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第 13 讲 二次函数的图象与性质
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次函数的相关概念
题型01 判断函数类型
题型02 判断二次函数
题型03 已知二次函数的概念求参数值
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
类型二 顶点式
类型三 交点式
考点二 二次函数的图象与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 将二次函数的一般式化为顶点式
题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
题型04 利用五点法绘二次函数图象
题型05 二次函数平移变换问题
题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴
题型07 根据二次函数的对称性求函数值
题型08 根据二次函数的性质求最值
题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围
题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
题型01 根据二次函数图象判断式子符号
题型02 二次函数图象与各项系数符号
题型03 二次函数、一次函数综合
题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
题型05 两个二次函数图象综合
考点四 二次函数与方程、不等式
题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标
题型02 求二次函数与坐标轴交点个数
题型03 抛物线与x轴交点问题
题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型05 图象法确定一元二次方程的近似根
题型06 求x轴与抛物线的截线长
题型07 图象法解一元二次不等式
题型08 根据交点确定不等式的解集
题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
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考点要求 新课标要求 命题预测
二次函数的相关 通过对实际问题的分析，体会
概念 二次函数的意义.
二次函数作为初中三大函数中考点最多，
能画二次函数的图象，通过图 出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中
象了解二次函数的性质，知道二次函数 考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分
二次函数的图象 系数与图象形状和对称轴的关系. 值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.
与性质 会求二次函数的最大值或最小 而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集
中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与
值，并能确定相应自变量的值，能解决
方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等
相应的实际问题.
几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练
二次函数与各项 理解二次函数与各项系数的关
掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考
系数的关系 系.
点的复习.
知道二次函数和一元二次方程
二次函数与方
之间的关系，会利用二次函数的图象求
程、不等式
一元二次方程的近似解.
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考点一 二次函数的相关概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x
是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；
2）自变量的最高次数是2；
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3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常
数，a≠0），顶点坐标是（h， 用顶点式求其表达式.
k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，若
1 2 1 2
题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式
求其表达式.
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a≠0）
题型01 判断函数类型
【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动
至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周
长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
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A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【变式1-1】（2021上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，
动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，
点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为
y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．
计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记
PM=xm，PN= ym，图中阴影部分的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变
化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
题型02 判断二次函数
【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．y=(2x−1) 2−4x2 .
a b
C． y= + +c(a≠0) D．y=(x−1)(x−2)
x2 x
【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
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1
A．y=x+ B．y=ax2+bx+c C．y=3(x−1) 2 D．y=3x
3
【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数y=(a−b)x2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0
判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、
合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次
函数.
题型03 已知二次函数的概念求参数值
【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m的值等于（
）
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与
y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
x −1 0 1 3
y −1 3 5 3
①ac<0
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③4是方程ax2+(b−2)x+c+9=0的一个根；
④当−10
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x
与函数值y的部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … 1 m −2 −2 n …
1
且当x=− 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程
2
20
ax²+bx+c=1的两个根，③00,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
性
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
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向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
三、二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
四、二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
x
a>0 4ac−b2
O 数取得最小值
4a
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全体实数 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
a<0 4ac−b2
x 数取得最大值
4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y2
y
2
x
4ac−b2
数取得最小值
x O x 4a
