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专题 03 函数、方程及不等式的应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 函数、方程及不等式的应用
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 坐标方法的简单应用
题型02 从函数图象上获取信息
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
类型二 列二元一次方程组
类型三 二元一次方程组与实际问题
题型04 分式方程的实际应用
类型一 列分式方程
类型二 分式方程与实际问题
题型05 不等式（组）的实际应用
题型06 一元二次方程的实际应用
题型07 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
类型二 最大利润问题
类型三 几何问题
类型四 分配问题
类型五 其它问题
题型08 反比例函数与实际问题
题型09 二次函数与实际问题
类型一 销售问题
类型二 拱桥问题
类型三 图形问题
类型四 图形运动问题
类型五 投球问题
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答
题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一
函数、方程
张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问
及不等式的
题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元
应用
二次方程的实际应用，解不等式(组)的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相
关应用题等.
考点一 函数、方程及不等式的应用
题型01 坐标方法的简单应用
利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：
1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:
2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;
3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.
用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：
有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置
解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点
的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这
个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，
4），则教学楼的坐标是（ ）
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A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
2．（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走
6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
3．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置
表述正确的是（ ）
A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
题型02 从函数图象上获取信息
从函数图象中获取信息的方法
(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及
其取值范围是什么:
(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数
时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.
(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小
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值，进而求出函数的取值范围,
(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，
下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.
1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车
离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生
一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，
正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，小亮家､报亭､羽毛
球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y
与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相
等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分
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钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到
出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
5．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注
水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实
1 2
线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水
池内均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B． C． D．
题型03 实际问题与一次方程（组）
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1）审题：弄清题意；
2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列
出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
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与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
根据题目提供的配 关键：理解题目中提供的
配套问题
套比列方程 配套方式.
工作总量=工作时间×工
作效率 多个工作效率不同
工作时间=工作总量÷工 的对象所完成的工 在工程问题中，一般将工
工程问题
作效率 作量的和等于工作 作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工 总量
作时间
利润=售价-进价（成本）
总利润=单件利润×销售
商品打几折就是按照原价
利润问题 量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价
×100%
先根据已知条件得到方
程，再根据未知数之间的
方案选择/分段计费问题 由题可知
关系得到多种方案，选择
最优方案进行解题
有关图形的周长、面积公 关键：明确有关图形的性
几何问题 由题可知
式 质和周长、面积公式
圆柱体体积= 底面积x高
几何问题
= Πr2h (r为底面圆半
径，h为高) 原材料体积=成品
等积变形问题
长方体体积= 长x宽x高 体积
= abc (a为长，b为宽，
c为高)
全路程=甲走的路 相向而行，注意出发时
相遇问题
程+乙走的路程 间、地点
追及问题 路程=速度×时间
前者走的路程=追
（同地不同时 速度=路程÷时间
者走的路程
出发） 时间=路程÷速度
同向而行，注意出发时
行程问题 间、地点
追及问题 前者走的路程+两
（同时不同地 地间距离=追者走
出发） 的路程
顺水速度=静水速度+水流
速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流 不变
速度
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类型一 一元一次方程与实际问题
1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知
道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长
木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
1 1
A． (x+4.5)=x−1 B． (x+4.5)=x+1
2 2
1 1
C． (x−4.5)=x+1 D． (x−4.5)=x−1
2 2
2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，
还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程
正确的是（ ）
1 1 x+1
A．x+ =100 B．3x+1=100 C．x+ x=100 D． =100
3 3 3
3．（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持
不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之
和y(m)与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进
甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔
的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按
单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，
那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
5．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
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活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一
件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算
周期设定了如下表的三个气量阶梯：
销售价
阶梯 年用气量 备注
格
第一 0∼400m3（含400） 2.67元
阶梯 的部分 /m3
第二 400∼1200m3（含 3.15元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量
阶梯 1200）的部分 /m3 的上限分别增加100m3、200m3．
第三 3.63元
1200m3以上的部分
阶梯 /m3
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3 (x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函
数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户
比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
类型二 列二元一次方程组
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，
音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒
多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
2．（2023·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有
黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．
两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每
枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
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A．¿B．¿
C．¿D．¿
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．
某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面
积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的
面积为y公顷，可列方程组为( )
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
4．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出
7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：
．
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张
卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可
以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以
做成包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
2．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品
盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的
世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚
集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计
划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需
要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每
个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将
该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队
施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安
排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
4．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节
前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
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(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本
忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m
个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为
(80−4m)包，(4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果
售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
(1)求A、B两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商
品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相
同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
6．（2023·湖北恩施·统考中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学
生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女
装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
2
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购
3
买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
题型04 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
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1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
类型一 列分式方程
1．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都
可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、
乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的
速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确
的是（ ）
x 1.2x 1.2x x 400 800 800 400
A． − =4 B． − =4 C． − =4 D． − =4
800 400 800 400 1.2x x 1.2x x
2．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙
工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．
若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
9 12 1 12 9 1 9 12 1 12 9 1
A． − = B． − = C． − = D． − =
x x+1 2 x+1 x 2 x+1 x 2 x x+1 2
3．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，
y 、y 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知
1 2
燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用
为x元，则可列方程为（ ）
25 10 25 10 25 10 25 10
A． = B． = C． = D． =
x 3x−0.1 x 3x+0.1 3x+0.1 x 3x−0.1 x
4．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，
出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车
的速度，设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（ ）
120 120 120 120 120 120 120 120
A． +1= B． −1= C． = D． =
x 1.5x x 1.5x 1.5x x−1 1.5x x+1
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类型二 分式方程与实际问题
1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，
不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行
走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
2．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、
20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉
面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求
购买牛肉面多少份？
3．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，
某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽
子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，
节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
4．（2023·山东烟台·统考中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、
《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算
3
经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
4
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量
不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分
别购买多少本时费用最少？
5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是
中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了
解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进
乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
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若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利
润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
题型05 不等式（组）的实际应用
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关
系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为
6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式
6x≤50.
