰明确，即将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系去表示或
化简相关的代数式，解答的关键是证明有公共点的两直线斜率相等，其中的计算量较大，并且比较繁杂，要细心.
题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
一、单选题
1．（2022·广东·模拟预测）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的
点， ，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 ，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.
【详解】由题意及正弦定理得： ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过C的左焦点
作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若 且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出直线 为线段 的垂直平分线，得到 .利用椭圆的定义把 ，
， ， 用a、c表示，利用勾股定理得到a、c的齐次式，求出离心率.【详解】因为 且 ，所以直线 为线段 的垂直平分线，所以 .
由椭圆定义知 ，所以 ，所以 ， .
在 中， ，在 中， ，所以
，即 ，化简得 ，即
，即 ，
解得椭圆C的离心率 （ 舍去）.
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为 和 的两
条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理确定 的边角关系，结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值.
【详解】在 中，由正弦定理可得
所以 ，所以该椭圆的离心率 ，
故选：C．
4．（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，两平行
直线 分别过 交M于A，B，C，D四点，且 ，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，由椭圆定义得 ，由椭圆的对称性可知 ，
连接 ，则 ．又 ，利用勾股定理可得答案.
【详解】设 ，则 ，由椭圆定义得 ，由椭圆的对称性可知 ，
连接 ，则 ．又 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，解得 ，
所以 ， 中， ，所以 ，得 ，所以M的离心率 ，
故选：D.
5．（2022·辽宁·育明高中一模）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离
心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点
A和短轴一端点 分别向内层椭圆引切线 ， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出外层椭圆方程，利用离心率表达出内层椭圆方程，设出直线方程，联立后由根的判别式得到
与 ，利用斜率乘积列出方程，求出 ，从而求出离心率.
【详解】设外层椭圆方程为 ，则内层椭圆方程为 ，
设过 点的切线方程为 ，
与 联立得： ，由 得： ，
设过点 的切线方程为 ，
与 联立得： ，
由 得： ，
从而 ，
故 ，
椭圆的离心率为 .
故选：C.
二、填空题
6．（2022·河南焦作·三模（文））已知椭圆 的右焦点为F，直线 与C交于
A，B两点，若以 为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可以解得 ， ，再根据 得 ，结合
求解．
【详解】设 ，将 代入椭圆方程得 ，不妨设 ， ，
因为以 为直径的圆经过点F，所即 ，整理得 ，
∵ ，所以 ，得 .
故答案为： ．
7．（2022·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E： 上，若正方形
ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
【答案】
【分析】画出图形，先求出 ，由 建立方程解出离心率即可.
【详解】
如图：不妨设 经过右焦点 ，由对称性可得 经过另一个焦点，则 ，又由 ，解得
，
则 ，则 ，即 ，整理得 ，解得 ，又离心率，则离心率为 .
故答案为： .
8．（2022·江西·模拟预测（理））如图，椭圆M： 的左、右焦点分别为 ， ，两
平行直线 ， 分别过 ， 交M于A，B、C，D四点，且 ， ，则M的离心率为
___．
【答案】
【分析】设 ，根据椭圆定义、对称性得到 、 、 、 ，
再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】设 ，则 ，故 ．
由椭圆的对称性知： ，连接 ，则 ．
又 ， ，所以 ，在Rt 中 ，即 ，解得 ，则 ，
．
在 中 ，即 ＋ ，得 ，
所以M的离心率 ．
故答案为：
三、解答题
9．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知椭圆 的左、右焦点为 ，P为椭圆上一点，
且 ， ．
(1)求椭圆 的离心率 ；
(2)已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点为 ，若椭圆 上存在点 ，满足
，试求椭圆 的方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 ，以及 ，建立关于 的方程，即可得到结果；
（2）设 ，由（1）可知 ，可设椭圆方程为 ，根据，可得 ，设 将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点
满足椭圆方程，可求出 ，进而求出结果.
