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专题 01 三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6 种热考模型）
题型一：双内角平分线（共7题）
1．（2023秋•锦江区校级期末）如图， 中， 与 的平分线相交于 ，若 ，则
度．
2．（2022春•历下区期末）在 中， 和 分别是 和 的角平分线， ， 相交于
点 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的度数；
（2）借助图1，若 ， ，求 与 的关系；
（3）如图2，若 ，求证： ．3．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在 中， 、 分别平分 和 ，直接
写出 与 的数量关系为 ．
（2）已知：如图②，在四边形 中， 、 分别平分 和 ，试探究 与 的
数量关系．
4．（2023秋•巨野县期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，若 ．（1）求 的度数；
（2）把（1）中 这个条件去掉，试探索 和 之间有怎样的数量关系．
5．（2023春•台江区校级期末）（1）如图1，四边形 中， 和 的平分线交于点 ，已
知 ，求 的度数；
（2）如图2，在四边形 中， 和 外角的三等分线交于点 ，已知 ，
，请写出 、 与 的数量关系，并证明；
（3）如图3， 在 边的延长线上， 在 边的延长线上， 和 的平分线交于点 ，请直
接写出 、 、 、 的数量关系： ．
6．（2022秋•余庆县期中）动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（1），在 中， 、 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关系．
探究二：若将 改为任意四边形 呢？
已知：如图（2），在四边形 中， 、 分别平分 和 ，试利用上述结论探究 与
的数量关系．（写出说理过程）
探究三：若将上题中的四边形 改为六边形 （图（3） 呢？请直接写出 与
的数量关系： ．
7．（2021春•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系 中，点 为 轴上的动点，点 为 轴上方的动
点，连接 ， ， ．
（1）如图1，当点 在 轴上，且满足 的角平分线与 的角平分线交于点 ，请直接写出的度数；
（2）如图2，当点 在 轴上， 的角平分线与 的角平分线交于点 ，点 在 的延长线上，
且满足 ，求 ；
（3）如图3，当点 在第一象限内，点 是 内一点，点 ， 分别是线段 ， 上一点，满足：
， ， ．
以下结论：① ；② 平分 ；③ 平分 ；④ ．
正确的是： ．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过
程）．
题型二：双外角平分线（共6题）1．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上的一点，点 为 轴上的一点， 平分 ， 平分
，求 的度数．
2．（2022秋•即墨区期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何证明这个定理
呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下
条件，证明定理．
【定理证明】
已知： 如图①，求证： ．
【定理推论】如图②，在 中，有 ，点 是 延长线上一点，由平角的定义
可得 ，所以 ，从而得到三角形内角和定理的推论：三角
形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点 、 分别是 的边 、 延长线上一点．
（1）若 ， ，则 ．
（2）若 ，则 ．
【拓展延伸】如图④，点 、 分别是四边形 的边 、 延长线上一点．
（1）若 ， ，则 ．
（2）分别作 和 的平分线 、 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为 ．
（3）分别作 和 的平分线，交于点 ，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，并说明理
由．3．（2023秋•重庆期末）如图，在 中，分别延长 的边 ， 到点 ， ， 与
的平分线相交于点 ，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
．若 ，则 ；
．若 ，则 ；
．若 ，则 ；
（1）根据上述规律，若 ，则 ．
（2） ．（用含 的式子表示）
（3）请证明（2）中的结论．4．（2022春•南阳期末）（1）温故知新
如图1，已知 是 的一个外角，则 ；
（2）尝试探究
如图2， 与 分别为 的两个外角，则 （横线上填“ ”、
“ ”或“ ” ；
（3）初步应用
如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 ；
（4）解决问题
如图4，在 中， ， 分别平分外角 ， ， 与 有何数量关系？请说明理由；
（5）拓展提升
如图5，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请借鉴上面的思路直接写出 与
， 的数量关系．5．（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系
呢？如图1，在五边形 中， ， 是它的两个外角， ．下面是该
结论的证明过程（部分）
五边形的内角和为 ，
．
（1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
（2）知识应用：如图 2，在五边形 中， ， 分别是 和 的平分线，若
，求 的度数；
（3）拓展提升：如图3， ， ，则
．6．（2021春•丰县校级期末） 问题情境 苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如
图1，在 中， ，设 的外角 、 的平分线交于点 ，求 的度数．
（1）请你先完成这个问题的解答．
变式探究 小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图2，在 中， ，若 ， ，且射线 与射线
相交于点 ，则 ；
（3）如图3，在 中， ．若 ， ，且 与 相交于点 ，
若要使射线 、 能相交，则 的取值范围是什么？请说明理由；
（4）如图3，在 中， ．若 ， ，请直接写出使射线 、
能相交的 的取值范围是 （其中 ，请用含 、 的代数式表示）．题型三：内外角平分线（共13题）
1．（2023秋•莘县期末）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的角
平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线，依此下去，若
，则 为
A． B． C． D．
2．（2024春•绿园区期末）如图， 是△ 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果
