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微专题：一元二次不等式的解法
【考点梳理】
1. 一元二次不等式
一元二次不等式
定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，
一般
ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，
形式
其中a，b，c均为常数，a≠0
2. 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.
3. 三个“二次”的对应关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图
象
有两个不相等的实数根x， 没有实数
1
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相等的实数根x＝x＝－
1 2
x(x<x) 根
2 1 2
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 { x | x < x ，或 x > x} R
1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 { x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
4.解一元二次不等式的步骤：
第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合
不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.
【题型归纳】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
1．已知集合 ，若 ，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．记全集 ，设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二： 解含有参数的一元二次不等式
4．关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．(0，1) C． D．(-1，0)
6．设 ：实数 满足 ， ：实数 满足 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
题型三： 由一元二次不等式的解确定参数
7．若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．二次不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 的解集为 ，则 的值为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．2 C．-1 D．-2
【双基达标】
10．不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
11．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
13．不等式 的解集为 ，则函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（ ）
A． B． C． D．
17．已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
18．若函数 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
19．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
21．关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．已知集合 ,下列命题为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
23．关于 的不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为 ，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}
25．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x| ＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（ ）
A．{x| ＜x＜1} B．{ x|x＜ 或x＞ }
C．{x| ＜x＜ } D．{x|x＜ 或x＞1}
27．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 单调递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
28．设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
29．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则
A． B．
C． D．
30．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为（ ）
A． B． 或
C． D．{x|x>2}
31．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（ ）
A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}
C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．已知全集 ，集合 ， （ ）
A． B． C． D．
33．函数 的定义域（ ）
A． B． C． D．
34．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式 m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
二、多选题
35．已知 ，关于 一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则 的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
36．对于给定实数 ，关于 的一元二次不等式 的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
37．已知二次函数 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B．不等式 的解集为
C．若 ，则 在 上的值域为
D．不等式 的解集为
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的解集为
C．
D． 的解集为
三、填空题
39．已知函数 ，则不等式 的解集为____________ ．
40．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为
________________．
41．设 为常数，且 ，若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是
__________.
42．设集合 ， ， ，则集合 的子集个数为______．
43．不等式 的解集为___________.
44．若关于 的不等式 的解集是 ，则 ______.
四、解答题
45．已知集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
46．已知不等式 的解为 或 .
（1）求 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： ，其中 是实数．
47．已知 ： ， : .
(1)当 时，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司48．设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）解不等式 ．
49．（1）解这个关于x的不等式 .
（2）若不等式 对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可
【详解】
，因为 ，故 ，解得
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
解不等式可得集合 与 ，进而可得 .
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案.
【详解】
由题意得集合 ，集合 ，
所以 .
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】
由 得 ，
若 ，则不等式无解．
若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有 个整数解，则此时 个整数解为 ，则
．
若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有 个整数解，则此时 个整数解为 ，则
第 9 页．
综上，满足条件的 的取值范围是
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
不等式 等价于 ，运用二次函数的性质求解即可.
【详解】
不等式 等价于 ，设 ，
显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则 是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
先求出两不等式的解集，然后由 是 的充分不必要条件，可得 ，从而可求出实数 的取值范围
【详解】
由 ，得 ，解得 ，
所以 ： ，
由 ，得 ，
所以 ： ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：B
7．C
【解析】
第 10 页【分析】
依题意 和 是方程 的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出 、 ，再解一元二次不
等式即可.
【详解】
解：因为不等式 的解集是 ，
∴ 和 是方程 的两个实数根，
由 ，解得： ， ，
故不等式 即 ，
即 ，即 ，解得： ，
所以所求不等式的解集是： .
故选：C．
8．B
【解析】
【分析】
由题意得2,3为方程 的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.
【详解】
因为二次不等式，所以 ，
因为不等式 的解集是 ，
所以2,3为方程 的两个根，
所以 ，即
所以 .
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由题知 为方程 的一个根，由韦达定理即可得出答案.
【详解】
因为 的解集为 ，
所以 为方程 的一个根，
所以 ．
故选:B．
第 11 页10．D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：因为 的实数根为 和 ，
所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式 的解集为 .
故选：D
11．B
【解析】
先解一元二次不等式求出集合A，再通过交集的运算，可得到本题答案.
【详解】
由 ，得 ，从而 ， ，
.
故选：B
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
先求出集合AB，进而得到 ，皆可以求出 的子集个数.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
∴ 的子集个数为 个．
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集形式确定 的正负， 的关系，得函数零点，然后确定函数图象．
【详解】
∵不等式 的解集为 ，
∴ ，∴ ，
，图象开口向下，两个零点为 .