(1)解：因为 ，所以 ，即 ，
则 ，解得 ．
(2)解：设 ，
由 ，得 ，所以 ，所以
设 ，即
由于 在椭圆上，则 ， ，①
由 ，得 ，即
由 在椭圆上，则 ,
即 ，
即 ，②
将①代入②得： ，③
线段 的中点为 ，设
可知，
所以 ，其中 ，解得 ，
所以 ， 方程为
又 ，④
将④代入③得： ，
经检验满足 ，
所以椭圆 的方程为 .
10．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C： ， ， 分别为C的左､右焦点，过
作直线l与C交于A，B两点，满足 ，且 .设e为C的离心率.
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，过点P（4，1）的直线 与C交于E，F两点， 上存在一点T使 .
求 的轨迹方程.
【答案】(1) 或 (2) 或 .
【分析】（1）设出直线 方程，与椭圆联立，利用韦达定理结合三角形面积得出关于离心率的关系即可求
出；
（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理结合已知表示出点 坐标即可求出.(1)由题直线 斜率存在且不为0，设 ， ，
联立方程组 得 ，
则 ，
消去 ，得 ，不妨设 ，
则 ，
整理可得 ，解得 或 或 （舍）.
(2)由题知 ，
若 斜率不存在，则与 无交点，不合题意；
若 斜率存在，设 ，与 联立，
得 ，
设 ，则 ，
由 得 ，
设 ，由题 ，即 ，
则可得 ，
若 ，则 ，消去 得 ，若 ，则 ，消去 得 ，
综上， 的轨迹方程为 或 .
11．（2022·全国·高三专题练习）F、F 是椭圆 的左、右焦点，过点F 作直线
1 2 2
交椭圆于 两点， 现将椭圆所在平面沿直线 折成平面角为锐角 的二面角， 翻折后
两点的对应点分别为 ， ，且 ，
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设直线 与椭圆 在第一象限的交点为 ， 为椭圆 的上顶点，且直线 与直线 交
于点 ，若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】由已知可得 ，再由双曲线定义有 ，然后分别在 ，
中由余弦定理求出 ，从而可求得 ，进而得关于离心率 的方程，求解即可得答案；
（2）设点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，由已知 求出 与 的关系，
然后将 与椭圆方程和直线 方程联立求出 与 即可求解.
【详解】解：（1）解： ，
，
为二面角的平面角，即 ，在 中， ，
在 中， ，
，
，解得 ；
（2）由（1） 知， ，椭圆 ，所以 ,
设点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，由已知 ；
,
，即
，
由 消去 ，得 ，
由（1）知直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ；
，，即 ，
又 ，所以 ．
【点睛】关键点点睛：（1）问的关键是在 ， 中由余弦定理求出 ，从而可求得
；（2）问的关键是根据几何知识将 转化为 .
题型五：利用自变量范围求离心率范围
一、单选题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆 的上焦点为 ，过原点
的直线 交 于点 ，且 ，若 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点 ，由题意可得四边形 为矩形，求出 ， 用
表示的代数式，由椭圆的定义可得 与 的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率
的范围，即可得到结果．
【详解】因为直线 过原点，由椭圆及直线的对称性可得 ，
所以 ，设下焦点 ，连接 ， ，又因为 ，即 且互相平分，
可得四边形 为矩形，
即有 ，
在 中， ，
，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
所以离心率 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ,
所以 ，
故选：C．
2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知两定点 和 ，动点 在直线
上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即 取最小值．利用点的对称
性求出 的最小值即可解答本题．
【详解】由题意得， 2
．
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点 关于直线l： 的对称点为 ．
则 ，解得 ， ．
则 ．
．
当 时，椭圆有最大离心率．
此时， ．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆 上恰好有
6个不同的点，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】六个 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设 是第一象限内的点，分
和 ，列方程组求得 点横坐标 ，由 可得离心率范围．【详解】显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在
四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，消去 整理得：
，解得 (舍去)或 ，
同 得 ，所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，消去 整理得：
，解得 或 ，
舍去．
所以 ，所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
故选：D．
二、多选题
4．（2022·江苏南通·高三期末）已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 的内
部，点 在椭圆 上，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率的取值范围为C．存在点 使得 D．
【答案】ACD
【分析】利用点 在椭圆 的内部可求得 的取值范围，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B
选项；求出点 的轨迹方程，判断点 的轨迹与椭圆的公共点，可判断C选项；利用两点间的距离公式
可判断D选项.
