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重难点 14 三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一:定义法求焦半径
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数 ， ，抛物线 的焦点为 ，抛物线 的
焦点为 ，线段 与两个抛物线的交点分别为 ， ．若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程求出其焦点和顶点坐标，由条件结合抛物线的定义列方程求出 即可.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ，
又 ，所以 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故选：C.2．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，过线段 的中点 作抛物线
的准线的垂线，垂足为 ，以 为直径的圆过点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先设出 ，由抛物线定义求出 ，勾股定理求出 ，结合基本不等式求出 的最
大值即可.
【详解】
如图，以开口向右的抛物线为例，过 作 垂直于准线，垂足为 ，设 ，
则 ，以 为直径的圆过点 ，则 ， ，
则 ，则 ，当且仅当 时取等，即 的最大值为 .
故选：C.
3．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点且斜率为 的直线l
与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】设直线l的倾斜角为 ，求得 ．过A作 准线于 ，过B作 准线于 ，过B作
于 .由抛物线定义求出 和 .
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出 ,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为 ，根据条件可得 ，则可得 ．
过A作 准线于 ，过B作 准线于 ，过B作 于 .
由抛物线定义可得： .
因为 ，所以 .而 .
在直角三角形ABC中， ,解得： ．
故选：C
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线 ： 的焦点为F，Q为 上
一点，M为 的准线 上一点且 轴.若 为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧， ，
， ，则准线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及已知的几何关系，判断出 为等边三角形，再运用焦半径公式求出边
长，进而解得 的取值，求出准线方程.
【详解】由题意得，如图，
点 在焦点 的右边，且 ， ，
由抛物线的定义知 ，∵ ，∴ ，
又 ， 轴，
∴ 为等边三角形，∴点 的横坐标为 ，∴ ，
又 ，∴ ，解得 ，
∴准线 的方程为 ，
故选：C.
二、多选题
5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，则下列选项
正确的是（ ）
A．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
B．若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为1
C．若 ，则弦长AB最小值为8
D．当直线l过焦点F且斜率为2时， ， ， 成等差数列
【答案】ABC
【分析】设 ，根据抛物线定义，可得 ，即可得AF为直径的圆的半径和圆心坐标，又圆
心到y轴距离为 ，即可判断A的正误；由题意，求得直线l的方程，即可判断B的正误；根据题意，
结合韦达定理及弦长公式，可得 长表达式，根据m的范围，即可判断C的正误；由题意得
，根据焦半径公式结合韦达定理，可求得k值，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】设直线l的方程为 ， ， ．
联立 ，消去x得 ，
由韦达定理得 ， ．
对于A： ，以AF为直径的圆半径为 ，圆心为 ，圆心到y轴距离为 ，故以AF为直径的圆与y轴相切，故选项A正确；
对于B：∵ ，∴ ，即 ，
∴直线l的方程为 ，∴直线AB的斜率为1，故选项B正确；
对于C：若 ，则 ，
∴ ，∴ ，
则 ．
又 ，∴当 时，AB取最小为8，故选项C正确；
对于D：根据题意可得直线l的斜率存在．∵抛物线 的焦点 ，
∴直线l的方程可设为 ，
与抛物线方程联立 ，消去y整理得 ．
设 ， ，∴ ， ．
若 ， ， 成等差数列，则有 ，
即 ，化简得 ．
又 ，解得 或 （舍去）．
∵ ，∴ ，解得 ，
所以 ，与已知矛盾，故选项D错误，
故选：ABC．
【点睛】解题的关键是熟练掌握抛物线的定义、焦半径公式、弦长公式等基础知识，并灵活应用韦达定理
进行求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线 上，则（ ）
A．当 时， 最小值为1
B．当 时， 的最小值为3
C．当 时， 的最小值为4
D．当 时， 的最大值为2
【答案】ACD
【分析】当 时，得到 为抛物线焦点，利用焦半径求出 ，从而判断A选项；作辅
助线，得到当N，P，M三点共线时， 取得最小值，求出最小值，判断C选项；延长AM交抛物
线于点 ，此时 为 的最大值，求出最大值，判断D选项；当 时，利用两点间距离公
式和配方求出最小值，判断B选项.
