文档内容
重难点 13 六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：待定系数法求双曲线方程
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，一条渐
近线方程为 ，过双曲线C的右焦点 作倾斜角为 的直线 交双曲线的右支于A，B两点，若
的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距
离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E与椭圆 焦点相同且离心率是椭圆C
离心率的 倍，则双曲线E的标准方程为( )
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知 ， 是双曲线 的两个焦点，R是C
上的一点，且 ， ，C经过点 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．6 D．3二、多选题
5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为
， ，两条渐近线的夹角正切值为 ，直线 ： 与双曲线 的右支交于 ，
两点，设 的内心为 ，则（ ）
A．双曲线 的标准方程为 B．满足 的直线 有2条
C． D． 与 的面积的比值的取值范围是
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，其焦点 到渐近线的距离为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为 B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的离心率为 D．双曲线 上的点到焦点距离的最小值为
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ， ）的一条渐近线的方程为
，且过点 ，椭圆 ： （ ）的焦距与双曲线 的焦距相同，且椭圆 的左
右焦点分别为 ，过 的直线交 于 （ ）， 两点，则下列叙述正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．双曲线的实轴长为
C．点 的横坐标的取值范围为
D．点 的横坐标的取值范围为三、填空题
8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方程是
___________.
四、解答题
9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，点
在双曲线E上.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若动直线l与双曲线E相切，过点 作直线l的垂线，垂足为H，试判断 是否为定值？如果是，
请求出该值；如果不是，请说明理由.
10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线 ： （a＞0，b＞0） 经过点 ，且渐近线
方程为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)点 ， ， 是双曲线 上不同的三点，且 ， 两点关于 轴对称， 的外接圆经过原点 ．求
证：点 与点 的纵坐标互为倒数；
(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线 ： （ ）的右焦点 ，点 分别在
的两条渐近线上， 轴， ∥ （ 为坐标原点）.(1)求双曲线 的方程；
(2)过 上一点 的直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，
证明：当点 在 上移动时， 恒为定值，并求此定值.
12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为
，实轴长为4.
(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点 且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的
直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐
标.
13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线 的右焦点为 ， ， ， 成等
差数列，过 的直线交双曲线 于 ､ 两点，若双曲线 过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过双曲线 的左顶点 作直线 ､ ，分别与直线 交于 ､ 两点，是否存在实数 ，使得以
为直径的圆恒过 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
题型二：相同渐近线双曲线方程求法
一、单选题
1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线C的标
准方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线 与双曲线 有公共的渐近线，且经过点 ，
则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C．4 D．2
3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，且与双曲线 的渐近线相同，
则双曲线 的标准方程为
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为2
C．曲线 经过 的一个焦点 D．直线 与 有两个公共点
5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线过点
，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 与双曲线 有相同的渐近线
C．若 到渐近线的距离为2，则双曲线 的方程为
D．若直线 与渐近线围成的三角形面积为 则焦距为三、填空题
6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且 的焦点到
一条渐近线的距离为 ，则双曲线 的方程为______．
7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 （ ， ）与双曲线 有相同的
渐近线，且 经过点 ，则 的实轴长为_________
四、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 与 有相同的渐近线，
点 为 的右焦点， 为 的左，右顶点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 过点 交双曲线 的右支于 两点，设直线 斜率分别为 ，是否存在实数入
使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.题型三：直接法解决离心率问题
一、单选题
1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程 ，则该双曲线的离心
率为 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光
线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，
分别经过点 和 ．且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C： ， 为坐标原点， 为双曲线 的左焦
点，若 的右支上存在一点 ，使得 外接圆 的半径为 ，且四边形 为菱形，则双曲线 的
离心率是（ ）
A． B． C． D．4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知 ， 为双曲线 ： 的左、右焦点，
过点 ， 分别作直线 ， 交双曲线 于 ， ， ， 四点，使得四边形 为平行四边形，且以
为直径的圆过 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线 ，直线 与C交于A、B两点
（A在B的上方）， ，点E在y轴上，且 轴．若 的内心到y轴的距离为 ，则C的
离心率为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C： ， ， 为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线 和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且 ，则 的周长为
C．若直线 与C没有公共点，则 或D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
三、填空题
7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C： （ ），以C的焦点为圆心，3
为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________________．
8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜
面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､右焦点分
别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ，
，则E的离心率为___________.
9．（2022·浙江·三模）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，点 是双曲线第
一象限上一点，在点P处作双曲线C的切线l，若点 到切线l的距离之积为3，则双曲线C的离心率为
_______．
四、解答题
10．（2022·河北张家口·三模）已知 ，点 ， ，动点P满足 ，点
P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；(2)直线 与曲线C相切，与曲线 交于M､N两点，且 （O为坐标原点），
求曲线E的离心率.
