文档内容
重难点 14 三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一:定义法求焦半径
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数 ， ，抛物线 的焦点为 ，抛物线 的
焦点为 ，线段 与两个抛物线的交点分别为 ， ．若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
2．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，过线段 的中点 作抛物线
的准线的垂线，垂足为 ，以 为直径的圆过点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点且斜率为 的直线l
与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线 ： 的焦点为F，Q为 上
一点，M为 的准线 上一点且 轴.若 为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧， ，
， ，则准线 的方程为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，则下列选项
正确的是（ ）
A．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
B．若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为1
C．若 ，则弦长AB最小值为8
D．当直线l过焦点F且斜率为2时， ， ， 成等差数列
6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线 上，则（ ）
A．当 时， 最小值为1
B．当 时， 的最小值为3
C．当 时， 的最小值为4
D．当 时， 的最大值为2
7．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 的方程为 ， 的焦点为 ，直线 与
交于 ， 两点，且 的中点到 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B． 的最大值为6
C．若 ，则直线 的方程为
D．若 ，则 面积的最小值为16
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线 ： 与抛物线C： 相交于A，B两点，
点A在x轴上方，点 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于 ，
两点，点T（-1，0），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若三角形TAB的面积为S，则S的最小值为
D．若线段AT中点为Q，且 ，则
三、解答题
10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C的方程为 ，点D的坐标 ，点P的
坐标 .
(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标：
(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M､N两点，线段
MN的垂直平分线经过点P.证明；直线AB的斜率为定值，并求出此值.
11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于
点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小
值．
12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线 的焦点为 ，且点 与
上点的距离的最大值为 ．
(1)求 ；
(2)当 时，设 ， ， 是抛物线 上的三个点，若直线 ， 均与 相切，求证：直线
与 相切．
题型二：定义转换法求距离的最值问题
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点 ，点 为拋物线 上一动点， 到 轴
的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线 的焦点为F，过F的直线
l与抛物线相交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．C． D．6
3．（2022·河北张家口·三模）已知点P是抛物线 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动
点M满足 最小值为3，则点M的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知点P为抛物线 上的动点，点F为抛物线的焦点，点 ，设
点Q为以点P为圆心， 为半径的圆上的动点， 的最大值为 ，当点P在抛物线上运动时，则
的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
5．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M是抛物线 上一点，F为其焦点， ，
则 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛
物线相交于A，B两点， ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B． (O为坐标原点)的面积为
C．
D．若 ，P是抛物线上一动点，则 的最小值为
二、多选题7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线 的焦点为F，准线为l， 为C上一动点， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当 时， 的值为6
C． 的最小值为3 D． 的最大值为
8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线 上一
动点，Q是 上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最小值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
9．（2022·福建福州·三模）已知抛物线 的准线为 ，点 在抛物线上，以 为圆心的圆与
相切于点 ，点 与抛物线的焦点 不重合，且 ， ，则（ ）
A．圆 的半径是4
B．圆 与直线 相切
C．抛物线上的点 到点 的距离的最小值为4
D．抛物线上的点 到点 ， 的距离之和的最小值为4
三、填空题
10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线 的焦点为F，点
是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线 截得的弦长为
，若 ，则 ___________.四、解答题
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆 ，经过拋物线 的焦
点 的直线 与 交于 两点， 在点 处的切线 交 于 两点，如图.
(1)当直线 垂直 轴时， ，求 的准线方程；
(2)若三角形 的重心 在 轴上，且 ，求 的取值范围.
题型三：定义法求焦点弦
一、单选题
1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若A、B
两点横坐标的等差中项为2，则 （ ）
A．8 B．6 C． D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ，直线 与
抛物线C交于A、B两点，直线 与抛物线C交于D、E两点，若 与 的斜率的平方和为2，则的最小值为（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线 ，过焦点F作一直线l交抛物线于 ，
两点，以下结论正确的有（ ）
A． 没有最大值也没有最小值 B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线 的焦点为 、准线为 ，过点 的直线
与抛物线交于两点 、 ，点 在 上的射影为 ，则 （ ）
A．若 ，则
B．以 为直径的圆与准线 相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 条
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）抛物线 的焦点F恰好是圆 的圆心，过点F且倾斜角
为 的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ______．
6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F与C交于A，B两点，与C的
准线交于点P，若 ，则l的斜率为______．
四、解答题7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为
的直线被 所截得的弦长为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 为抛物线上的任意一点，以 为圆心的圆过点 ，且与直线 相交于 两点，求
的取值范围.
8．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C： 的焦点F，且与C交于不同
的两点A，B．
(1)若 ， ， 成等差数列，求实数k的值；
(2)试判断在x轴上存在多少个点 ，总在以AB为直径的圆上．