【详解】当 时， 为抛物线的焦点，设 ，
则 ，故 的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为 ，过点P作PN⊥l于点N，
此时 ，
故当N，P，M三点共线时， 取得最小值，
此时 ，C正确；当 时， ，
连接AM，并延长AM交抛物线于点 ，
此时 为 的最大值，
当 在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于 ，
因为 ，故D正确；
此时
当 时， ，B错误.
故选：ACD
7．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 的方程为 ， 的焦点为 ，直线 与
交于 ， 两点，且 的中点到 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A． 的准线方程为B． 的最大值为6
C．若 ，则直线 的方程为
D．若 ，则 面积的最小值为16
【答案】BCD
【分析】直接求出准线方程即可判断A选项；由 以及抛物线的定义结合
即可判断B选项；设出直线 的方程为 ，联立抛物线，由 解出 点
坐标，即可判断C选项；由 求得直线 恒过点 结合 即可求出面积最小值，即可
判断D选项.
【详解】
由题意知 的标准方程为 ，故 的准线方程为 ， A错误；
设 的中点为 ，分别过点 ， ， 作准线的垂线，垂足分别为 ， ， ，
因为 到 轴的距离为2，所以 .
由抛物线的定义知 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，所以B正确；由 得直线 过点 ，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，联立方程得 化简得 ，
则 .由于 ，所以 ，得 ，
得 ，所以 ，
所以 ，直线 的方程为 ，故C正确；
设 ， ，由 ，得 ，又
所以 ，由题意知 ，所以 .
又 ，故直线 的方程为 .
由于 ，所以 ，
则直线 恒过点 ，所以 ，
所以 面积的是小值为16，故D正确.
故选：BCD.
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线 ： 与抛物线C： 相交于A，B两点，
点A在x轴上方，点 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【分析】由题意可知，抛物线 的准线为 ，利用抛物线的几何性质求出 和抛物线 的方程和焦
点坐标 ，结合直线 的方程可知，直线 经过焦点 ，利用抛物线的定义表示出以 为直径的
圆的半径和圆心 ,由 得到关于 的方程，解方程求出 ，利用抛物线的定义求得焦半径计
算可判断 的对错.
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，解得 ，故选项A正确；
因为 ，所以抛物线 的方程为： ，其焦点为 ，
又直线 ，所以直线 恒过抛物线的焦点 ，
设点 ，因为 两点在抛物线 上，
联立方程 ，两式相减可得， ，
设 的中点为 ，则 ，因为点 在直线 上，
解得可得 ，所以点 是以 为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆 的半径 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，故选项B正确；
因为 ， , 所以 ，故选项C正确；
过 做 轴，过 做 轴，抛断线的准线交 轴与点 ，设 ,， ，
， ，
又 ， ，则 ，
则D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦
长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和
抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于 ，
两点，点T（-1，0），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若三角形TAB的面积为S，则S的最小值为
D．若线段AT中点为Q，且 ，则
【答案】ABD【分析】A选项，设出直线AB： ，与 联立后得到两根之积；B选项，利用抛物线的定义
得到 ， ，转化为两根之和与两根之积的关系式，代入求解；C选项，表达出
，求出最小面积；D选项，根据 得到 ，
，得到 ，进而计算出 ，求出 .
【详解】将直线AB： 与 联立得：
设 ，则 ，故A正确；
由抛物线的定义可知： ， ，
则
，B正确；
，当且仅当 时等号成立，故S的最小值为4，C
错误；
由 可得： ，即 ，
所以 ，
解得： 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
因此 ，D正确.
故选：ABD【点睛】抛物线的焦点弦的性质是比较多的，要重点记忆一些，比如 ， ，
等.
