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专题 2.3 二次函数与一元二次不等式
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c
的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
Δ=b2 −4ac
对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的解按
Δ>0 Δ=0 Δ<0
照 可分三种情况，相应地，二次函数 的图像与 轴的
， ，
位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或
的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的
图象
一元二次方程 有两个不相等的实数 有两个相等的实数
没有实数根
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 根x ，x (x <x ) 根x ＝x ＝－
1 2 1 2 1 2
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x ，或x>x } R
1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x <x<x } ∅ ∅
1 2
四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
Δ
第二步：写出相应的方程 ，计算判别式 ：
① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x =x =−
1 2 2a
② 时，求根 ；
③ 时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型一 不含参数不等式
【例1】 的解集为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】因为 时，解得 或 ，
所以 的解集为 或 .故选：B.
【例题2】不等式 的解集是（ ）
A．R B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】由题意得所求 ，令 ，为开口向上的抛物线，
，
所以 恒成立，
所以 不成立，故 的解集为 .故选：B【例题3】求下列不等式的解集：
（1） ； （2） ； （3） ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1） ，解得：
不等式解集为： .
（2） ，整理得： ，即
解得： ，不等式解集为： .
（3） ，整理得：
，故不等式再实数范围内无解
不等式解集为： .
题型二： 解含参数不等式
【例1】解关于 的不等式：
【解析】方程 的解为 ， ，
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【例题2】解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】关于x的不等式 ，可化为
（1）当 时， ，解得 ．
（2）当 ，所以
所以方程 的两根为-1和 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 或 }，当 ，即 时，不等式的解集为 ．
当 ，即 时，不等式的解集为 或 }．
（3）当 时，
因为方程 的两根为—1和 ，
又因为 ，所以 ．
即不等式 的解集是 ，
综上所述：当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为 或
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为 或 }.
【例题3】设关于x的一元二次不等式 与 的解集分别为
与 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的解集为 ，
则 的解集为R.
的解集为 ，
则 的解集为 ，
转化为
所以不等式 的解集为 .故选：B.
题型三： 参数不等式参数范围问题【例1】关于 的不等式 的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】因不等式 的解集为空集，
则当 时， 不成立，因此， 满足题意，
当 时，必有 ，解得 ，
综上得 ，所以实数k的取值范围是： .故选：A
【例题2 】已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集
是（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ．故选：B
【例题3】若关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式 ，即 ，
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是4，5，6，故 ；
当 时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是0，1，2，故 ；
故实数m的取值范围为 ．故选：C
题型四 一元二次不等式恒成立问题以及存在使成立问题【例1】已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，该不等式为 ，成立；
当 时，要满足关于 的不等式 对任意 恒成立，
只需 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ，故选：A.
【例题2】若不等式 在 上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为 ，所以不等式 化为 ，
又 在 上单调递减，所以当 时， 有最小值 ．所以a的取值范
围是 ．故选：B．
一、单选题
1．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式 的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（ 1，1） D．[1，+∞）
3．不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4．关于x的方程 恰有一根在区间 内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．{ 或 } C． D． 或10．已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 ，如果不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数 的定义域为区间[m，n]，其中 ，若f（x）的值域为[-4，4]，则
的取值范围是（ ）
A．[4，4 ] B．[2 ，8 ] C．[4，8 ] D．[4 ，8]
15．若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
16．已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列结论中，正确结论的序号是
（ ）
A． B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为 或 D．
17．已知 ，关于x的不等式 的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知关于x的不等式 的解集为 ，则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
19．若不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．关于 的不等式 解集为 D．关于 的不等式 解集为
20．已知关于x的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是
（ ）A． B．
C． D．
21．下列结论错误的是（ ）
A．若函数 对应的方程没有根，则不等式 的解集为R；
B．不等式 在R上恒成立的条件是 且 ；
C．若关于x的不等式 的解集为R，则 ；
D．不等式 的解为 .
三、填空题
22．若关于x的一元二次不等式 对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
23．关于x的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为___________.
24．方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是_____．
25．若函数 在 上的最小值为 ．则 ____．
26．如果关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为
_______.