， ，则 ．
3．（2023 秋•江汉区期中）如图， 为四边形 外角 的平分线， 平分 ，若
， ，则 的度数是 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上的一点，点 为 轴上的一点， 平分 ， 平分
， 与 的延长线交于点 ，求 的度数．5．（2023春•南京期末）【初步认识】
（1）如图①，在 中， ， 分别平分 ， ．求证： ；
【继续探索】
（2）如图②，在 中， 平分 ， 平分 外角 ．求证： ；
（3）如图③， 、 分别平分 外角 ， ．则 与 的数量关系是
；
（4）如图④， 中的两内角平分线交于 点，两外角平分线交于 点，一内角平分线与一外角平分
线交于 点．设 ， ， ，则 ， ， 之间的关系是 ．6．（2022秋•新乡期末）如图1，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，
交 于 ，交 于 ．
（1）当 ， ，则 ；
（2）当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点 ，过
点 作 ，交 于 ，交 于 ，试判断 ， ， 之间的关系，并说明理由．
7．（2023春•商水县期末）【基本模型】
（1）如图1，在 中， 平分 ， 平分外角 ，试说明 ．
【变式应用】
（2）如图2， ， ， 分别是射线 ， 上的两个动点， 与 的平分线
的交点为 ，则点 ， 的运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；
若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3， ，作 的平分线 ， 是射线 上的一定点， 是直线 上的
任意一点（不与点 重合），连接 ，设 的平分线与 的邻补角的平分线的交点为 ，请
直接写出 的度数．8．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在 中， ，三个内角平分线交于点 ，
的外角 的角平分线交 的延长线于点 ．
【问题初探】：（1） 的度数为 ， 的度数为 ；
【问题再探】：（2）如图2，过点 作 ．（可直接使用问题（1）中的结论）
①求 的度数；
②试判断线段 和 之间的位置关系，并说明理由；
【拓展探究】：（3）若 ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 后得到△
，当 所在直线与 平行时，请直接写出此时旋转角度 与 之间的关系．
9．（2023秋•泾阳县期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 的平分线， ， 分
别是 ， 的平分线．
（1）当 ， 时， ， ；
（2）请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由．10．（2024春•农安县期末）（问题背景）
，点 、 分别在 、 上运动（不与点 重合）．
（问题思考）
（1）如图①， 、 分别是 和 的平分线，随着点 、点 的运动， ．
（2）如图②，若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ．
①若 ，则 ．
②随着点 、 的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果 ，其余条件不变，随着点 、 的运动（如图③ ， ．
（用含 的代数式表示）11．（2024春•单县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在 中，角平分线 、 交于点 ．求 的度数．
（1）若 ，请直接写出 ；
【变式思考】
（2）若 ，请猜想 与 的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在 中，角平分线 、 交于点 ，点 在 的延长线上，作 的平
分线交 的延长线于点 ．若 ，猜想 与 的关系，并说明理由．12．已知 、 分别为 中 、 上的动点，直线 与直线 相交于 ， 的平分线与
的 平 分 线 相 交 于 ， 的 平 分 线 与 的 平 分 线 相 交 于 ．
（1）如图1，当 在 的延长线上时，求 与 之间的数量关系．
（2）如图2，当 在 的反向延长线上时，求 与 之间的数量关系（用等式表示）．13．（2023春•二道区期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在 中， 平分 ， 平分 ，请你判断 和 间的数量关系并说明理由．
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．
解：结论： ．
理由： 平分 ， 平分 ，
， ．
．
【模型发展】如图②，点 是 的外角平分线 与 的交点，请你判断 和 间的数量关系并
说明理由．
【解决问题】如图③，在 中， 平分 ， 平分 ，点 是 的外角平分线 与
的交点．若 ，则 度．题型四：A字模型（共5题）
1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后， ，则 等于
A． B． C． D．
2．（2022秋•济宁期末）如图， 中， ， ，将 沿 折叠， 点落在形内的
，则 的度数为 ．
3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：
（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去 ，则 ．
（2）如图2，已知 中， ，剪去 后成四边形，则 ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想 与 的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉 ，而是把它折成如图3形状，试探究 与 的关系，并说明理由．
4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点 处．（点 在 的内
部）（1）如图1，若 ，则 ．
（2）利用图1，探索 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把 折叠后， 平分 ， 平分 ，若 ，利用（2）中得出
的结论求 的度数．
5．（2022 秋•香坊区期末）已知：四边形 ，连接 ， ， ，
， ．
（1）如图1，求证： 是等边三角形；
（2）过点 作 于点 ，点 为 上一点（不与点 重合）， ， 的边
交 的延长线于点 ，另一边 交 的延长线于点 ，如图2，点 与点 重合时，求证：
；
（3）如图 3，在（2）的条件下，点 不与点 重合，过点 作 ，交 于点 ，， ， ，点 为 上一点，连接 、 ， 交 于点 ， ，
求 的长．
题型五：蝴蝶（8字）模型（共6题）
1．（2023春•武冈市期末）如图， 的度数为
2．（2022秋•安定区校级期末）如图， ．
3．（2023秋•大洼区期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计