三、解答题
10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C的方程为 ，点D的坐标 ，点P的
坐标 .
(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标：
(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M､N两点，线段
MN的垂直平分线经过点P.证明；直线AB的斜率为定值，并求出此值.
【答案】(1) 或 .(2)证明见解析，定值为 .
【分析】（1）化简曲线曲线C的方程得 ，根据抛物线的定义可求出结果；
（2）联立直线与抛物线方程求出 的坐标，利用 的垂直平分线经过 得到 与 的斜率为相反
数，再联立直线与抛物线方程得到 的坐标，根据斜率公式可证结论成立.
(1)曲线C的方程为 ，
移项平方得 ，化简得 ，
∴曲线C的方程为 .
∴ 为抛物线 的焦点，直线 为抛物线 的准线.
设 ，则 .∵ ， ，解得 .
∴ ，解得 .∴E的坐标为 或 .
(2)∵ ，曲线C的方程为 ，点 在曲线C上，∵A､B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA､PB与y轴分别交于点M､N，∴直线PA､PB
的斜率都存在，且都不为0，
分别设为k､ ，则 ，
直线PA的方程为 ，即 .
当 时， ，即 .
同理可得 .
∵线段MN的垂直平分线经过点P，
∴ ，即 .
由 ，得： .
设 ，则1， 是 的解.
由书达定理得：
∴ ，同理可得
∴ ，∴直线AB的斜率为定值 .
11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于
点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小
值．【答案】(1) (2)8
【分析】（1）设出 ，由焦半径得到方程，求出 ，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出 ，利用基本不等式求出最小值.
(1)依题意，设 ．
由抛物线的定义得 ，解得： ，
因为 在抛物线 上，
所以 ，所以 ，解得： ．
故抛物线 的方程为 ．
(2)由题意可知 ，直线 的斜率存在，且不为0．
设直线 的方程为 ， ， ．
联立 ，整理得： ，
则 ，从而 ．
因为 是弦 的中点，所以 ，
同理可得 ．
则
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，故 的最小值为8．
【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，结合题目条件
列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.
12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线 的焦点为 ，且点 与
上点的距离的最大值为 ．
(1)求 ；
(2)当 时，设 ， ， 是抛物线 上的三个点，若直线 ， 均与 相切，求证：直线
与 相切．
【答案】(1) 或 (2)证明见解析
【分析】(1)作图，分析图中的几何关系即可求解；
(2)分别写出BD，BE，ED的直线方程，化简，利用点到直线距离公式即可.
(1)依题意作下图：
由于 ，依题意有
解得 或 ；
(2)
当 时，抛物线 ，设 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
由题意可知直线 ， ， 的斜率均存在，
所以 ，
直线 的方程为 ，
即 ，直线 均与 相切，
所以有 ，即 …①，
同理 …②，
得： ， ，
所以直线 的方程为 ， ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与 相切；
题型二：定义转换法求距离的最值问题
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点 ，点 为拋物线 上一动点， 到 轴
的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】设焦点为 ， 到准线的距离为 ，根据抛物线的定义，可得 ，故将
变为 ,求得答案.
【详解】设焦点为 ， 到准线的距离为 ，则 ，所以 ，
当且仅当P,M,F三点共线时取等号，
故选：A．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线 的焦点为F，过F的直线
l与抛物线相交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．
C． D．6
【答案】B
【分析】根据 ，代入得 利用基本不等式处理．
【详解】设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
故选：B．
3．（2022·河北张家口·三模）已知点P是抛物线 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动
点M满足 最小值为3，则点M的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分点M在抛物线外部，点M在抛物线上或内部两种情况讨论得解.
【详解】当点M在抛物线外部时， ，
，
点M的轨迹方程为 （在抛物线外部的部分），
与 联立解得 ，
∴ 轨迹与抛物线的两个交点为 ， ，则 ，圆在抛物线外部的弧长为
；
当点M在抛物线上或内部时， 三点共线时， 最小，此时点M的轨迹方程为
，其长度为 .所以点M的轨迹长度为 .