题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
一、单选题
1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 ， ，记它们其中的一个交
点为P，且 ，则该椭圆离心率 与双曲线离心率 必定满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，
过 的直线 与双曲线 左、右支分别交于 ， 两点，若 ， 的面积为 ，双曲线
的离心率为 ，则 （ ）
A． B．2
C． D．3．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，M为右支上一点，
的内切圆圆心为Q，直线 交x轴于点N， ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ， 是 的
一条渐近线，以 为圆心， 为半径的圆与 交于 ， 两点，则（ ）
A．过点 且与圆 相切的直线与双曲线 没有公共点
B． 的离心率的最大值是
C．若 ，则 的离心率的取值范围是
D．若 ，则 的离心率为
三、双空题
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，是双曲线C： 的左右焦点，过 的直线与双曲线
左支交于点A，与右支交于点B， 与 内切圆的圆心分别为 ， ，半径分别为 ， ，则
的横坐标为__________；若 ，则双曲线离心率为__________.
四、填空题
6．（2022·河北·模拟预测）已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过点 的直线与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线 的
离心率是__________．
7．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ､ ，双曲线上
一点A关于原点O对称的点为B，且满足 ， ，则该双曲线的离心率为___________.
8．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，
过点F作直线 与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线 与E的右支交于C，D两点，若点B
恰为 的重心，且 为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为___________.
五、解答题
9．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为双曲线 的左、右顶点，直线 过右焦
点 且与双曲线 的右支交于 ， 两点，当直线 垂直于 轴时， 为等腰直角三角形.
（1）求双曲线 的离心率；
（2）已知直线 ， 分别交直线 于 两点，当直线 的倾斜角变化时，以 为直径的圆是否
过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
10．（2021·全国·高三专题练习）设双曲线 的方程为 ， 、 为其左､右两个顶点，
是双曲线 上的任意一点，引 ， ， 与 交于点 .（1）求 点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时， 的取值范围.
题型五：渐近线综合问题
一、单选题
1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知 为坐标原点，双曲线 的右焦
点为 ，离心率 ，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 为直角三角形，
，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·山西吕梁·三模（文））已知双曲线 的离心率 是它的一条渐近线斜率的2
倍，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线
与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
4．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点是 ， ，
为原点，若以 为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且 ，则C的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·海南·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的焦
点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·福建南平·三模）已知双曲线 的方程为 ， ， 分别为双曲线 的左､
右焦点，过 且与x轴垂直的直线交双曲线 于M，N两点，又 ，则（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为B．双曲线 的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
C．双曲线 的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列
D．双曲线 上存在点 ，满足
7．（2022·湖南·一模）已知双曲线 的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行
线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为 D．O为坐标原点，则
8．（2022·全国·高三专题练习）下列双曲线的渐近线方程为 的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2022·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，则下列说法
正确的序号是___________.
① ；
②若 ，则双曲线C的离心率为 ；
③若点P在双曲线C的右支上， 与y轴交于M， ，则 ；
④若双曲线C的离心率为 ，则两条渐近线夹角余弦值为 .
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线 的方程为 ，且右焦点 到 的距离为1．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 为直线 上一点，倾斜角为 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，且 为等边三
角形，求直线 在 轴上的截距．
题型六：利用自变量范围求离心率范围
一、单选题
1．（2022·山西太原·二模（理））已知双曲线 的右焦点为 ，点Q为双曲
线左支上一动点，圆 与y轴的一个交点为P，若 ，则双曲线离心率的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C： （ ， ）的右焦点F（ ，0），点
Q是双曲线C的左支上一动点，圆E： 与y轴的一个交点为P，若 ，则双曲
线C的离心率的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 为双曲线 的右焦点，直线 ，与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，若双曲线不存在以点 为中点的
弦，则双曲线离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则曲线 为椭圆
B．若 ，则曲线 为焦点在 轴上的双曲线
C．若曲线 为双曲线，则其焦距是定值
D．若曲线 为焦点在 轴上的双曲线，则其离心率小于
三、填空题
6．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若 上
存在点 使得 ，则双曲线 ： 的离心率的取值范围是______.
7．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知 是双曲线 .左，右焦点，若 上存在一点
，使得 成立，其中 是坐标原点，则 的离心率的取值范围是__________.
四、解答题
8．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且 .
(1)用a表示 ；
(2)若 是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.
9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知梯形ABCD中 ，点E分有向线段 所成的比为
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围.