【详解】对于A选项，由已知可得 ，可得 ，则 ，A对；
对于B选项，椭圆 的离心率为 ，B错；
对于C选项，设 、 分别为椭圆 的左、右焦点，则 、 ，
记 ，设点 ， ， ，
因为 ，则 ，
所以，点 在圆 上，联立 可得 ，
即圆 与椭圆 有公共点，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称
的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是
___________.【答案】
【分析】设点 ，利用条件可知 得到关于 的方程，再联立 ，用含
的式子表示出 ，再利用 的取值范围，即得出离心率的范围.
【详解】设点 ，则 ，又点 ，
∴ ，又以 为直径的圆过原点，则有 ,
所以 ，即 ，
∴ ，又 ，
所以 ，得 ，
∴ ，整理得： ，
解得 ，又 ，
所以 .
故答案为： .6．（2022·浙江·高三专题练习）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交
于A，B两点，且 ，记椭圆的离心率为e，则 的取值范围是___________.
【答案】 ；
【分析】设 为椭圆的另一焦点，根据椭圆和直线的对称性可得出四边形 为平行四边形，从而得
到 ；然后在 中，利用余弦定理及基本不等式即可求出 的取值范围.
【详解】设 为椭圆的另一焦点，如图，连接 ，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 .
在 中， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，故 .
故答案为： .7．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，长轴长为4，
点 在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据长轴长为4，可求出 ；根据点 在椭圆内部，可求出 ；再结合 ，可
求出 ，然后根据离心率公式 即可求出椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由题意可知， ，所以椭圆的标准方程为 ，
因为点 在椭圆内部，所以 ，可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以椭圆C的离心率的取值范围是 .
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过原点的直线
与C交于A，B两点(A在第一象限)，若 ，且 ，则椭圆离心率的取值
范围是___________.【答案】
【分析】首先根据已知条件找到 ，转化为 ，进而整理
，然后把 整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.
【详解】
∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即
又∵ ，
∴四边形 为矩形
∴
则在 中，
∵ ，∴
∵ ∴
∵A在第一象限，∴
∴
∴
令 ，则有
，即
故答案为：
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方
法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
四、解答题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左、右两焦点分别为 ， ，短轴的一个端点为 ，直线 ： 交椭圆 于 ， 两点， ．
(1)若椭圆的离心率为 ，求椭圆的方程；
(2)若点 到直线 的距离不小于 ，求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）结合椭圆的定义以及离心率的公式即可得到方程组，解之即可求出结果；
（2）结合点到直线的距离公式即可得到 ，从而求出 的范围，进而可求出结果.
(1)由题意及椭圆的定义，得 ，∴ ．
又 ， ，
∴ ， ．
故椭圆的标准方程为 ．
(2)设 ，可得点 到直线 的距离为 ，由题意知 ，故 ，从而 ．
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
即椭圆的离心率的取值范围是 ．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的长半轴长为 ．
(1)若椭圆 经过点 ，求椭圆 的方程；(2) 为椭圆 的右顶点， ，椭圆 上存在点 ，使得 ．求椭圆 的离心率的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由椭圆的长轴长、所过的点坐标求椭圆参数，进而写出椭圆方程.
（2）设 ，由题设可得 、 ，根据已知条件及两点距离公式得 ，联立方
程求参数b的范围，利用椭圆参数关系求离心率的取值范围．
(1)由题意可得： ，又椭圆 过 ，
∴ ，解得 ．故椭圆 的方程为 ．
(2)由（1）知： ，设 ，则 ．①
由 ，则 ，
∴ ，即 ．②
联立①②，解得 ．
由 ，即 ，故 ，解得 ，
于是 ，即 ，即 ，即 ．
故椭圆 的离心率的取值范围是 ．