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）已知点P为抛物线 上的动点，点F为抛物线的焦点，点 ，设
点Q为以点P为圆心， 为半径的圆上的动点， 的最大值为 ，当点P在抛物线上运动时，则
的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据圆内的定点与圆上的点的距离关系确定 的最大值，结合抛物线的定义求其最小值.
【详解】设圆P的半径为r，则 ．易知 的最大值 ．设点P到准线
的距离为 ，点A到准线的距离为 ，根据抛物线的定义得 ，
故选：C．
5．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M是抛物线 上一点，F为其焦点， ，
则 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】过M作直线 的垂线，垂足为N，根据抛物线的定义可知 ，即求 的最小值，结合三点共线时两点之间距离最短可求解.
【详解】由题意直线 为抛物线 的准线.
过M作直线 的垂线，垂足为N，根据抛物线的定义可知 ，
故 ,即求 的最小值，
当 三点不共线时，
当 三点共线时，即过点C作直线 的垂线，此时
所以过点C作直线 的垂线，与抛物线的交点就是所求点M，此时 ，
故 的最小值为9
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛
物线相交于A，B两点， ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B． (O为坐标原点)的面积为
C．D．若 ，P是抛物线上一动点，则 的最小值为
【答案】A
【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出 ，根据 求出p的值.
A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；
B：利用三角形面积公式即可求解；
C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；
D：数形结合，利用抛物线的定义转化 为P到准线的距离即可求出最值.
【详解】∵l过点F且倾斜角为 ，
∴直线l的方为 ，与抛物线方程联立，得 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ；
不妨设 ，当 时， ，
∴过A的切线斜率为 ，
同理可得过B的切线斜率为 ，
∴ ，∴ ，故A正确；
，故B错误； ，故C错
误；
设点M到准线的距离为d，若 ，则 ，则D错误．故选：A．
二、多选题
7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线 的焦点为F，准线为l， 为C上一动点， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当 时， 的值为6
C． 的最小值为3 D． 的最大值为
【答案】BCD
【分析】A选项，求导，求出在 的导函数值，即切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；B选项，
由焦半径求出 的值；C选项，利用抛物线定义得到 ，当三点共线时和最小，求
出最小值；D选项，作出辅助线，找到 .
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，
所以抛物线C在点P处的切线方程为 ，整理得： ，A错误；
当 时， ，故 ，B正确；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知： ，则 ，当A、
P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；由题意得： ，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为 取最大值的点，此时
，其他位置的点 ，由三角形两边之差小于第三边得：
，故 的最大值为 ，D正确.
故选：BCD
8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线 上一
动点，Q是 上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最小值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.
【详解】抛物线焦点为 ，准线为 ，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知： 的最小值为 ，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知： 的最小值为 ，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知 ，故
， 的最小值为点Q到准线 的距离，故最小值为4，从而选项C正
确，选项D错误．
故选：AC.
9．（2022·福建福州·三模）已知抛物线 的准线为 ，点 在抛物线上，以 为圆心的圆与
相切于点 ，点 与抛物线的焦点 不重合，且 ， ，则（ ）
A．圆 的半径是4
B．圆 与直线 相切
C．抛物线上的点 到点 的距离的最小值为4
D．抛物线上的点 到点 ， 的距离之和的最小值为4
【答案】AC
【分析】由抛物线的定义，得 ，又 ， ，易得 是等边三角形，
结合图像得到 ，即可求解 ；求得 的坐标，则判断出A和B选项；对于C选项，设，利用两点间的距离公式得到 ，结合二次函数的图象性质，得到 的最小值；设 交
于点 ，通过抛物线的定义结合三点共线得， ，当且仅当 、 、 三点共线
时取得最小值，即可判断D选项.
