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专题 03 函数、方程及不等式的应用
目 录
题型01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
题型02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
类型二 方案选择问题
类型三 商品利润问题
类型四 行程问题
类型五 销售盈亏问题
类型六 工程问题
类型七 几何问题
类型八 工程问题
类型九 古代问题
类型十 抛物线问题
类型十一 实验问题
类型十二 动态问题
（时间：60分钟）
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题型 01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球
的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程
5000 4000
=2× ，则方程中x表示（ ）
x 30+x
A．篮球的数量 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．足球的单价
【答案】D
5000 4000 5000
【分析】根据购买足球的数量是篮球的2倍和方程 =2× ，可得 表示购买足球的数量，从
x 30+x x
而得到答案．
5000 4000
【详解】解：∵购买足球的数量是篮球的2倍，且所列方程为 =2× ，
x 30+x
5000 4000
∴ 表示购买足球的数量， 表示购买篮球的数量，
x 30+x
∴x表示足球的单价．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是将方程与题目中的等量关系对应．
2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意
为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，
共有y人，则所列方程正确的是（ ）
隔壁听得客分银，
不知人数不知银，
七两分之多四两，
九两分之少半斤．
《算法统宗》
注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成
语
x+4 x−8
A． = B．7 y−4=9 y+8
7 9
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x−4 x+8
C． = D．7 y+4=9 y−8
9 7
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于
x（或y)的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
x−4 x+8
∴7 y+4=9 y−8或 = ．
7 9
故选：D
3．（2023·广西贵港·统考三模）小明、小华两人练习跑步，如果小华先跑10m，则小明跑6s就可追上他；
如果小华先跑2s，则小明跑4s就可追上他，若设小明的速度为xm/s，小华的速度为ym/s，则下列符
合题意的方程组是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
根据“如果小华先跑10m，则小明跑6s就可追上他；如果小华先跑2s，则小明跑4s就可追上他”，即可
得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：¿，
即¿，
故选：D．
4．（2023·广东肇庆·统考三模）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为
300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量
是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y
（g），则可列出方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题中等量关系列出方程组并化简即可．
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【详解】解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，含脂肪y(g)，根据题意得：
¿，
即¿，
故选：D．
5．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）某市用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，
某市高架路上共22km的路程，利用城市大数据后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提
速前车辆平均通过速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
22 22 22 22 1
A． − =5 B． − =
x (1+15%)x x (1+15%)x 12
22(1+15%) 22 22(1+15%) 22 1
C． − =5 D． − =
x x x x 12
【答案】B
【分析】设提速前车辆平均通过速度为xkm/h，则设提速后车辆平均通过速度为(1+15%)xkm/h，然后根
据时间=路程÷速度结合提速后节省时间5分钟列出方程即可．
【详解】解：设提速前车辆平均通过速度为xkm/h，则设提速后车辆平均通过速度为(1+15%)xkm/h，
22 22 5 1
由题意得， − = = ，
x (1+15%)x 60 12
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨
8:00进入沙漠，并于8:20在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到8:35时正好经过枯树看
到了标记，已知两支小队在距离出发点4704m的位置相遇，设第一小队的平均速度是vm/s，则符合题意
的方程是（ ）
4704 1200v 4704 900v
A． =4704÷ +1200 B． =4704÷ +1200
v 900 v 1200
4704 1200v 4704 900v
C． =4704÷ +900 D． =4704÷ +900
v 900 v 1200
【答案】A
20×60×v 1200v
【分析】根据题意可求第二小队的速度为 = m/s，再根据两队的时间差为20min即
15×60 900
1200s列分式方程即可．
1200v
【详解】解；设第一小队的平均速度是vm/s，则第二小队的速度为 m/s，
900
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4704 1200v
由题意可得： =4704÷ +1200，
v 900
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，明确题意，找出数量关系是解题的关键．
7．（2023·安徽·模拟预测）随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒a元下降到b
元．设平均下降率为x，则a，b，x满足的关系式为（ ）
A．a=b(1+x) 2 B．b=a(1−x) 2 C．a=b(1+2x) D．b=a(1−2x)
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均下降率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可
求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均下降率为x，依题意得：b=a(1−x) 2，
故选：B．
8．（2023·广西玉林·统考一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田
积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽
的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
60−x 60+x
A．(60−x)x=864 B． ⋅ =864
2 2
C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30−x)=864
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意
得到宽与长是关键．
【详解】解：设长为x步，根据题意得，
(60−x)x=864．
故选：A．
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题型 02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
9．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回
1
到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车 h后，继续按原速驶向乙地，两
4
车距甲地的路程ykm与慢车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲乙两地相距______km，快车行驶的速度是______ km/h，图中括号内的数值是______ ；
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式；
(3)慢车出发多长时间，两车相距120km
【答案】(1)400，100，7
(2)快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为y=−100x+400
10 14
(3)慢车出发1小时或 小时或 小时，两车相距120km
3 3
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题关键是能够从图象中获取正确的信息．
（1）根据图象可知：甲乙两地的距离为400米，由速度公式求出速度和时间；
（2）观察图象和（1）的结果求出B(3,400)和A(7,0)，再用待定系数法求出解析式；
（3）先求出慢车的速度，分三种情况讨论，根据路程差为120千米，设慢车出发x小时与快车相距120千
米，列出方程，求出x即可．
【详解】（1）解：由图象可知：甲乙两地相距400km，快车行驶的速度为(400−100)÷3=100km/h，
括号内数值为400÷100+3=7小时，
故答案为：400，100，7；
（2）由图象可知：B(3,400)和A(7,0)，
设直线BA的函数解析式为：y=kx+b，
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把B(3,400)和A(7,0)代入y=kx+b得：¿，
解之得¿，
∴快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为y=−100x+400；
（3）由图象可知：快车比慢车早出发1小时，