1．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器
人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200
元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?
最少花费是多少元?
2．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20
棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过
5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
3．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，
则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方
案？
(3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
4．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、
乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
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甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要
470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范
围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
题型06 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二
次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或
降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量
关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、
利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
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3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面
积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)
(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为
(a−x)(b−x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还
是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为 1，每一个传染源传
染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
1
∴m = n（n－1）
2
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染
中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+(1+x)=36 B．2(1+x)=36
C．1+x+x(1+x)=36 D．1+x+x2=36
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2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断
增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020
年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．20(1+2x)=31.2 B．20(1+2x)−20=31.2
C．20(1+x) 2=31.2 D．20(1+x) 2−20=31.2
3．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m)，面积为s(m2)．
现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s(m2)，则s的值是
．
4．（2022·山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重
要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后
按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ．
5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）
围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
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题型07 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案.
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
5）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
6）当需要利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法：
①直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小；
②在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小；
③利用函数的增减性，比较数的大小.
类型一 行程问题
1．（2023·山东聊城·统考中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹
乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所
示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
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A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，
乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x
（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，
一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此
2
时与出租车相距120km，货车继续出发 h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比
3
货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结
合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
4．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥
步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离
学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
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(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄
妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
类型二 最大利润问题
1．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.
经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果
的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如
何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本
科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不
变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买
50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．
按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
3．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是
2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店
选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5
个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪
容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购
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进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
类型三 几何问题
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y＝﹣
1 2
x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与
最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
1
2．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将
2
Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为( )
4√5 5√2 6√5
A． B．√5 C． D．
5 3 5
3．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点
C(−2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，
F的坐标分别为（ ）
( 5 3)
A．E − , ，F(0,2) B．E(−2,2)，F(0,2)
2 2
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( 5 3) ( 2) ( 2)
C．E − , ，F 0, D．E(−2,2)，F 0,
2 2 3 3
4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位
长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两
者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
类型四 分配问题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20
棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树
苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
2．（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”
的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育
活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需
248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2
倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
3．（2023·四川·统考中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 78 200 0.25 免费
B 108 500 0.19 免费
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(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计
费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
类型五 其它问题
1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的
金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始
前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直
到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t(s)时，滑块左端离点A的距离为l (m)，右端离点B的距
1
离为l (m)，记d=l −l ,d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t=4.5s和5.5s时，与之
2 1 2
对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请
你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若d=18，求t的值．
2．（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易
杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m +m)⋅l=M⋅(a+ y).
0
其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水
0
平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m =10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为
0
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50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）
与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
2
每件售价x/万元 … 24 28 30 32 …
6
4
月销售量y/件 … 52 44 40 36 …
8
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比
三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润
ω（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
4．（2023·山东潍坊·统考中考真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做
对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分
别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
k
(1)从y=ax+21(a≠0)，y= (k≠0)，y=−0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景
x
下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥
作用的时间更长？
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题型08 反比例函数与实际问题
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、
丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，
其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛
中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加
压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如
图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
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3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，
同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
4．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果
显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即
整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）
的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3
天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
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(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数
表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
题型09 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题.
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题.
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题.
【注意】自变量的取决范围.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
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出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．
类型一 销售问题
1．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，
日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销
售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x（元/kg）
之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售
利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新
型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、
设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图所示（图
中ABC为一折线）．
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(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
1
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m= x+1来描述，求
10
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格×销售数量）
类型二 拱桥问题
1．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计
了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水
平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3，点B在抛物线上，点B到对称轴
的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA,PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你
帮小星找到点P的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y=−x2+2bx+b−1(b>0)，当4≤x≤6时，函
数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
2．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门
的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方
案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，点N'在x轴上，P'E' ⊥O'N'，
O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架
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ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为
1
S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
3．（2021·贵州贵阳·统考中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA
可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA
在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
类型三 图形问题
1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖
场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，
已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
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(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB
在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进
行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
3．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2，
P
3在抛物线AED上．设点
P 1的横坐标为m(0