【详解】由抛物线的定义，得 ， ，准线
以 为圆心的圆与 相切于点 ，所以 ，即 轴，
又 ，所以 ；因为 ，所以 是等边三角形，即
；
设点 在第一象限，作 的中点 ，连接 ，
， ，则 ，即 ，
解得： ，则抛物线的方程为： ，则 =3，
对于A选项，有 ，故A选项正确；
对于B选项， ，所以 ，易得圆 与直线 不相切，故B选项错误；
对于C选项，设抛物线上的点 ，则化简，得 ，当且仅当 时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，设过点 作准线 的垂线交 于点 ，
由抛物线的定义，知 ，则 ，当且仅当 、 、 三点共线时取得最
小值，所以 ，故D选项错误；
故选：AC.
三、填空题
10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线 的焦点为F，点
是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线 截得的弦长为
，若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准
线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可.
【详解】如图所示， 在抛物线上，则 ……①
易知， ，由 ，
因为被直线 截得的弦长为 ，则 ，
由 ， 于是在 中，
……②
由①②解得： ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题应当结合抛物线的简单几何性质和定义以及勾股定理在抛物线中的应用，一定要结合图形找
到各个量之间的联系，抛物线题目切记抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离.
四、解答题
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆 ，经过拋物线 的焦
点 的直线 与 交于 两点， 在点 处的切线 交 于 两点，如图.
(1)当直线 垂直 轴时， ，求 的准线方程；
(2)若三角形 的重心 在 轴上，且 ，求 的取值范围.【答案】(1)x=-1；(2)
【分析】(1)根据抛物线的性质可得 ，根据题意可得 ，将点P的坐标代入抛物线方程求出p
的值即可；
(2)根据题意设 ， ，由导数的几何意义求出直线PB的斜率进而表
示出方程，联立椭圆方程并消去x，利用韦达定理求出 ，根据三角形的重心可得 ，列
出方程并解之得出 ，利用抛物线的定义表示 ，结合换元法化简计算即可.
(1)由 知， ，
当直线PF垂直于x轴时，由 ，得 ，
有 ，
所以 的准线方程为： ，即 ；
(2)由题意知， ，设直线 ， ，
则 ， ，
，
由 ，即直线PB的斜率为 ，所以直线PB的方程为： ，即 ，
，
，又G为 的重心，且G在x轴上，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，
整理，得 ，解得 ，
①，令 ，则 ，
所以①式 ②，
令 ，则 ，
所以②式 ，
故 的取值范围为 .
【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与 联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角
形的面积和取值范围等问题．
题型三：定义法求焦点弦
一、单选题
1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若A、B
两点横坐标的等差中项为2，则 （ ）
A．8 B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】由题可得 ，然后利用焦点弦公式即得.
【详解】∵过抛物线 的焦点作直线交抛物线于A，B两点，A、B两点横坐标的等差中项为2，
∴ ，
∴ .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ，直线 与
抛物线C交于A、B两点，直线 与抛物线C交于D、E两点，若 与 的斜率的平方和为2，则
的最小值为（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
【答案】C
【分析】设两条直线方程，与抛物线联立，求出弦长的表达式，根据基本不等式求出最小值
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，设直线 ： ，直线 ： ，
联立 得： ，所以 ，所以焦点弦，同理得： ，所以 ，因为 ，所以
，
故选：C
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线 ，过焦点F作一直线l交抛物线于 ，
两点，以下结论正确的有（ ）
A． 没有最大值也没有最小值 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】可设直线AB的方程为 ，将其与抛物线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，得到
，判断出C选项，由抛物线的定义知， ， ，求出
，判断出B选项，由基本不等式判断出A选项，表达出
，代入两根之和，两根之积即可.