400−100×(4−3)
=80
∴慢车的速度为： 1 千米/小时，
4−
4
设慢车出发x小时与快车相距120千米，
①快车从甲地开往乙地，由题意得：100(x+1)=80x+120，
解之得：x=1，
( 1)
②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得：100(x+1)−400+120+80 x− =400，
4
10
解之得：x= ，
3
( 1)
③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得：100(x+1)−400+80 x− −120=400，
4
14
解之得：x= ，
3
10 14
综上可知慢车出发1小时或 小时或 小时，两车相距120km．
3 3
10．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了
一个问题情境．
已知小强家、书店、健身馆依次在同一条直线上，健身馆距小强家2km，书店距小强家1km．周末小强从
健身馆运动后，匀速步行20min到达家门口时，突然想起忘记买书，于是立即赶往书店，匀速步行8min
到达书店，停留了6min购书，又匀速步行10min后再次返回家中．给出的图象反映了这个过程中小强离家
的距离y（km）与离开健身馆后的时间x（min）之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填表：
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离开健身馆的时间/ 2
10 20 25 32
min 8
离家的距离/km 0 1
(2)填空：
①书店到健身馆的距离为______km；
②小强从家到书店的速度为______km/min；
③小强从书店返回家的速度为______km/min；
④当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为_____min．
(3)当20≤x≤44时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②0.125；③1；④12或26.4或36
(3)y=¿
2
【分析】（1）由题意知，当04时，y与x的关系式为y=15x−15，然后分别求出当1≤x≤4时和当x>4时，月销售
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额不超过90万元的月份，即可得到答案．
k
【详解】（1）解：设当1≤x≤4时，y与x的关系式为y= ，
x
k
把点(1,180)代入得180= ，
1
∴k=180，
180
∴当1≤x≤2时，y与x的关系式为y= ，
x
180
∴当x=4时，y= =45，
4
180
∴当1≤x≤4时，y与x的关系式为y= ，4月份的销售额为45万元；
x
（2）解：设当x>4时，y与x的关系式为y=k x+b，
1
把点(4,45)和点(5,60)代入得¿，
∴¿，
∴当x>4时，y与x的关系式为y=15x−15，
180
当1≤x≤4时，令y=90，则90= ，
x
∴x=2，
180
当x=3时，y= =60，
3
∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；
当x>4时，令y=90，解得x=7，
∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．
13．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其
10
中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的
x
一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲
同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
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(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的
顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
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1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二
次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
14．（2023·内蒙古包头·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬
菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关
系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段（即：当
10≤x≤24时，大棚内的温度y（℃）是时间x（h）的反比例函数），已知点A坐标为(0,10)．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)当0≤x≤5时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
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(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大橱内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使
蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y=2x+10(0≤x<5)
(2)20℃
(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）观察图像可得；
（3）代入临界值y=10即可．
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y=k x+b(k ≠0)
1 1
∵线段AB过点(0,10),(2,14)代入得¿，
解得¿，
∴AB解析式为：y=2x+10(0≤x<5)；
（2）∵AB解析式为：y=2x+10(0≤x<5)，
当x=5时，y=2x+10=20，
∴恒温系统设定恒温为20℃；
k
（3）设双曲线CD解析式为：y= 2(k ≠0)，
x 2
∵C(10,20)，
∴k =200，
2
200
∴双曲线CD解析式为：y= (10≤x≤24)，
x
200
把y=10代入y= 中，解得：x=20，
x
∴ 20−10=10，
∴恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数，解题的关键是明确题意，注意临界点的应用．
类型二 方案选择问题
15．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“后疫情时代”经济复苏，越来越多的人选择在假期外出旅游，五
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一假期为旅游旺季，深圳某景区为方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批
户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的
0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800
个座位．求如何安排购买方案最节省费用、最低费用是多少元．
【答案】(1)弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元
(2)购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元
【分析】（1）设弧形椅的单价是x元，则条形椅的单价是0.75x，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用
4800元购买条形椅的数量多10张”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅(200−m)张，根据“保证至少增加800个座位”列出不等式，解
不等式即可得到m的取值范围，设购买休闲椅所花的费用为w元，求出w关于m的表达式，根据一次函数的
性质进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设弧形椅的单价是x元，则条形椅的单价是0.75x，
8000 4800
根据题意得： = +10，
x 0.75x
解得：x=160，
经检验，x=160是原分式方程的解，且符合题意，
∴0.75x=0.75×160=120，
∴弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）解：设购进弧形椅m张，则购进条形椅(200−m)张，
根据题意得：5m+3(200−m)≥800，
解得：m≥100，
设购买休闲椅所花的费用为w元，
则w=160m+120(200−m)=40m+24000，
∵40>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=100时，w有最小值，w =40×100+24000=4000+24000=28000，
最小
∴购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点，
理解题意，找准等量关系，是解此题的关键．
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16．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒200盒，共花费了
17800元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：
甲规
类别 乙规格
格
进价(元) 75 110
售价(元) 108 158
(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？
(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共50盒，而此次投入不超过5000元，为使得
获利最大，应如何进货．
【答案】(1)该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒
(2)进货方案为：甲礼品盒15盒，乙礼品盒的数量35盒
【分析】（1）首先根据题意设出未知数，再找到等量关系：①甲、乙两种礼品盒共200盒，②75×甲礼品
盒的数量+110×乙礼品盒的数量=共花费了17800元，然后解方程组可得到甲乙两种礼品盒各买了多少盒．
（2）再购进甲礼品盒a盒，则购进乙礼品盒(50−a)盒，甲礼品盒的花费+乙礼品盒的花费≤5000，进而
求出进货方案．