1 2
当x=x1时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y1
y
1
x 4ac−b2
x1≤x≤x2 a>0 x x 数取得最小值
1 2 4a
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
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备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
y
y
y
x
1 x
x
O x x 1 x
2
x O x O x
1 2 2
y
1
y y
y 2 2
1
y
2
y
1
1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小)
是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式 y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循
“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
【例1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的
是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若A(−6,y )，B(−3,y )，C(1,y )为二次函数y=x2−m
1 2 3
图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 1时，
y>0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
1
【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线y=a(x−h) 2+k（a、h、k是常数，a<0，0y ．其中正确
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
的结论是 （填写序号）．
【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式M=a2−2a，下列关于整式M的值的结论：
①M的值可能为4；
②当a>1时，M的值随a的增大而增大；
③当a为小于0的实数时，M的值大于0；
④不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
题型02 将二次函数的一般式化为顶点式
【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数y=x2+4x−7化为y=a(x+h) 2+k的形式，正确的是（
）
A．y=(x+4) 2−7 B．y=(x+2) 2−11
C．y=(x+2) 2−7 D．y=(x+2) 2−15
【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数
y=−x2+2x+2的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为 1 B．最小值为 2 C．最大值为 3 D．最大值为−1
【变式2-2】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象
上，则b的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值
范围是 ．
【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数y=−x2+4x−3．
(1)用配方法将函数y=−x2+4x−3的解析式化为y=a(x+m) 2+k的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶
点坐标；
(2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形ADBC
的面积．
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题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例3】（2022·福建龙岩·统考模拟预测）若二次函数y=a2x2+bx−c的图象过不同的六点A(−1,n)，
B(5,n−1)，C(6,n+1)，D(4,y )，E(√2,y )，F(2,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y 0时，函数有最小值
1
D．如果m<0，当x> 时，y随x的增大而减小
2
【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过不同的两点A(2−m,n)，
B(m,n)，下列说法正确的是（ ）
A．若m>2时都有n>c，则a<0
B．若m>1时都有nc，则a>0
D．若m<0时都有n0
【变式3-4】（2022·福建福州·统考一模）已知点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )均在抛物线
1 1 2 2 3 3
a 3
y=− x2+ax+c其中y = a+c．下列说法正确的是（ ）
6 2 2
A．若|x −x |≤|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1
B．若|x −x |≥|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1
C．若y >y ≥ y ，则|x −x |<|x −x |
1 3 2 1 2 2 3
D．若y >y ≥ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3
题型04 利用五点法绘二次函数图象
【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：
(1)请在图中画出函数：y=|x|+4的图像；
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(2)结合图像直接写出方程：|x|+4=−x+6的解为：_______；
(3)在图中画出函数y=x2−2|x|+4的图像，并结合图像直接写出方程：x2−4|x|+3=x+3的解为：
．
【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线y=2x2−4．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出y=2x2−4的图象．
(2)将y=2x2−4的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．
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【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2−2|x|
（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：
(1)作图探究：
①下表是y与x的几组对应值：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 0 −1 0 n 8 …
m=___________，n=___________；
②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
(2)深入思考：
根据所作图象，回答下列问题：
①方程x2−2|x|=0的解是___________；
②如果y=x2−2|x|的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是___________；
(3)延伸思考：
将函数y=x2−2|x|的图象经过怎样的平移可得到y =(x+1) 2−2|x+1|−2的图象？请写出平移过程．
1
题型05 二次函数平移变换问题
【例5】（2022·上海崇明·统考二模）将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新
抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点．
【变式5-1】（2021·浙江宁波·统考一模）将抛物线y=x2−4x+5进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰
好落在坐标轴上的是（ ）
A．向左平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度
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C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式5-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中将抛物线
y=ax2−4ax+4a−4沿y轴平移后的顶点恰好落在了x轴上，则正确的平移方式为（ ）
A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位
C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位
【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线y=−x2+(a+1)x+a(a>1)向下平
移2个单位，所得抛物线顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）将抛物线y=ax2−2ax+1平移，使得平移后的
抛物线与x轴相交于A、B两点，若AB=2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴
【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数y=a(x−h) 2+k(a>0)，其图象过点