【详解】由题意知， ，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为 ，联立 ，消
去x，得 ， ， ，即选项C正确；由抛物线的定义知， ,
，所以 ，即选项B正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 有最小值，即选项A错误；
又 ，
∴ ，即选项D正确；
故选：BCD
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线 的焦点为 、准线为 ，过点 的直线
与抛物线交于两点 、 ，点 在 上的射影为 ，则 （ ）
A．若 ，则
B．以 为直径的圆与准线 相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 条
【答案】ABC
【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C选项；求出
过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D选项.
【详解】对于选项A，因为 ，所以 ，则 ，故A正确；
对于选项B，线段 的中点为 ，抛物线的准线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为 ，所以，以 为直径的圆与准线 相切，B对；
对于选项C，因为 ，所以 ，
当且仅当点 、 、 三点共线，且点 为线段 与抛物线的交点时，等号成立，故C正确；
对于选项D，显然直线 ， 与抛物线只有一个公共点，
设过 且斜率不为零的直线为 ，
联立 ，可得 ，令 ，则 ，
所以直线 与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）抛物线 的焦点F恰好是圆 的圆心，过点F且倾斜角
为 的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ______．
【答案】8
【分析】根据题意可得： ， ，联立方程利用韦达定理求 ．
【详解】由题意知，焦点 ，则抛物线 ，
直线 ，设 ， ，联立 消去y并整理得 ．则 ，
所以 ．
故答案为：8．
6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F与C交于A，B两点，与C的
准线交于点P，若 ，则l的斜率为______．
【答案】
【分析】分点A在第一象限和第四象限考虑，由 结合抛物线定义求得 ， ，由
勾股定理求得 ，由 即可求出斜率.
【详解】
如图，当点A在第一象限时，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为 ， ．设 ，则由
，
可得 ，从而 ，所以 ，则 ，所以，
故直线l的斜率为 ．同理，当点A在第四象限时，可求得直线l的斜率为 ．综上，直线l的斜率为
．
故答案为： .
四、解答题
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为
的直线被 所截得的弦长为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 为抛物线上的任意一点，以 为圆心的圆过点 ，且与直线 相交于 两点，求
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦长公式可构造方程求得 ，由此可得抛
物线方程；
（2）设 ，圆 的半径为 ，利用面积公式，借助 可求得 ，结合抛物线定义可
知 ，由此可得 ，进而得到所求范围.
(1)
由抛物线方程得： ，可设过点 且倾斜角为 的直线为： ，
由 得： ，由抛物线焦点弦长公式可得： ，解得： ，
抛物线 的方程为： .
(2)
由（1）知： ，准线方程为： ；
设 ，圆 的半径为 ，则 ， ，
，又 ， ；
由抛物线定义可知： ，即 ， ，
即 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题第二问求解的基本思路是能够将所求距
离之积转化为关于圆的半径 的函数的形式，通过抛物线定义确定 的取值范围后，即可得到所求距离之
积的取值范围.
8．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C： 的焦点F，且与C交于不同
的两点A，B．
(1)若 ， ， 成等差数列，求实数k的值；
(2)试判断在x轴上存在多少个点 ，总在以AB为直径的圆上．
【答案】(1) (2)1个【分析】（1）由直线l的方程 判断出抛物线C的焦点 ，求出 .设 ，
．用“设而不求法”得到 ，由 ， ， 成等差数列，得到 ，
解出斜率k ；
（2）把 整理得： ，利用 得到 ，求出满足条件的点
只有一个.
(1)直线l的方程可写为 ，可知直线l恒过定点 ，即抛物线C的焦点 ，所以 ，
p＝2，因此 ．
设 ， ．
联立 整理得 ， 恒成立，所以 ， ．
因为 ， ， 成等差数列，所以 ．
又因为 ， ， ，
所以 ，整理得 ．又 ，
即 ，即 ，解得 或 （舍去），则 ．
所以 ，
解得k ．故实数k的值为 ．
(2)若存在点 总在以AB为直径的圆上，即AT⊥TB，则 ，即 ，整理得 ．
又 ，所以 ，则 ，
恒成立，且 ，故满足条件的点 只有一个．