【详解】（1）解：设购进甲规格的礼品盒x盒，乙规格的礼品盒y盒，
根据题意得：¿，
解得¿，
答：该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒．
（2）设再购进甲礼品盒a盒，根据题意得：75a+110(50−a)≤5000，
−35a≤−500，
100
a≥ ，
7
利润w=33a+48(50−a)=−15a+2400，
∵w随着a的增大而减小，
∴当a=15时，w最大，此时w=2175元．
即进货方案为：甲礼品盒15盒，乙礼品盒的数量35盒，
【点睛】此题主要考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据不等式的性质以及一
次函数的增减性是解决问题的关键．
17．（2023·浙江温州·校联考二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量
（单位：GB），y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于x的关系如图所示：
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A套 B套 C套
餐 餐 餐
每月基本流量服务费
30 50 80
（元）
包月流量（GB） 5 10 20
超出后每GB收费（元） 10 10 5
x>5 A y
A
(1)当 时，求 套餐费用 的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种
方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 小红妈妈： 套餐
（填A、B、C （填A、B、C 总流量
） ）
消耗流
GB GB GB
量
【答案】(1)y =10x −20(x >5)
A A A
(2)x>13GB
(3)C，24；B，10；34
【分析】（1）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出A套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出B套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过80元
时，C套餐的费用划算，代入B套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
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套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【详解】（1）解：由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =30+(x −5)×10=10x −20(x >5)，
A A A A
当x>5时，A套餐费用y 的函数表达式y =10x −20(x >5)；
A A A A
（2）由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =50+(x −10)×10=10x −50(x>10)，
B B B
y =80+(x −20)×5=5x −20(x>20)，
C C C
由图可知，当月基本费用超过80元时，选择C套餐合适，
∴80=10x −50，解得：x =13GB，
B B
∴当x>13GB时，选择C套餐较为划算；
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择A套餐流量为5GB，两人的基本费用为80+30=110元，超出
的40元在C套餐中购买流量可以买的更多，即40÷5=8GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+8=28GB，花费120元，小红妈妈选择A套餐流量为5GB，花费
30元，总流量为28+5=33GB；
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择B套餐流量为10GB，基本费用为80+50=130元，超出的20
元在C套餐中购买流量可以买的更多，即20÷5=4GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+4=24GB，花费100元，小红妈妈选择B套餐流量为10GB，花
费50元，总流量为24+10=34GB；
∴小红爸爸选择C套餐，消耗流量24GB，小红妈妈选择B套餐消耗流量10GB，总流量为34GB．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形
结合的思想．
18．（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系
节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全
市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型
垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类 占地面积 可供使用幢 造价（万元）
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型 数
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的
数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可
以近似的表示为：y=¿，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A
型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【答案】(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数
量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关
系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进
而求解．
【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：¿，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
y
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为 （元/吨），
x
y 1 1 1
当0≤x＜144时， ＝ （ x3﹣80x2+5040x）＝ x2﹣80x+5040，
x x 3 3
1 y
∵ >0，故 有最小值，
3 x
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−80
b y
当x＝﹣ ＝﹣ 1＝120（吨）时， 的最小值为240（元/吨），
2a 2× x
3
y 1 72000
当144≤x＜300时， ＝ （10x+72000）＝10+ ，
x x x
y y
当x＝300（吨）时， ＝250，即 ＞250（元/吨），
x x
∵240＜250，
y
故当x＝120吨时， 的最小值为240元/吨，
x
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
9×1 1
∴每个A型处理点每月处理量＝ ×120× ≈5.4（吨），
9×1+11×1.2 9
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件
与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
19．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支
助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，
销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【答案】(1)y =0.4x，y =0.2x+0.3；
1 2
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
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（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y =0.4x，
1
在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 的图象成一条直线，
2
设y =kx+b，则¿，
2
解得¿，
∴y =0.2x+0.3．
2
（2）当y = y ，则0.4x=0.2x+0.3，
1 2
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当
进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.2
(
20−
1 m2)
+0.3，
2
即w=−0.1m2+0.4m+4.3 =−0.1(m−2) 2+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，
求出解析式．
20．（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工
厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为
y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关
系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
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(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙城
甲A 甲B
把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40件，
乙A 乙B
B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
1
【答案】(1)a= ，b=1，k=3；
4
(2)当甲城生产4件，乙城生产46件时，总成本最小；
(3)当n=2时，总运费最小值为64万元；当n<2时，总运费最小值为(4n+56)万元；当n>2时，总运费最
小值为64万元．
( 5)
【分析】（1）根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和 1, 代入解析式即可求解；
4
1
（2）由（1）可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)，化简后根据二
4
次函数的最值判断即可；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据
