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7.3 二次函数与一元二次方程、不等式
思维导图
知识点总结
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x，x(x＜x)
1 2 1 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅
(a＞0)的解集
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔典型例题分析
考向一 一元二次不等式的解法
【例】已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是( )
A. B.∪
C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
【变式】(2019·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
【方法技巧】
1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论
思想的应用.
【变式】(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
.考向二 一元二次不等式的恒成立问题（在实数 R 上恒成立）
【例】若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
【方法技巧】在R上的恒成立问题
解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，
不要忽略a＝0时的情况．
【变式】若不等式x2－kx＋1>0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___________．
考向三
一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）
【例】若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a
min
恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max考向四 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立
问题）
【例】(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
【变式】设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x，x∈，总有|
1 2
f(x)－f(x)|≤4，则m的取值范围为( )
1 2
A．[4,6] B．(4,6)
C．(4,6] D．[4,6)
【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题
1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴
上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最
值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范
围，谁就是参数.
基础题型训练
一、单选题
1．一元二次不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．2．不等式 的解集为 ，则函数y的图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式 对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若 ，满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式 的解集
A． B． C． D．
6．若关于 的方程 有两个不同的正根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列四个不等式中解集为R的是（ ）
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2 x＋ ＞0
C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞08．若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
9．若方程 有唯一的实数根3，则不等式 的解集为______．
10．函数 的最大值为___________．
11．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________.
12．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是______．
四、解答题
13．解不等式:
14．已知不等式 的解集为 或
(1)求 ， 的值；
(2)解不等式 ．
15．已知全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 的取值范围；
（2）当 时，求 的取值范围.
16．已知不等式 与不等式 的解集相同．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．提升题型训练
一、单选题
1．已知集合 ， ， ，0，1，2， ，则 （ ）
A． B． ，1，
C． ，0， D． ， ，0，1，
2．已知函数 ， ，若对于任意 ，均有 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 、 是不全为零的实数，则关于 的方程 的根的情况为．
A．有两个负根 B．有两个正根
C．有两个异号的实根 D．无实根
5．函数 在区间 上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题7．若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
8．若不等式 的解集是 的子集，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数 ， 的最大值为______.
10．定义新运算“ ”，满足对任意的 ，有 ．若对 ， 恒成立，
则实数m的取值范围是______．
11．已知 ， ，则 的取值范围为__________.
12．若关于x的一元二次方程 的两根分别是 与 ，则式子 的值是______．
四、解答题
13．已知方程 的两根为 与 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
14．已知 ，其中 ， .
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
15．若不等式 的解集是 .
（1）求不等式 的解集；
（2）已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
16．已知关于x的不等式： ＜1．
（1）当a=1时，解该不等式；
（2）当a＞0时，解该不等式．
