文档内容
第 9 节 简单的线性规化问题
基础知识要夯实
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 的平面区域 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的 公共部 分
2.点P(x ，y)和P(x ，y)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax ＋By ＋C)(Ax ＋By ＋
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax＋By＋C)(Ax＋By＋C)>0.
1 1 2 2
3.线性规划的有关概念
名称 意义
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数 关于x，y的解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，
0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
典型例题剖析
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是( )A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1， )为顶点的三角形区
域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为 ×2× ＝ .
【规律方法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.
2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问
题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可
利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.
【训练1】 (2022·玉溪模拟)已知不等式组 所表示的平面区域为面积等于 的三角形，
则实数k的值为( )
A.－1 B.－ C. D.1
【答案】D
【解析】由题意知k>0，且不等式组 所表示的平面区域如图所示.∵直线y＝kx－1与x轴的交点为 ，
直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为 ，
∴三角形的面积为 × × ＝ ，
解得k＝1或k＝ ，经检验，k＝ 不符合题意，∴k＝1.
考点二 线性规划中的最值问题
角度1 求线性目标函数的最值
【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件 则z＝x＋ y的
最大值是________.
【答案】3
【解析】法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直
线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋ y取得
最大值，故z ＝2＋ ×3＝3.
max法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－
7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知z ＝2＋ ×3＝3.
max
角度2 求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)(2022·济南一模)若变量x，y满足约束条件 则 的最大值为( )
A.1 B.3 C. D.5
【答案】C
【解析】不等式组表示平面区域是以(1，1)， ，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).
表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点 与原点的连线斜率最大，即 的
最大值为 ＝ .
角度3 线性规划中的参数问题【例 2－3】 (2022·西安质检)已知实数 x，y 满足约束条件 若目标函数 z＝y－
ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为( )
A.2 B.1
C.1或2 D.－1
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.
因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a>0.
①当直线y＝ax＋z与直线AC重合，即a＝1时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最大，此时z取得最
大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y＝ax＋z与直线BC重合时，直线y＝ax＋z在y轴
上的截距最小，此时z取得最小值，不符合条件.故a＝1.
【跟踪训练】1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域
的顶点或边界处取得.
2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：
(1) 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离， 表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
【训练2】 (2022·茂名二模)若实数x，y满足条件 则 的最大值为( )A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】作出 的可行域如图，
求 的最大值转化为求x－y的最小值，
令z＝x－y，由图知当直线z＝x－y经过点(0，1)时，z取得最小值，即z ＝0－1＝－1，
min
所以 的最大值为 ＝2.
考点三 实际生活中的线性规划问题
【例3】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料
1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，
生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙
材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
________元.
【答案】216 000
【解析】设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括
边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在
(60，100)处取得最大值，z ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).
max
【规律方法】1.解线性规划应用题的步骤.
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线
性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
【训练3】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需
要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品
需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若
生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A.320千元 B.360千元
C.400千元 D.440千元
【答案】B
【解析】设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，
则 作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直
线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
[思维升华]
1.求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝
－ x＋ ，通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界处取得.
2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.
[易错防范]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距 取最大值时，z也
取最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距
取最小值时，z取最大值.
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】如图画出可行域，由 ，
则 ，当直线 过点 时， 取最大值；
当直线 过点 时， 取最小值.
由题可得 ，所以 故选：B.
2．已知实数 满足条件： ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，
表示可行域内的点与定点 的连线的斜率.解方程组 的 , 的最大值为 故选C.
3．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】根据题意画出图形如图：
①当 时， ，
则问题转化为，当 时，求 的最大值，
当 与直线 相切时， 有最大值，此时，切点为 ，此时， 有最大值5，
②当 时， ，
则问题转化为，当 时，求 的最大值，
当 与直线 相交于 ， 有最大值，
此时，此时， 有最大值4，
综上所述， 的最大值是5故选：A
4．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据实数 ， 满足 ，画出可行域为 （内部及其边界），
其中 ， ， ，
表示坐标原点与可行域内点距离的平方，所以点 与点 距离最大，所以 ，故选：D.