题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果；
【详解】（1）∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
( 5)
将(2,3)和 1, 代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得¿，
4
②×4−①得：b=1，
1
代入①中得a= ，
4
∴¿，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
1
∴a= ，b=1，k=3；
4
1
（2）由（1）可得，甲：y= x2+x，乙：y=3x，
4
1 1 1
设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)= x2−2x+150= (x−4) 2+146，
4 4 4
∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
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50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：¿，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m，
=mn−2m+64，
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题当
中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
类型三 商品利润问题
21．（2024·陕西西安·交大附中分校校考一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水
果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进
价比甲种水果多2元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲
种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元
(2)水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元
【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本
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题的关键．
（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函
数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，
求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．
【详解】（1）解：设甲、乙两种水果的进价分别是x元和y元．
根据题意，得¿，
解得¿，
∴甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．
（2）解：设购进甲水果m千克，那么购进乙水果(300−m)千克，
m≥2(300−m)，
解得m≥200，
根据题意，售完这两种水果获得的总利润w=(6−4)m+(9−6)(300−m)=−m+900，
∵−1<0，
∴w随m的减小而增大，
∴当m=200时，w最大，此时w=−200+900=700，
300−200=100（千克），
∴水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．
22．（2023·河南周口·统考二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁
班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副
“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．
(1)分别求这两种玩具的单价；
(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于
70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？
【答案】(1)每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元
(2)购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元
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【分析】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，列方程组可解得每副“九连环”40元，每副
“鲁班锁”80元；
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，由两种益智玩具的
总数量不少于70副，可得x+(2x+10)≥70，x≥20，而w=80x+40(2x+10)=160x+400，由一次函
数的性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
【详解】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，
根据题意得¿，
解得¿，
∴每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元．
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，
∵两种益智玩具的总数量不少于70副，
∴x+(2x+10)≥70，
解得x≥20，
根据题意得：w=80x+40(2x+10)=160x+400，
∵160>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取最小值，最小值为160×20+400=3600(元)；
此时2x+10=2×20+10=50，
∴购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元．
23．（2023·广东阳江·统考二模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a a+5
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超
过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水
笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水
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笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意
找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的
增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔2m支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得
11
n=125+ m，根据n−m−2m>0，推出m<60，再结合m、n均为正整数，得出当m=48时，n取得最
12
大值，此时n=169，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
400 800
= ，
a a+5
解得，a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a+5=10，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
2000−5x
w=2x+3× =0.5x+600，
10
∵k=0.5>0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
2000−5x
∴x≤ ×4，
10
2
解得x≤266 ，
3
∵x为整数，
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2000−5x
∴当x=266时，w取得最大值，此时w=733， =67，
10
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔2m支，一共购进n支水笔，
5m+10×2m+12(n−m−2m)=1500，
化简，得
11
n=125+ m，
12
∵n−m−2m>0，
11
∴125+ m−m−2m>0，
12
∴m<60，
∵m、n均为正整数，
∴当m=48时，n取得最大值，此时n=169，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
24．（2024·福建南平·统考一模）某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28
件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．
(1)当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？
(2)商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？
【答案】(1)当涨价3元或7元时，单日利润为154元
(2)当涨价5元时获得最大利润，为162元
【分析】（1）设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，根据利润列出方程，解方程即可得到答
案；
（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，根据题意得到W关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性
质进行解答即可．
此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数和方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，
则(19−15+x)(28−2x)=154，
解得：x =3，x =7，
1 2
答：当涨价3元或7元时，单日利润为154元.
（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，
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W =(a+4)(28−2a)=−2(a−5) 2+162
∵−2<0，抛物线开口向下，
所以当a=5时，W =162，
最大
答: 当涨价5元时获得最大利润，为162元.