A(0，2)，B(8，2)，则h的值应该是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线y=ax2+bx+c经过
(−6，−3)、(4，−3)，那么抛物线的对称轴是 ．
【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，
(3−m,m)，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
题型07 根据二次函数的对称性求函数值
【例7】（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2) 2的对称
轴对称的点的坐标是 ．
【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点P (1,y )，P (3,y )和P (4,y )在抛物线
1 1 2 2 3 3
y=−x2+6x+c的图象上，那y ，y ，y 之间的大小关系是 ．
1 2 3
【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y )和(5,y )，顶点坐标为
1 2
(m,n)，若y >y >n，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．m<−3 B．m<1 C．m>1 D．m>5
【变式7-3】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点A(x ，y )，B(x ，y )在抛物线y=−(x−4) 2+m（m
1 1 2 2
是常数）上．若x <48，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
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A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，下列
选项正确的是( )
A．若对称轴为直线x=1，则a<0 B．若对称轴为直线x=2，则a<0
C．若对称轴为直线x=3，则a<0 D．若对称轴为直线x=4，则a>0
题型08 根据二次函数的性质求最值
【例8】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数y=x2−2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值
b，则a+b的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公
式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p=5,c=2，
2
则此三角形面积的最大值为（ ）
√15
A．√3 B． C．√15 D．5
2
【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值
为n，则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
【变式8-3】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3
时，有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（c为常数）经过点
(p,m)、(q,m)、(4,c)，当1≤q−p<6时，m的取值范围为（ ）
15
A．c− ≤m3
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题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
【例12】（2023·陕西西安·校考一模）已知点A(m，y )、B(m+2，y )、C(x ，y )在二次函数
1 2 0 0
y=ax2+4ax+c(a≠0)的图像上，且C为抛物线的顶点．若y ≥ y >y ，则m的取值范围是（ ）
0 2 1
A．m<−3 B．m>−3 C．m<−2 D．m>−2
【变式12-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−6（a为常数）的图
象与x轴有交点，当x>4时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3 B．−3≤a<4 C．a<4 D．−3≤a≤4
【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线y=ax2−2x+c，当x≤1时，y随x的增大而减小，
则a的取值范围为（ ）
A．−1 C．00 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开
口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下
b=0 坐标轴是y轴
b
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
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x轴的上方 4a-2b+c >0
-2 4a-2b+c
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
x轴的上方 a-b+c >0
-1 a-b+c
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
x轴的上方 a+b+c >0
1 a+b+c
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
x轴的上方 4a+2b+c >0
2 4a+2b+c
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
题型01 根据二次函数图象判断式子符号
【例1】（2023·广东湛江·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的大致
图象如图所示，则下列结论错误的有（ ）个．
b
（1）a<0,b<0,c>0；（2）− =1；（3）a+b+c<0；（4）关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个不
2b
相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点
A(−1，0)，对称轴为x=1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点.下列结论：①abc<0；②
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1
4a+2b+c>0；③3a+b>0；④c<4b；⑤若△ABC是等腰三角形时，a= ，其中结论正确的有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（2022·广东深圳·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下
列4个结论：①abc>0；②b2<4ac；③2c<3b；④a+b>m(am+b)（m≠1），其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b>0，②
c<0，③b2−4ac>0，④a+b+c>0，⑤4a+2b+c>0．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-4】（2023·辽宁鞍山·校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图
象，根据图象判断：①c<0；②a−c>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤2c−5b>0．其中正确的结
论序号是（ ）
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A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤
题型02 二次函数图象与各项系数符号
【例2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=−1，
a−b+c=−3，则下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线与x轴负半轴必有一个交点 B．2a+2b+c>0
C．abc>0 D．当0≤x≤2时，y =3a
最大
【变式2-1】（2022·湖北随州·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变
量x与函数值y的部分对应值如表：
x … −1 0 1 2 …
y … m −2 −2 n …
1 20
且当x=− 时，对应的函数值y>0.有以下结论：①abc>0；②0n+2b；④
2 3
1
P (t−1,y )和P (t+1,y )在该二次函数的图象上，则当实数t> 时，y >y ．其中正确的结论是（ ）
1 1 2 2 2 1 2
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③
【变式2-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）下表按照横坐标由小到大列出了y关于x的二次函数图像上
一些不同的点，图像上任意一点纵坐标均不大于7，下列说法错误的是（ ）
x 0 m 2 n
y=ax2+bx+c c 6 7 6
A．当c>0时，抛物线与坐标轴有3个交点
B．当x=m+n时，y=c
C．若以A(m,6)，B(n,6)，D(2,7)为顶点的三角形为等腰直角三角形，则△ABC周长为2√2+2
D．若直线y=kx+b，经过(4,8)，若b>8，则y=kx+b和y=ax2+bx+c的图像有一个交点
【变式2-3】（2022·湖南株洲·校考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
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1 2
