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第 3 讲 二次函数与一元二次方程、不等式
本讲为基础知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于运算类知识点，主要出现在最后的不等式运算中，
结合二次函数图象深入了解函数图象在解不等式中的运用，从而解决更多的不等式运算问题。
考点一 二次函数解析式的三种形式
b
2a
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是 x＝－ ，顶点坐标是
一般式
b 4ac−b2
(− , )
2a 4a
顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，其中x，x是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象
1 2 1 2
零点式 x +x
1 2
的对称轴是x＝ 2
考点二 二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域 R
4ac−b2 4ac−b2
值域 [ ,+∞) (−∞, ]
4a 4a
b
对称轴
2a
x＝－
b 4ac−b2
顶点坐标 (− , )
2a 4a
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
b b
(−∞,− ] (−∞,− ]
2a 2a
在 上是减函数； 在 上是增函数；
单调性
b b
[− ,+∞) [− ,+∞)
2a 2a
在 上是增函数 在 上是减函数常用结论：
①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
{a>0¿¿¿¿ {a<0¿¿¿¿
②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 时恒有f(x)>0，当 时，恒有f(x)<0.
考点二 三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a＞0)的图象
有两相等实根
一元二次方程ax2＋bx 有两相异实根
没有实数根
＋c＝0 (a＞0)的根 x，x(x＜x)
1 2 1 2
x＝x＝－
1 2
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{x |x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
注意：
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则 ； (b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b .
⇔
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
考点二 特殊不等式的解法
1.高次不等式的解法
数轴标根法：(奇穿偶回)
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹
回；
2.分式不等式的解法
（1）当不等式一边为0时，不等式两边同时乘上分母的平方即可转化成一元二次不等式，注意分母不为零的情况。
（2）当不等式两边均不为零时需移至一边进行通分再进行转化运算。
高频考点一 二次函数与一元二次方程、不等式
例1、已知 的解集为 （ ），则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
解：因为 的解集为 （ ），
所以 为 的根，所以 .
故选：B
【变式训练】
1．已知方程 的两根分别在区间 ， 之内，则实数 的取值范围为______．
【答案】 .
【解析】
方程
方程两根为 ，
若要满足题意，则 ，解得 ，
故答案为： .
高频考点二 高次不等式
例2、解不等式：【答案】 或
【解析】
不等式可化为 ，如图
于是，该不等式的解集为： 或 .
【变式训练】
1. 已知集合A={x|2 |x| m}，B={ - +8x>0}，C={ -2x-15=0}.
(1)若A C=A，求实数m的最小值;
(2)若 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【解析】
(1)
由题有 ，若 ，则 ，则
可知 ，解得： ，所以 的最小值为 .
(2)
，由 ，则
①当 时， ；
②当 时， ，有 ，从而有
综上：数m的取值范围是 .
高频考点三 分式不等式例3、 解关于 的不等式 ．
【答案】 或
【解析】
，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ，
【变式训练】
1. 解关于 的不等式 ．
【答案】
【解析】
,等价转化为 ，
解得
所以不等式的解集为 ．