25．（2023·江苏南通·统考二模）某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的
日销售价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得
高于45元)．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是
多少？
(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
【答案】(1)y=¿
(2)当销售单价x为37或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为1224元
(3)结合函数图象可得35≤x≤40
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用；
（1）设y=kx+b,分两种情况用待定系数法可得答案；
（2）设销售利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出w的最大
值，即可得到答案；
（3）结合（2）可得−4(x−37.5) 2+1225≥1200，即可解得x的范围．
【详解】（1）解：设y=kx+b,
当20≤x≤30时，把(20,200)，(30,100)代入得：
¿
解得¿，
∴y=−10x+400；
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当301.6时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当x=2时，w有最大值，最大值=−80×4+256×2+528=720（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
27．（2022·安徽合肥·校考二模）已知某商品的进价为每件10元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理
出该商品在第x（1≤x≤30）天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 1≤x<15 15≤x≤30
1 300
日销售单价（元/千克） 20+ x 10+
2 x
日销售量（千克） 40−x
(1)第几天该商品的销售单价是25元？
(2)在这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)第10天或20天该商品的销售单价是25元
(2)在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元
【分析】（1）根据该商品的销售单价是25元，可求出x的值，此题得解；
（2）设每天获得的利润为y元，分1≤x<15及15≤x≤30两种情况找出y关于x的函数关系式，再利用二
次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当1≤x<15及15≤x≤30时y的最大值，比较后即可得出结论．
1
【详解】（1）解：当20+ x=25时，x=10；
2
300
当10+ =25时，x=20，
x
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：第10天或20天该商品的销售单价是25元；
（2）设每天获得的利润为y元，
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1 1
当1≤x<15时，y=(20+ x−10)(40−x)=− x2+10x+400，
2 2
1
即y=− (x−10) 2+450，
2
1
∵− <0，
2
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为450；
300 12000
当15≤x≤30时，y=(10+ −10)(40−x)= −300，
x x
∵12000>0，
∴y随x的增大而减小，
12000
∴当x=15时，y取得最大值，最大值= −300=500，
15
∵450<500，
∴在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分1≤x<15及15≤x≤30两种情况，找出y关于x
的函数关系式是解题的关键．
类型四 行程问题
28．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还
要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它
的刹车性能进行测试，开始刹车后的行驶速度v（单位：m/s）、行驶距离y（单位：m）随刹车时间t（单
位：s）变化的数据，整理得下表．
刹车时间t/s 0 1 2 3 4
行驶速度v/m/s 30 24 18 12 6
行驶距离y/m 0 27 48 53 72
行驶速度v与刹车时间t之间成一次函数关系，行驶距离y与刹车时间t之间成二次函数关系．
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)当汽车刹车后行驶距离为63m时，求它此时的行驶速度．
(3)若汽车发现正前方40米有一辆卡车一直以10m/s的速度匀速行驶，汽车立即刹车，问汽车在刹车过程中
会不会追尾卡车？请说明理由．
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【答案】(1)v=−6t+30，y=−3t2+30t
(2)12m/s
(3)不会追尾，见解析
【分析】（1）用待定系数法可得v=−6t+30；y=−3t2+30t；
（2）在y=−3t2+30t中，令y=63得t=3或t=7，当t=3时，v=−6×3+30=12，当t=7时，
v=−6×7+30=−12（舍去），即可知当汽车刹车后行驶距离为63m时，它此时的行驶速度是12m/s；
（3）在v=−6t+30中，令v=0得t=5，可得：y=−3×25+30×5=75，因75<40+5×10，故汽车在
刹车过程中不会追尾卡车．
【详解】（1）解：设v=kt+b，
∴¿，
解得¿，
∴v=−6t+30；
设y=at2+b't+c，
∴¿，
解得¿，
∴y=−3t2+30t；
（2）在y=−3t2+30t中，令y=63得63=−3t2+30t，
解得t=3或t=7，
当t=3时，v=−6×3+30=12，
当t=7时，v=−6×7+30=−12（舍去），
∴当汽车刹车后行驶距离为63m时，它此时的行驶速度是12m/s；
（3）在v=−6t+30中，令v=0得t=5，
把t=5代入y=−3t2+30t得：y=−3×25+30×5=75，
∵75<40+5×10，
∴汽车在刹车过程中不会追尾卡车．
【点睛】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出解析式．
29．（2023·浙江杭州·校考二模）一辆汽车从甲地前往乙地，若以100km/hkm/h的平均速度行驶，则3h
后到达，
(1)该车原路返回时，求平均速度v（km/h）与时间t（h）之间的函数关系式．
(2)已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天11点至13点间（含11点与13点）返回甲地，求平均速度v（km/h）的取值范围．
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②若该车最高限速为120km/h，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
300
【答案】(1)v=
t
(2)①60≤v≤100；②不能在当天10点前返回甲地，理由见解析
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）①根据题意，结合（1）即可解决问题；
300
②将t=2，代入v= ，得v=150>120千米/小时，超速了．进而可以解决问题．
t
【详解】（1）∵路程＝vt=100×3=300km
300
∴v关于t的函数表达式为：v= ；
t
（2）①8点至11点时间长为3小时，8点至13点时间长为5小时，
300
将t=3代入v= ，得v=100．
t
300
将t=5代入v= ，得v=60．
t
∴汽车平均速度v（km/h）的取值范围为：60≤v≤100；
②不能在当天10点前返回甲地．理由如下：
∵8点至10点时间长为2小时，
300
将t=2，代入v= ，
t
得v=150>120千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天10点前返回甲地．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是掌握路程＝速度×时间．
类型五 销售盈亏问题
30．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着
琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用1580元购进了折扇
和团扇共100把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
种类价格 折扇 团扇
进价（元/把） 13 20
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标价（元/把） 30 40
(1)折扇和团扇各购进了多少把？
(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利1240元，已知折扇按标价的九折出售，
则团扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇购进了60把，团扇购进了40把
(2)团扇的折扣是七五折
【分析】（1）设折扇购进了x把，团扇购进了y把，根据“店铺老板用1580元购进了折扇和团扇共100
把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组¿，解二元一次方程组即可；
（2）设团扇的折扣是m折，根据“全部售出后，该店铺共获利1240元”，折扇购进了60把，团扇购进了
40把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程
( m )
(30×0.9−13)×60+ 40× −20 ×40=1240，解一元一次方程即可．
10
【详解】（1）解：设折扇购进了x把，团扇购进了y把，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：折扇购进了60把，团扇购进了40把；
（2）解：设团扇的折扣是m折，
( m )
根据题意得：(30×0.9−13)×60+ 40× −20 ×40=1240，
10
解得：m=7.5．
答：团扇的折扣是七五折．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．