第 12 页故选：C.
14．C
【解析】
【分析】
解不等式，再进行交集运算.
【详解】
或
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数 ，确定 ，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】
的解集为 ，则 的两根为 ， ，
∴ ，∴ ， ，则 ，即 ，
，当且仅当 时取“=”，
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
一元二次不等式化为 ≥0，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式2x2+x﹣6≥0可化为
≥0，
解得x≤﹣2或x≥ ，
所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[ ，+∞）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是简单题．
17．D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
第 13 页【详解】
由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础
题目.
18．B
【解析】
【分析】
求导函数 ，解不等式 ，结合定义域即可．
【详解】
函数 的定义域为 ，由 ，得 ．
故选：B．
19．B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，得到集合A,根据集合的交集运算，求得答案.
【详解】
解不等式 得： ，
故 ，
故 ，
故选：B
20．D
【解析】
【分析】
不等式等价于 ，即 ，且 ，由此求得不等式的解集．
【详解】
不等式等价于 ，即 ，且 ，解得 ，
故不等式的解集为 ，
故选：D．
21．A
【解析】
【分析】
第 14 页不等式 的解集是 ，即对于 ， 恒成立，即 ，分 和
两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：不等式 的解集是 ，
即对于 ， 恒成立，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
综上所述 .
故选：A.
22．C
【解析】
求解一元二次不等式，根据集合中元素的情况，即可判断选择.
【详解】
.又 ，
故当 时不一定有 ，故 不正确，即 不正确；
显然其它选项的命题都是真命题.
故选：C.
【点睛】
本题考查含有量词命题真假的判断，涉及一元二次不等式的求解，属综合基础题.
23．D
【解析】
【分析】
由题意可知， 是不等式 解集的一个真子集，然后对 与 的大小关系进行分类讨论，求得不
等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数 的取值范围.
【详解】
由题可知 是不等式 的解集的一个真子集.
第 15 页当 时，不等式 的解集为 ，此时 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
，合乎题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
由题意可得 ，此时 .
综上所述， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
24．C
【解析】
【分析】
本题先根据一元二次方程的两根因式分解，再根据a<0求一元二次不等式的解集即可.
【详解】
解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x
＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x＝－2，x＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2<x<3}，
1 2
故选：C.
【点睛】
本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集，是基础题.
25．A
【解析】
【分析】
先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可.
【详解】
不等式 ，即 ， ，
， ，所以 ；
故选：A．
26．A
【解析】
根据不等式ax2﹣bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＜0中求解集．
【详解】
不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x| ＜x＜2}，
所以 ，2是方程ax2-bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系知 ，解得 ；
所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，
第 16 页解得 ＜x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x| ＜x＜1}．
故选：A．
【点睛】
结论点睛：若一元二次不等式 的解集为 或 ，则 是方程
的两个根.
27．A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性化简 ，由此求得不等式的解集.
【详解】
依题意 是定义在 上的偶函数，且在区间 单调递减，
所以 ，
.
故选：A
28．C
【解析】
【分析】
求出集合 ，再由集合的补运算即可求解.
【详解】
，
，
所以 .
故选：C
29．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，且 ，3为方程 的两根，运用韦达定理可得 ， ， 的关系，可得 的解析式，
计算 ， （1）， （4），比较可得所求大小关系．
【详解】
关于 的不等式 的解集为 ，
可得 ，且 ，3为方程 的两根，
可得 ， ，即 ， ，
第 17 页， ，
可得 ， （1） ， （4） ，
可得 （4） （1），故选 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．
30．B
【解析】
【分析】
先将二次不等式二次项系数化正，再因式分解求解即可
【详解】
解析不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2>0，即 ，
解得 或
故选：B．
31．B
【解析】
【分析】
根据定义可得(x＋2)(x－1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.
【详解】
根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．
故选:B.
32．A
【解析】
解一元二次不等式求得全集 ，由此求得 .
【详解】
由 ，解得 ，所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.
33．C
【解析】
【分析】
解不等式组 得出定义域.
【详解】
，解得
第 18 页即函数 的定义域
故选：C
34．A
【解析】
【分析】
由题意可得 （x+2y）（ ） 4≥4+2 8，不等式 m2+7m成立 m2+7m＜（ ）
⇔
min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴ （x+2y）（ ） 4≥4+2 8．（当 ，即x＝2y 时取等号），
∵不等式 m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
35．ABC
【解析】
【分析】
利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得 求a的范围，即知其可能值.
