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专题 7.3 求数列的通项公式
题型一 观察法
题型二 周期数列
题型三 累加法
题型四 累乘法
题型五 待定系数法
题型六 取倒数法、取对数法
题型七 已知 求通项公式
题型八 已知 或者 求通项公式
题型九 因式分解型求通项
题型一 观察法
例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列
各数：
(1) ；
(2) ；
(3)7，77，777，7777.
例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆
球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰
在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”
垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角
锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列1，0， ， 与数列 ， ，0，1是相同的数列
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为
D．数列 ，…的一个通项公式为
练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列 为1， ，9， ，25，
，…，则数列 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列 满足 ， ， ，写出
满足条件的 的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在
沙滩上研究数学问题：把 叫做三角形数；把 叫做正方形数，则下列各
数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列 ， ， ， ， ，…，则该
数列的第100项为（ ）
A． B． C． D．
题型二 周期数列
例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列 中，已知 ，
当 时， 是 的个位数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列 满足： ，
， ，记数列 的前n项和为 ，则 ______．
练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数
列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，即 ， ，且 .则洛卡斯数列 的第
项除以 的余数是（ ）
A． B． C． D．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则
_______.
练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．4
题型三 累加法
例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，求通项公式
．例6．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， .求 的通项
公式.
练习11．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列 满足： ， ，数列
是以4为公差的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 的值．
练习12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，
15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行
都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个
三角形数是______.
练习13．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ，
，则数列 的通项公式为______．
练习14．（2023春·江苏南京·高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列 中，
， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
练习15．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列 的各项均
不为零，且满足 ， （ ， ），则 的通项公式__________．
题型四 累乘法
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的
通项公式为___________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)若 ，求 的通项公式．
(2)若 ，求 的通项公式．
练习16．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市兼善中学校考阶段练习）已知数列 的前 项
和为 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求数列 的通项公式．
练习17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知向量 ， ，
，则 ______， ______．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 中， ， ， ，
则 ______， ______．
练习19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .练习20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
题型五 待定系数法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an} 满足a = 1，an = 3an + 1.求{an}的通
1 +1
项公式.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
练习21．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列
{an}的通项公式为___________.
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列
的通项公式为_____________.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数
列 的通项公式为_____________.
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 且 ，
则数列 的通项公式为_____________.
练习25．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足： ， （ ），
数列 满足： ．求数列 的通项公式．题型六 取倒数法、取对数法
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求
的通项公式.
例12．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列 满足
，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为递增数列
D． 的前n项和
练习26．（2023春·高三课时练习）数列 中， ， ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 为等比数列
C．数列 为等比数列
D．数列 为等差数列
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且
(1)求数列 的通项公式
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
练习28．（2022秋·湖南娄底·高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）已知数列满足 ， ，则下列结论中错误的有（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前 项和为
练习29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 .
练习30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列 满足 ，
， ， ．
(1)当 时，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
题型七 已知 求通项公式
例13．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若 ，且
，则 __________.
例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设 求数列 的前n项和.
练习31．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列 的前 项和为 ，数列 是首
项为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习32．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若 ，求数列 前 项和 ．
练习33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是一个等差数列；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ．
练习34．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，
已知 ， 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 前 项和 ，证明： .
练习35．（2023·山西吕梁·统考三模）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
题型八 已知 或者 求通项公式
例15．（2023·四川凉山·三模）数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
______．例16．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
练习36．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列 中， ，
，则 _____ .
练习37．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
（ 且 ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
练习38．（2023·云南·校联考二模）正项数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求出 ， ；
(2)若 ，求数列 的前2023项和 ．
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
，设 （ 表示不超过 的最大整数），则数列 的前2023
项和 （ ）
A． B． C． D．练习40．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，已知 ，
，则 ______
题型九 因式分解型求通项
例17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，已知
，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
例18．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列 的前 和为
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 各项均为正数且满足
，数列 满足 ，且 ．求 的通项公
式.
练习42．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知
递增数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
练习43．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在数列 中，
，且 递增，则 ___________．练习44．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足
.求 的通项公式；
练习45．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列 ， ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