31．（2023·山西大同·校联考模拟预测）某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲
品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌
服装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少；
(2)在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价25%销
售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共
获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出．
【答案】(1)甲种品牌服装每套进价是80元，乙种品牌服装每套进价是50元
(2)有20套甲品牌服装打九折售出
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【分析】（1）设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是(x−30)元，根据用4800
元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设有y套甲品牌服装打九折售出，则有(60−y)套甲品牌服装原价销售，根据这两种品牌的服装全部
售完后共获利润2200元，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是(x−30)元，
4800 2000
由题意得： = ×1.5，
x x−30
解得：x=80，
经检验：x=80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x−30=80−30=50，
答：甲种品牌服装每套的进价是80元，乙种品牌服装每套的进价是50元；
4800 2000
（2）解：由（1）可知，甲品牌服装有 =60（套)，乙品牌服装有 =40（套)，
80 50
设有y套甲品牌服装打九折售出，则有(60−y)套甲品牌服装原价销售，
由题意得：80×40+80×(1+25%)(60−y)+80×(1+25%)×0.9 y−2000−4800=2200，
解得：y=20，
答：有20套甲品牌服装打九折售出．
【点睛】本题考查了分式方程的应用原价一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
32．（2023·广东·校联考模拟预测）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准
备购进A，B两种型号的兔子挂件．已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A
型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48
元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购
进多少件？
【答案】(1)A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元
(2)A型号兔子挂件至少要购进21件
【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，根据购进A型号
兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，列出方程，解方程即可；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，根据两种挂件利润之和超过310
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元列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，
3x+4(x−15)=220，解得x=40，
∴x−15=40−15=25，
答：A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，
则(48−40)m+(30−25)(50−m)>310，解得m>20，
答：A型号兔子挂件至少要购进21件．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
类型六 工程问题
33．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)m的值为10
【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，
30x+30(2x+30)=3600，
解得：x=30，
则2x+30=90，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
30(30+m+25)+(90−3m)(30+m)=3600+750，
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整理得，m2−10m=0，
解得：m =10，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
34．（2022·重庆·重庆市第七中学校校考一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长
5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完
成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工
成本为12万．
6
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
1
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
6
2
少挖 a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值．
9
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
6
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
5
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
1 2
天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 a米，即可得出关于a的一元二次方程，
6 9
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
6
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
5
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
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( 1 ) ( 2 )
（2）依题意，得：(10+a) 5+ a +12 5− a =12×5+10×5+(7a−12) ，
6 9
整理，得：a2−18a+72=0，
解得：a =12，a =6，
1 2
当a =12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
1
∵182＞150，
∴a =12不符合题意舍去；
1
当a =6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
2
∵140＜150，
∴a =6符合题意；
2
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
35．（2020·福建厦门·校考模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：
生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下
称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，
所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低
了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
1
【答案】（1）n=0.3；（2）m= ，60家
2
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等
式，从而求出答案；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．
【详解】解：(1)由题意可得：40n=12，
解得n=0.3；
(2)由题意可得：40+40(m+1)+40(m+1) 2=190，
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1 7
解得：m = ，m =− （舍去），
1 2 2 2
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40(1+m)=40(1+50%)=60（家）．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根
据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．
类型七 几何问题
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）用28米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形．
(1)当垂直于墙的一边比另一边少7米时，求长方形的面积．
(2)按表中列出的数据要求，填写表格．
观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？
垂直于墙的一边比另一边少(m) 1 4 7 10 13
___ ___
长方形的面积 ____ ____ ____
_ _
【答案】(1)98(m2)
(2)见解析，会，98(m2)
【分析】（1）设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，根据三边长为28，且垂直于墙的一边比另一
边少7米，列出关于x、y的方程组，即可求得面积
（2）根据题意完成表格，设长方形的面积为S，可得S=−2(x−7) 2+98，即可得到结果