5．若 、 满足线性约束条件 ，则 （ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【答案】D
【解析】如图，根据题意绘出可行域，
令 ， ，则 表示点 与可行域中的点连线的斜率，
联立 ，解得 ， ，
结合图像易知过点 时， 取最大值，此时 ，
同理易知过点 时， 取最小值，此时 ，故选：D.
6．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．2 D．-2
【答案】A【解析】作出不等式组 对应的平面区域，如图所示，
由 的几何意义为区域内的点与点 的斜率，由图可知直线 的斜率最大，
联立 ，解得： ，即 ，
则 ，即 的最大值为2，所以 的最大值为4，
故选：A.
7．在直角 中， 是直角，CA=4，CB=3， 的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图
中阴影区域内的一点(不包含边界)．若 ，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】在 中，CA=4，CB=3，则AB=5，设内切圆半径为r，且 ，
则 ，
以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则 ， .
，令 ，则点P在直线 上(t为截距).
又点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.由图可知，
当 且 时，才满足题意，所以排除选项ACD.故选：B.
8．若实数 满足 则 的最大值为（ ）
A．
B．
C．13
D．
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的可行域如图（阴影部分）：设 ，则当直线 分别过点A,B时，直线在y轴上截距最小和最大，而z取
到最大和最小，
联立 ，解得 ,联立 ，解得 ，
将 代入 中， 取得最大值 ，
将 代入 中， 取得最小值 ，因此 的最大值为13，故选：C.
9．若 、 满足条件 ，当且仅当 ， 时， 取最小值，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：联立 ，解得 ，即点 ，
由题意可知，当直线 过点 时，直线 在 轴上截距最大，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
而直线 的斜率为 ，所以， .故选：C.
10． 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
（ ）
A． 或-1 B．2或 C．2或1 D．2或-1
【答案】D
【解析】由题意，画出约束条件 所表示的平面区域，如图所示，
将 化为 ，则 表示直线 的纵截距，
由目标函数 取得最大值的最优解不唯一，
可得 与 或 平行，所以 或 .故选：D.11．若 满足约束条件 设 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出约束条件 对应的平面区域如图：
由 解得 ，
则 的几何意义为可行域内的动点 与原点 连线的斜率，
由图象可知，当点 位于 时，直线的斜率最大，此时 .故选：A.12．定义域为R的函数 满足：①对任意 ，都有 ；②函数
的图象关于y轴对称.若实数s，t满足 ，则当 时，
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题，由条件①结合单调性定义可知，函数 在 上单调递增，由条件②可知，
函数 向左平移2个单位关于y轴对称则说明 关于 轴对称；
所以 是关于 轴对称，且在 单调递减，在 单调递增的函数；
若实数s，t满足 ，结合图像，则说明横坐标距离 越近，函数值就越小；
所以可得关于实数s，t的不等式 ，两边平方得
所以得：
①或 ②令 ,画出不等式组可行域：联立方程组 得点 ；
，令 ，由此 的范围可看作点A与B，
C两点连线斜率的范围，即 ，所以
所以 故选：A
二、填空题
13．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是______．
【答案】 或
【解析】曲线 表示上半圆， 可以看成动点 与定点 连线的斜率．如图所示．
， ， ，则 ， ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 .14．变量x，y满足约束条件 ，若 的最大值为2，则实数 _________．
【答案】3
【解析】先画 表示的区域，作直线 ，直线 中 表示直线的纵截
距，向上平移直线 时， 增大，作直线 ，分析可知，
当 时， 没有最大值2；
当 时，目标函数对应的直线 过直线 和 的交点
时，取最大值，代入 ，解得 ．故答案为：3．
15．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是__________.