①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac−b2<−4a；④ c．其中正确结论有（ ）
3 3
A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【变式2-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，
a≠0),a+b+c=0，下列结论错误的是（ ）
A．若抛物线经过点(−3,0),则b=2a
B．若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2
C．抛物线与x轴一定有两个不同的公共点
D．点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若0y
1 1 2 2 1 2 1 2
【变式2-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则化简
√a2−2ab+b2−|b+c|−|a−c|= ．
题型03 二次函数、一次函数综合
【例3】（2023·广东河源·统考二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=cx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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【变式3-1】（2012·江苏淮安·统考一模）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数y=ax²+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数
y=ax+b(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
【例4】（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
c
所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数
c
y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
x
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=αx+b和反比例函数
c
y= 的图象如右图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
x
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A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·山东滨州·统考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数
a+2b+4c
y=cx+b2−4ac与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
4x
A． B． C． D．
题型05 两个二次函数图象综合
1
【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1交于点A，分别交y轴
1 2 2
于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确
1 5
结论是： ①a= ；②点（√2，m）、（√33，n）及（ ，p）都在y 上，则p＜n＜m；③y≥y，则x≤1；
2 2 1 1 2
13
④PQ＝ ．
4
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【变式5-1】（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系
1 2
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中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021上·山东青岛·九年级校考期末）已知二次函数y =ax2+bx+c和y =bx2+ax+c，
1 2
a>b，则下列说法正确的是（ ）
A．当x<0时，y y D．当x>1时y 0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
x≠−
2a
的解集情况
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ax2＋bx＋c<0 x10 B． D． 0
时，x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−13
【变式7-2】（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋
b≥0的解集为（ ）
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A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2
题型08 根据交点确定不等式的解集
k
【例8】（2023·山东威海·统考一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线y =ax2+bx+c与双曲线y = 交
1 2 x
于A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )三点，则满足y x 或x x D．xx
a b c a b c
【变式8-1】（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，
b2−4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象如
b
图所示，则下列结论：①a<0 ②bc<0 ③− =1 ④若m的取值范围是10 B．a≤− C．a≤− 或a>0 D．a≥−
3 3 3
m
【变式8-3】（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数y =ax2+bx+c的图像与反比例函数y = 的图
1 2 x
(1 )
像交于A ,3 ，C(−1,−1)，B(1,1)三点．若y >y ，则x的取值范围是（ ）
3 1 2
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A．−11
1 1
C．−1
3 3
题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
【例9】（2023·山东青岛·统考一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们
的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l 、
1
l ，l 、l 之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长
2 1 2
叫做这个三角形的铅垂高；
1
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”．
2
尝试应用：
已知：如图2，点A(−5,3)、B(4,0)、C(0,6)，则△ABC的水平宽为______，铅垂高为______，所以
△ABC的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴
交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，
铅垂高BD=______，△ABC的面积为______．
【变式9-1】（2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线
y=ax2+bx+c交x轴于A(1,0)，B(−3,0)两点，交y轴于点C(0,3)，点M是线段OB上一个动点，过点M
作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
(3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式9-2】（2023上·宁夏石嘴山·九年级校考期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点(−2,5)和(2,−3)，
与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，它的对称轴为直线l，顶点为N
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BN,CN，求△BNC的面积；
(3)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D,E是l上的点．要使以P,D,E为顶点的三角形与
△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
【变式9-3】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图，二次函数y=−x2+bx+c经过点
A(4，0)、B(0，2)，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB
于点E和点F．设点P的横坐标为m．
(1)求二次函数的表达式；
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(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m的值．
(3)点P在线段OA上时，
①连接AE、BE，当△ABE的面积最大时，求点E的坐标；
②若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值；
用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
A
y
h C
B
a
x
O
35