【详解】（1）设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，且垂直于墙的一边比另一边少7米，
∴¿
解得：¿
∴xy=98，
答：长方形的面积为98(m2)
（2）完成表格如下：
垂直于墙的一边比另一边少(m) 1 4 7 10 13
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长方形的面积 90 96 98 96 90
设长方形的面积为S，
则：S=xy
=x(28−2x)
=−2x2+28x
=−2(x−7) 2+98
∴当x=7时，长方形的面积取得最大值，最大值为98(m2)
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，根据长宽之间的关系列出方程组和函数
解析式是解题的关键
37．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利
用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成
两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；
(2)求矩形养殖场的总面积最大值为多少．
【答案】(1)BD长度为2m；
140
(2)矩形养殖场的总面积最大值为
m2
．
3
24−x−2x
【分析】1）设BD=x m，根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为 =(8−x)m，可得
3
(x+2x)×(8−x)=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
13
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得010不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：BD长度为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为10m，
10
∴018，函数关系式为y=−400x+10400(1818，即函数关系式为y=−400x+10400(1810W时，即 >10，解得00且k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊
PB
数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连
接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
OC OP
第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即 = ，构造母子型相似△OCP∽△OPB（图
OP OB
2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,2)，点
(3 )
B ,0 ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
2
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(1)PA+2PB的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
【答案】(1)2√10
6+9√6 18−3√6
(2)P( , )
10 10
BP OP 1
【分析】（1）在x轴上取点H(6,0)，连接AH，根据相似三角形的判定和性质得出 = = ，结合
HP OH 2
图形得出当点P在AH上时，PA+2PB=PA+HP=AH取得最小值，再由勾股定理求解即可；
1
（2）设直线AH的解析式为y=kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，设P(x,− x+2)，然后利用勾
3
股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，在x轴上取点H(6,0)，连接AH，
(3 )
∵点A(0,2)，点B ,0 ，
2
3
∴AO=2,OB= ,OH=6，
2
3
∵OB 2 1 OP 3，
= = = =
OP 3 2 OH 6
∠BOP=∠POH，
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∴△BOP∽△POH，
BP OP 1
∴ = = ，
HP OH 2
∴HP=2BP，
∴PA+2PB=PA+HP，
当点P在AH上时，PA+2PB=PA+HP=AH取得最小值，
∴AH=√22+62=2√10，
故最小值为2√10；
（2）∵A(0,2)，H(6,0)，
∴设直线AH的解析式为y=kx+b，将点代入得：
¿，解得¿，
1
∴y=− x+2，
3
1
设P(x,− x+2)，
3
∵⊙O半径为3，
1 2
∴x2+(− x+2) =9，
3
6+9√6
解得：x= （负值舍去），
10
18−3√6
∴y= ，
10
6+9√6 18−3√6
∴P( , ) ．
10 10
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作
出相应辅助线是解题关键．
64．（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不
k
与A，B重合），过点F的反比例函数y= (x>0)的图象与BC边交于点E．
x
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(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
3 (3 )
【答案】(1)y= ，E ,2
x 2
3
(2)k=3时，S 最大为
△CEF 4
【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；
（2）易得E (k ,2 ) ，F ( 3, k) ，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到S ==− 1 (k−3) 2+ 3 ，利
2 3 △EFC 12 4
用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3，2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3，1)，
k
∵点F在反比例函数y= (k>0)的图象上，
3
∴k=3，
3
∴该函数的解析式为y= (x>0)，
x
3
把y=2代入y= 中，
x
3
得x= ，
2
(3 )
∴E ,2 ；
2
(k ) ( k)
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E ,2 ，F 3, ，
2 3
1 1 ( 1 ) 1
∴S = BF⋅CE= × 2− k × k
△EFC 2 2 3 2
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1 1
= k− k2
2 12
1 3
=− (k−3) 2+ ，
12 4
∵在边AB上，不与A，B重合，
k
∴0< <2，则00)的一部分，椅面BD是一条
x
线段，点B(20,32)，沙发腿DE⊥x轴、BC与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：
（1）k＝ ；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF=4cm，DE=40cm，tanα=4，tanD=5．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 cm3（精确到万位，并用科学
记数法表示）．
【答案】 640 (8,80) 2.5×105
【分析】（1）通过待定系数法可直接求出k的值；
（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，通过tanα=4可求出CM=8
640
cm，当x=8时，y= =80，即可求得A点的坐标，通过tanD=5求出BN=40cm，即可求出FE，从而
8
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求出体积．
【详解】解：（1）∵B(20,32)，
k
∴32= ，
20
∴k=640，
故答案为：640；
（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，
BM
①∵tanα=4，tanα= ，BM=32，
CM
∴CM=8cm，
∵OM=20，FC=4,
∴OF=OM−CM−FC=20−4−8=8cm，
640
∵双曲线y= ，
x
640
∴当x=8时，y= =80，
8
∴A(8,80)，
故答案为：(8,80)；
BN
②∵DN=DE−NE=DE−BM=40−32=8cm，tanD= =5，
DN
BN
∴ =5，
8
∴BN=40cm，
∴FE=BN+FC+CM=40+4+8=52cm，
∴包装箱的体积至少为60×AF×FE=60×80×52=249600cm3，
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采用科学记数法，且精确到万位得2.5×105 cm3，
故答案为：2.5×105．
【点睛】本题考查反比例函数和直角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数和直角三角函数
的相关知识．
三、解答题
9．（2023·广西贵港·统考二模）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，
已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生
(2)①方案1：租小客车2辆，大客车8辆；方案2：租小客车6辆，大客车5辆；方案3：租小客车10辆，
大客车2辆．②最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用：
（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车和1辆大客车每
次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再
解即可；
（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=380，然后求出整数解即可；②根据①所
得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元分别计算出租金即可．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：¿，
解得：¿.