的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 ；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 和 的长度相等，
交点 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 设计为 ，则由以上信
息可推得 的长度是多少？请说明理由．4．（2023秋•昆明期末）如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交
的延长线于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
5．（2021秋•正阳县期末）图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称
之为“8”字型．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、
分别相交于 、 ．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当 度， 度时，求 的度数．
（4）图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．6．（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索 、 、 、 之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若 ， ，求 的度数为 ；
探索三：如图3， 、 分别平分 、 ， 反向延长线交 于点 ，则 、 、
之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长 、 ，交于点 ，在四边形 中，设 ， ， ，四边形的内角 与外角 的角平分线 ， 相交于点 ，则 （用含有 和 的代数
式表示）， ．（用含有 和 的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形 中，设 ， ， ，四边形的内角 与外角
的角平分线所在的直线相交于点 ， ．（用含有 和 的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设 ， ， ， ，试问 与 、 之
间的数量关系为 ．（用 、 表示
拓展二：如图7， 平分 ， 平分 的邻补角 ，猜想 与 、 的关系，直接
写出结论 ．
题型六：燕尾模型（共11题）
1．（2024春•四川期末）如图，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点 是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则 的度数为
A． B． C． D．
2．（2022春•玄武区期末）如图， ．
3．（2022秋•南平期中）如图，若 ，则 ．
4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知 ，则 度．
5．（2023春•松江区期末）如图，已知在 中， ，将一块直角三角板放在 上使三角板
的两条直角边分别经过 、 ，直角顶点 落在 的内部，那么 度．6．已知 与 的平分线交于点 ．
①如图1，试探究 ， 与 之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，试探究 ， 与 之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，若 ， 的平分线交于点 ，则 ， 与 之间有怎样的数量关系？
7．（2024春•衡阳期末）（概念学习）
在平面中，我们把大于 且小于 的角称为优角，如果两个角相加等于 ，那么称这两个角互为
组角，简称互组．
（1）若 、 互为组角，且 ，则 ；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于 的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形 中，优角 与钝角 互为组角，试探索内角 、 、 与钝角
之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②， ；（用含 的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、
的平分线交于点 ， ；
直接运用（2）中的结论，试说明： ．8．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，
， 交于 点，根据“三角形内角和是 ，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①
（对顶角相等）；② ．
【提出问题】分别作出 和 的平分线，两条角平分线交于点 ，如图2， 与 ， 之间
是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知 的平分线与 的平分线交于点
．
（1）如图2， ， ，则 的度数是多少呢？
易证 ，
请你完成后续的推理过程：
， 分别是 ， 的平分线
，又 ，
度．
（2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出 与 ， 之间的数量关系是：
【类比应用】（3）如图3， 的平分线 与 的平分线 交于点 ．
已知： ， ， 则 ．（用 、 表示）
9．（2022春•工业园区期末）数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这
样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形 中，画出 所在直线 ，边 、 分别在直线 的两旁，则四边形
就是凹四边形．
性质初探
（1）在图①所示的凹四边形 中，求证： ．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形 中， 与 所在直线垂直， 与 所在直线垂直， 、 的角
平分线相交于点 ．
①求证： ；
②随着 的变化， 的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索 与 的数量关系；如果没
有变化，请求出 的度数．10．（2023春•滕州市校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品 圆规．我们不妨把这样图
形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
③如图4， ， 的10等分线相交于点 、 、 、 ，若 ， ，求
的度数．11．（2023秋•朝阳区校级期末）将一块直角三角板 放置在锐角 上，使得该三角板的两条直角
边 、 恰好分别经过点 、 ．
（1）如图①，若 时，点 在 内，则 度， 度，
度；
（2）如图②，改变直角三角板 的位置，使点 在 内，请探究 与 之间存在
怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图③，改变直角三角板 的位置，使点 在 外，且在 边的左侧，直接写出 、
、 三者之间存在的数量关系．
