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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 二次函数与幂函数（精讲）
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质及应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值与值域问题
⑤二次函数根的分布与韦达定理
一、必备知识整合
一、幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函
数.
二、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
三、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调递 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 减，在 上单 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点四、二次函数的图像
二次函数 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对
称轴方程为 ，顶点坐标为 .
1.幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2．实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、考点分类精讲
【题型一 幂函数的定义与图像】
若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝
（ ）
A． B．2 C．4 D．
【典例2】（单选题）（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是
（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高一上·广东广州·期中）下图给出 个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④D．① ，② ，④ ，④
2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数在第一象限的大致图象
是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的
曲线（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点 ，则此幂函数的表达式为 .5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于
.
6．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知函数 的图象过点 ，则 .
7．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 ，且 的图像恒过定点P，且P在幂函数
的图像上，则 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数 的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则
（写出一个满足条件的函数即可）.
【题型二 幂函数的性质及应用】
(1)紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注
意 为奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 是幂函数，且函数 的图
象关于 轴对称.
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 成立，求实数 的取值范围.一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·广西·二模）下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·河北石家庄·期中）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（23-24高三上·上海静安·期中）函数 的定义域为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 .若幂函数 为奇函数，且在
上递减，则 .
6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）当 时，幂函数 为单调递减函数，
则 ．
7．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则a
的取值范围是 ．8．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数 ，条件：① 是偶函
数；② 为 上的减函数．则 ．
9．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式 的解集
为 .
【题型三 二次函数单调性问题】
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不
确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同
一单调区间上比较．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数 在 上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·山东济宁·期中）函数 的单调递增区间为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023高三·全国·专题练习）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围可
以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题7．（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内单调，若
的否定为真命题，则 的取值范围是 .
8．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a
的取值范围为 ．
【题型四 二次函数最值与值域问题】
利用动轴定区间和定轴动区间思路分类讨论
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，
“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值
或最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 在区间 上有最大值6，最小值5.则实数m
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河南·期中）若函数 的值域为 ，则实数 的值可能为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的最小值为0，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
4．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且 在区间 上的最大值是 ，则
的值为（ ）
A．3 B． C． D．3或
二、填空题
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知当 时，函数 的最大值为 ，则
的值为
6．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b
变化时，M最小值为 ．
三、解答题
7．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ， .
(1)若 在区间 上最大值为2，求实数 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集.
8．（23-24高一上·北京·期中）函数 ，其中 ．(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，f（x）的最小值为0，求a的值．
【题型五 二次函数根的分布与韦达定理】
【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程 有两个不等正
实根，则实数m的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
一、填空题
1．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，另一个根
大于1，则a的取值范围是 .
2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）命题“ 时，方程 有两个不等实数根”是真命题，
则实数 的取值范围是 ．
3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于 的方程 至少有一个负实根，则实数 的取值范
围是 ．
二、解答题
4．（2023高一·上海·专题练习）已知关于 的方程 ， 求：
(1)方程有两个不同正根的充要条件；
(2)方程至少有一正根的充要条件．5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式 的解集为M.
(1)若 ，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得 或 ，求实数k的取值范围.