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）解：①依题意得：30m+40n=380，
38−3m
∴n= ，
4
又∵m，n均为整数，
∴¿或¿或¿，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
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方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8=2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5=2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2=2600（元）．
∵2800>2700>2600，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
10．（2023·山东泰安·统考三模）某校为美化校园，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两
个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍，并且甲队独立完成
500m2绿化面积比乙队独立完成550m2的绿化面积少用6天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，乙队为0.3万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，
至少应安排甲队工作多步天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2
(2)至少应安排甲队工作20天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
列出关于x的分式方程；（2）根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不
超过10万元，列出关于y的一元一次不等式．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据甲队独
立完成500m2绿化面积比乙队独立完成550m2的绿化面积少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之并检
验后，即可得出结论；
2000−100 y
（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作 =40−2y天，根据总费用=需付给甲队总费
50
用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即
可得出y的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
550 500
根据题意得： − =6，
x 2x
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴2x=100，
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答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2．
2000−100 y
（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作 =40−2y天，
50
根据题意得：0.5 y+0.3(40−2y)≤10，
解得：y≥20，
答：至少应安排甲队工作20天．
11．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，一阵拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距
离水面的高度为4m，现在以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线顶点P的坐标是______，并求抛物线的表达式．
(2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______．
(3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过?
1
【答案】(1)P(6,4)，y=− (x−6) 2+4
9
1
(2)y= (x−6) 2−4
9
(3)货船不能顺利通过此桥洞，理由见解析
【分析】（1）根据题目中给出的拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距离水面的高度为4m，先确定顶点
坐标；再结合所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把x=3代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：因为拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距离水面的高度为4m，
又∵以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴P(6,4)，
故答案为：P(6,4)；
根据题意设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+4，
把A(12,0)代入解析式得：36a+4=0，
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1
解得：a=− ，
9
1
∴函数表达式为y=− (x−6) 2+4；
9
（2）解：∵抛物线在水面中的倒影与抛物线关于x轴对称，
∴倒影所在抛物线开口向上且顶点为(6，−4)，
1
∴倒影所在抛物线函数表达式为y= (x−6) 2−4；
9
1
故答案为：y= (x−6) 2−4；
9
（3）解：货船不能顺利通过此桥洞，理由如下：
因为船宽6米，当船行驶到拱桥中心时，离对称轴左右各3米，
又因为抛物线对称轴为直线x=6 ，
所以由题意得：把x=3代入表达式，得：
1
y=− (3−6) 2+4=3<3.2，
9
∴ 货船不能顺利通过此桥洞．
【点睛】本题考查二次函数的应用，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民
分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产
和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量y （单
产量
位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即y =200x−100；而市场需求量y （单位：
产量 需求
吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如下表．
售价x（元/千克） … 2 3 4 5 …
需求量y 102 98
需求 … 1020 900 …
（吨） 0 0
同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，
1 3
其函数解析式分别为x=t+1，z= t2+ ．
8 2
(1)直接写出市场需求量y 关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
需求
(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
(3)供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售
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全部特产获得的总利润．
【答案】(1)y =−20x2+100x+900
需求
3
(2)四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为 （元/千克）
2
(3)1.35×106（元）
【分析】（1）根据表中的数据运用待定系数法即可解答；
（2）根据每千克获利=售价x −成本z即可解答；
（3）根据y = y 列出一元二次方程，解之即可．
产量 需求
【详解】（1）解：设y =ax2+bx+c，
需求
将(2,1020)，(3,1020)，(4,980)代入得：
¿，
解得：¿，
∴y =−20x2+100x+900，
需求
经检验，表内数据符合该解析式，
∴市场需求量y 关于售价x的函数解析式为y =−20x2+100x+900；
需求 需求
（2）解：设每千克获利为w（元/千克），
则w=x−z=(t+1)−
(1
t2+
3)
8 2
1 1
=− t2+t−
8 2
1 3
=− (t−4) 2+ ，
8 2
3
∴当t=4时，w有最大值，最大值为 ，
2
3
∴四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为 （元/千克）；
2
（3）解：令y = y ，即200x−100=−20x2+100x+900，
产量 需求
解得：x=5或−10（舍去），
此时x=t+1=5，y = y =900，
产量 需求
∴t=4，
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1 3 7
∴z= t2+ = ，
8 2 2
∴此时出售全部特产获得的总利润为900× ( 5− 7) ×1000=1350000=1.35×106 （元）．
2
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，二次函数的应用等知识点，解题的关键是
熟练掌握以上知识点并厘清题中的等量关系．
13．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为α的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的
1
距离AB为2m,tanα= ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端C处安装了一个喷头D，喷头D
3
到地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，其中喷出水珠的竖直高度为y
（单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位：m）．
(1)求抛物线的表达式．
(2)斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗．
4
(3)若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头D的水平距离s(m)应在什么范
3
围内？
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+2
8 2
(2)从喷头D喷出的水珠能越过这棵树苗
10
(3)21+1，
8 8
∴从喷头D喷出的水珠能越过这棵树苗；
（3）解：如图过BC上一点H作BC垂线交AC于点G，
1 1 1 1 4
设CH=s，则BH=6−s，HG= s，由题意可得− (6−s) 2+ (6−s)+2> s+
3 8 2 3 3
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化简得3s2−16s+20<0，
10
因式分解得(3s−10)(s−2)<0，解得2
