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第 5 节 函数的基本性质
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题
1．若函数 ，它的最大值为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 表示开口向上，且对称轴为 的抛物线，
要使得当 ，函数的最大值为 ，则满足 且 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选D.
2．定义在 上的函数 满足： ，当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， 的解为 或 ，解得 ，
因为 ，故 的图象关于直线 对称，
故当 时， 的解为 ，
所以 的解集为： .故选：C.
3．对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】不等式 对一切 恒成立，
当 ，即 时， 恒成立，满足题意；
当 时，要使不等式恒成立，
需 ，即有 ，解得 .
综上可得， 的取值范围为 .故选：A.
4．定义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
或 ，
故 或 ，故选：C
5．设定义在 上的奇函数 ，满足对任意的 都有 ，且当
时， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数 为 上的奇函数，满足对任意的 都有 ，
则 ，
，
因此， .故选：C.
6．已知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ．
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以方程 的两个根分别位于区间 和 上，所以 ，即 解得 .故选：A．
7．已知函数 ， 都是 上的奇函数，不等式 与 的解集分别为
， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式 化为： 或 ，
由已知，解 得 ，而 ，于是得 ，
因函数 ， 都是 上的奇函数，解 得 ，即 ，变形
为 ，从而得 ，综上得 或 ，
所以不等式 的解集是 .故选：C
8．已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有
，则满足不等式 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
即x的取值范围是 .故选：A.
9．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.故选：B.
10．已知定义在 上的函数 满足下列三个条件：①当 时，
；② 的图象关于 轴对称；③ ，都有
.则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的图象关于 轴对称，则 ，
故 ，
，
又因为 ，都有 ，所以， ，
所以， ，， ，
因为当 时， ， ，
当且仅当 时，等号成立，且 不恒为零，故函数 在 上为减函数，
因为 ，则 ，故 .
故选：A.
11．已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数，
因为 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，解得
所以不等式 的解集为 故选：A
12．函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意 ， 恒成立，即 恒成立，即知 ．
设 ， ，则 ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故 的取值范围是 ．故选：A.
二、填空题
13．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
【答案】2
【解析】∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.故答案为：2
14．已知函数 的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数 的说法：
① ；
② ；
③ ；
④ ，不等式 的解集为 .
其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)
【答案】①③
【解析】对于①：由图象可得： ，所以 ，故①正确；
对于②： ，且 在 上为单调递增函数，所以 ，
所以 ，故②错误；
对于③：当 时， ， ，满
足图象；
当 时， ， ，斜率 ，满足图
象，故③正确；
对于④：由题意得 的解集为 ，即 的根为 ，根据 解析式可得 ，当 时，令 ，解得 ，所以解集为 ，
故④错误.故答案为：①③
15．若函数 在区间 上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】函数 在 是减函数，在 是增函数，
若函数在区间 是增函数，则 .故答案为：
16．写出一个同时满足①②的函数 ___________.① 是偶函数，②
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，所以 ，故 ，可知函数
的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造 .故答案为：
三、解答题
17．函数 是定义域为 的奇函数.
(1)求 的值，并判断 的单调性（不要求证明）；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求角 的取值范围.
【解析】 (1)因为函数 是定义域为 的奇函数,
所以 ，可得： ，
所以 ，经检验 ，所以 符合题意.
在 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在 上单调递增.
(2)因为 有解，即 ，
整理可得 ，则 ，
，设 ，所以 ，
所以当 即 时， 取得最大值 即 ，所以 .(3)因为 是定义域为 的奇函数，
由 可得 ,
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 或 ，解得： .
18．已知 ．
（Ⅰ）证明： 在[2,+∞)单调递增；
（Ⅱ）解不等式： ．
【解析】（I） x，x∈[2,+∞)，且x＜x，则
1 2 1 2
∀
，
∵x，x∈[2,+∞)，则xx 4＞0，xx＞0， 且x﹣x＜0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ 0，即 ，
∴ 在[2,+∞)单调递增．
（II）由 ，即 ∈[2,+∞)，
∵ 在[2,+∞)单调递增，要使 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴不等式 的解集为 ．
19．若函数
（1）求 的最小值及 取最小值时所对应的 值；
（2）若对于任意 使 恒成立，求实数 的范围．
【解析】（1）令 ，且 ，即 ，对称轴为
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 时，
，此时 ，即 ，所以 的最小值为 ，此时 ；
（2）对于任意 使 恒成立，即 时， ，
令 ，且 ，即 ，对称轴为 ，所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以 时，
，此时 ，即 ，所以 ，故实数 的范围为 .
20．已知定义在 上的函数 ， 满足：① ；② 为奇函数；③
， ；④任意的 ， ， .
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 上的单调性.
【解析】（1）依题意， .
∴
∴ ，
又因为 的定义域为 ，所以函数 为偶函数.
（2）由④知，
，
∵ ， ， ，∴ ，
∴
即 在 上单调递增.
21．对于定义域为D的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：① 在
[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时， 的值域也是[m， ；则称[m，n]是
该函数的“美好区间”.
(1)判断函数 是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不
存在，请说明理由；
(2)已知函数 有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出的最大值.
【解析】 (1)函数 存在美好区间.假设存在美好区间[m，n]，由函数f（x）的定义域为
，∴ n>m>0∵ ∴
由“美好区间”的定义可知：
1）当 时， 在（0， ）上为减函数，
故有 ，即 ，此时实数m，n的值不存在
2）当 时， 在 上为增函数.
故有 ，即 由此可得m，n是方程 的根.
解得 ，而 ，所以此时成立
综上所述，函数 存在美好区间，其中
(2)
设[m，n]是 的美好区间，
则 或 ，.
故函数 在[m，n]上单调递增.
由[m，n]是函数 的“美好区间”，则 ，
故m，n是方程 ，即 的同号的相异实数根.
由 ，可知 同号，只须 ，
即 或 时，函数 有“美好区间”[m，n].此时
由 或 得 故当 即 时，
有最大值
22．已知函数 ， ， .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）若 ， 唯一的 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意 ，
即 ，
因此增区间为 和 ；
（2） ，
设 在 上的值域为 ，则对 ，直线 与函数 的图象在 上
有1个交点，
令 ， ， ，
， ， 时， ，
①当 时， ，
，需 ，即 ，无解；
②当 时， ， ，由勾形函数性质知 时， 在
上递增，
（i）当 时， ， ，
，需 ，即 ，得 ，
∴ ；（ii）当 时， ， ，
，需 ，即 ，得 ，
∴ ；
③当 时， ，
，同（ii）得 ，∴ ；
④当 时， ，
， 在 上单调递增，
需 ，即 ，得 ，∴ ；
综上得∴ .