【答案】【解析】根据线性约束条件作出可行域如图所示：
由 可得 ，作直线 沿可行域的方向平移，
可知过点 时， 取得最小值；过点 时， 取得最大值；
由 可得 ，由 可得 ，
所以 ， ，则 的取值范围是 ，
故答案为： .
16．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由 可得
设 ，则 ，即
由 ，即
则 ， 表示直线 在平面直角坐标系 中的纵截距
又 ， 表示平面直角坐标系 中圆在第一象限的部分，如图.平移直
线 使之与圆 在第一象限内有交点.当直线 与圆相切时， ，解得 ( 舍)
由图可知 .故答案为：
三、解答题
17．某公司计划2021年在甲､乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超
过90万元，已知甲､乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能
给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲､乙两个网络平台上的广告时间，才
能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
【解析】设分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为 天，公司的收益为 万元，由题意列式
得 ，目标函数 ，作出不等式表示的可行域如图所示，当目标函数
过点A时，取得最大值，则 ，解得 ，所以 ，
万元，故该公司分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为 天、
天时，公司获得最大收益为 万元.18．设 满足约束条件 .
（1）求目标函数 的取值范围；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.
【答案】（1） （2）a<1
【解析】（1）不等式 表示的可行域，如图阴影部分：
的几何意义是点 与点 连线的斜率，联立方程组可得 ，
观察图像得： ，
又 ，
所以目标函数 的取值范围是 ；
（2）若目标函数 仅在点 处取得最大值，
由 得 ，如图：
可得 ，解得 .
19．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐
含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点 处
出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
（1）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程；
（2）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程.
【解析】（1）若军营所在区域为 ，圆： 的圆心为原点，半径为 ，作图如下：
设将军饮马点为 ，到达营区点为 ， 为 关于直线 的对称点，
因为 ,所以 .
则总路程 ，
要使得路程最短，只需要 最短，
即点 到军营的距离最短，
即点 到 的最短距离，为 ．
（2）若军营所在区域为 ，
对于 ，在x≥0，y≥0时为 令 ,得 ,令 ,则 ,图象为连接点
和 的线段，根据对称性得到 的图象如图所示的菱形， 为这个菱形
的内部(包括边界).
作图如下：由图可知，最短路径为连接 点和 的连线，交直线 于点 ,饮马最佳点为P，所以点
到区域 最短距离 ．即“将军饮马”最短总路程为 .
20．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，
该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格
原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用
料面积最小?并求最小用料面积.
【解析】设需要甲种原料 张，乙种原料 张，则 ，
所用原料的总面积 ．
由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 ， ，即 ，
由 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，
取得最小值为 ．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m2．
21．已知命题P:方程 在区间 和 上各有一个实数根.命题 函数
的值域为R.
(1)若命题P是真命题，求 的取值集合M；
(2)若“ ”是q成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)设 ，则由题知可得函数 在区间 和 上各有一个零点，
故其充要条件为 ，即 ，
作出 的平面区域如图所示的阴影部分：由简单的线性规划知识可知，当 分别取 和 时， 取得最大值和最小
值，
故有
所以集合 ；
(2)命题q为真命题，则不等式 有解，
则有 ，
整理得 ①，
（i）当 时，不等式①得： ，
由“ ”是q成立的充分不必要条件可得： ，解得 ，
（ii）当 时，不等式①得 ，此时“ ”不是q成立的充分不必要条件，故舍去；
（iii）当 时，不等式①得： ，
由“ ”是q成立的充分不必要条件可得： ，解得
综上所述，实数 的取值范围是 .
22．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅
子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、
一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的
利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?
【解析】设每天生产椅子x张，桌子y张，利润总额为p，目标函数为：p＝15x+20y则 作出可行域：
把直线l：3x+4y＝0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p＝15x+20y取最
大值，解方程 得B的坐标为（200，900）．
p＝15×200+20×900＝21000．答：每天应生产桌子900张，椅子200把才能获得最大利润．