【详解】
由 开口向上且对称轴为 ，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则 ，解得 ，
∴ 的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
36．AB
【解析】
【分析】
讨论参数 ，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】
由 ，分类讨论 如下：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
第 19 页当 时， ；
当 时， 或 .
故选：AB.
37．ABD
【解析】
【分析】
分析出 且二次函数 的对称轴为直线 ，可判断A选项的正误；利用图象可判断B选项的正误；求出
的值，利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用一元二次方程的解法可判断D选项的正误.
【详解】
由图象可知，二次函数 的图象开口向上，则 ，对称轴为直线 .
对于A选项，函数 在区间 上单调递减，A对；
对于B选项，不等式 的解集为 ，B对；
对于C选项，由图可知 ，则 ，可得 ，
所以， ，
当 时， ，C错；
对于D选项，对于二次方程 ，该方程的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，所以 且 ，
由 得 ，即为 ，解得 ，D对.
故选：ABD.
38．AD
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.
【详解】
因为关于 的不等式 的解集为 或 ，
所以 且方程 的两个根为 ， ，
即 .
因此选项A正确；
第 20 页因为 ， ，所以由 ，因此选项B不正确；
由 可知： ，因此选项C不正确；
因为 ，所以由 ，
解得： ，因此选项D正确，
故选：AD
39．
【解析】
【分析】
由 的单调性可得结果.
【详解】
因为 是 上的增函数，所以 .
故答案为： .
40．
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把 用 表示，化待求式为一元函数，再利用
基本不等式得结论．
【详解】
由不等式解集知 ，由根与系数的关系知
，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为： ．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
41．
【解析】
【分析】
第 21 页把不等式 化为 ，求得 或 ，即可求得不等式的解集.
【详解】
因为 不等式 的解集是 ，
所以不等式 的解是 或 ，
又不等式 ，可化为 ，
可得 或 ，即 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
42．4
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，再结合 得集合 ，从而可求得集合 ， ，再用列举法列出集合
的子集即可.
【详解】
解不等式 得， ，
所以 ，
所以 ， ，
集合 的子集个数为4，列举如下： ， ， ， .
故答案为：4.
43．
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可
【详解】
解：由 ，得 ，
，得 ，
所以不等式的解集为 ，
故答案为：
44．1
【解析】
【分析】
由题意可得 是方程 的两个根，所以 ，从而可求得结果
【详解】
解：因为关于 的不等式 的解集是 ，
第 22 页所以 是方程 的两个根，
所以由根与系数的关系可得 ，得 ，
故答案为：1
45．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别求解集合 ，再求解 的值；
（2）由条件可知 ，利用子集关系，分 和 列式求解实数 的取值范围.
【详解】
解：（1）当 时，
或
（2） ， ，
①当 时， ，此时满足 ；
②当 时，要使 成立，
则需满足 ，
综上，实数 的取值范围是
46．（1） ， ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的解集与方程解之间的关系，可求 ， 的值；
（2）根据不等式对应方程的两根的大小，进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）依题意 ，
（2）原不等式为： ，即
①当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
②当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
③当 ，即 时，原不等式的解集为
47．(1) ；(2) .
【解析】
第 23 页【分析】
(1)将 代入 即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题 和 的解，写出 ，然
后利用充分不必要的特征即可求解.
【详解】
(1)由题意可知， ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ；
(2)由 ，解得 或 ，
由 ，解得 ，
故命题 ： 或 ；命题 ： ，
从而 ： 或 ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 或 或 ，
从而 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
48．（1） ；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别在 和 两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为 ，分别在 ， 和 三种情况下求得结果.
【详解】
（1）由 知： ，
当 时， ，满足题意；
当 时，则 ，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 ．
（2）由 得 ，
即 ，即 ；
当 时，解得： ；当 时，解得 ；当 时，解集为 ．
综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．
49．（1）答案见解析；（2） .
第 24 页【解析】
【分析】
(1)按实数a与1的大小关系分类讨论求解即得；
(2) 时，求出 的最小值得关系a的不等式，求解即可作答.
【详解】
（1）原不等式可化为 ，
时，解不等式得 或 ，
时，不等式恒成立，即 ，
时，解不等式得 或 ，
综上： 时解集为 或 ， 时解集为R， 时解集为 或 ；
（2）因 时， ，当且仅当 时取“=”，
又不等式 对任意实数x恒成立，即有 ，解得 ，
所以实数a的取值范围 .
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