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第 2 讲 不等式选讲
本讲为高考命题热点，分值10分，极坐标与参数方程跟不等式选讲两个里面选择一个，
极坐标与参数方程常考察直角坐标方程，参数方程，极坐标方程的互化，角度问题，不等
式选讲考察绝对值绝对值不等式与均值不等式证明，需要一定的逻辑推理能力，运算求解.
高频考点一 绝对值不等式性质的应用
【例1】设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.
【例2】 若f(x)＝＋3|x－a|的最小值为4，求a的值.
【方法技巧】
1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.
(3)利用零点分区间法.
2.含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用.
【变式训练】
设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|<1.
(1)解不等式|f(x)|>5；
(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
高频考点二 绝对值不等式恒成立与能成立问题
【例3】(2022·陇南二诊)已知a≠0，函数f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|.
(1)若f(x)<g(x)，求x的取值范围；
(2)若f(x)＋g(x)≥|2×10a－7|对x∈R恒成立，求a的最大值与最小值之和.
【例4】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x＜2；
(2)若存在a∈时，使不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围.
【方法技巧】
求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的
关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
【变式训练】
1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.
2.(1)在例6第(1)问，可作出函数y＝|2x＋2|与y＝1－x的图象，观察、计算边界，
直观求得不等式的解集.
(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.
存在性问题转化方法：f(x)＞a有解⇔f(x) ＞a；f(x)＜a有解⇔f(x) ＜a.
max min
高频考点三 比较法证明不等式
【例5】设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：＜；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
【方法技巧】
比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.
(2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论.
【变式训练】
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________.
高频考点四 综合法证明不等式
【例4】(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
【方法技巧】
1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的
差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.
【变式训练】
1. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
