文档内容
专题 03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造法..............................................................................2
题型二：倒数法..............................................................................4
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练..................................7
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变
n+1 n
p
形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，
n+1 n
kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，
n+1 n
{a } {a }
n n
从而构造数列 为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为
qn+1，换元令： ，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出
{a }
的通项公式.
n
（3）形如a −a =ka a (k≠0)的数列，可通过两边同除以a a ，变形为
n n+1 n+1 n n+1 n
1 1 {1 } {1 }
− =−k的形式，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得
a a a a
n+1 n n n
{a }
的通项公式.
n
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
为 = + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通
a a q a a q a a
n+1 n n+1 n n n
项，即可求得a .
n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两
p,q
边取“倒”，变形为 ，可通过换元： ，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如
a =ka+p
（k,p
n+1 n
为常数， kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a +m=k(a +m)（其
n+1 n
p
中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而求出数
k−1 {a +m} {a +m}
n n
{a }
列 的通项公式.）
n
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；【答案】(1) ；
【分析】（1）构造等比数列 ，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）因为 ，所以 又 ，
所以 ，
所以 是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）变形得到 是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；
【详解】（1）由 两边同时除以 ，可得 ，
所以 ，
故数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 .
3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列 满足 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）由已知条件构造等比数列 ，根据等比数列的通项公式，即可求得结
果；
【详解】（1）由已知 ，所以 ，又 ，所以数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
所以 ，即 .
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知 是公差不为0的等差数列， ，且
成等比数列，数列 ，数列 的前 项和 .
(1)求
【答案】(1)
【分析】（1）由题意列方程，求出数列 的首项和公差，求出 ，可得 ，
变形后构造等比数列，即可求得答案；
【详解】（1）因为 成等比数列，所以 ，
设等差数列 的公差为 ， ，所以 ，
解得 ，
，
，
对上式两边同时除以 得: ，即
，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
故 ，即 ；
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；
【详解】（1）由 ，即 ，
可得 ，且 ，故 ，可知 是首项为2，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
题型二：倒数法
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
【答案】
【分析】取倒数后得到 是等差数列，求出 ，得到通项公式.
【详解】取倒数： ，故 是等差数列，首项为 ，公
差为2，
，
∴ .
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ， .若
，求数列 的通项公式.
【答案】
【分析】将 代入已知可得 ，进而推得 ，即可得出数列 是
等差数列，写出通项即可得出答案.
【详解】将 代入已知可得 .
因为 ，所以 ，所以有 ，所以 .
又 ，
所以，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以， ，
所以， .
3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列 有递推关系
(1)记 若数列 的递推式形如 且 ，也即分子中
不再含有常数项，求实数 的值；
(2)求 的通项公式.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得 ，即 ，运
算求解即可；
（2）取 ，可得 ，利用构造法结合等比数列求通项公式.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，
则 ，解得 或 ；
（2）由（1）可得：当 时，则 ，且 ，
可得 ，则 ，且 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，则 ，
故 .
4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列 中， ，
（1）证明：数列 是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
【解析】（1）由 可得 ，然后可得答案；
【详解】（1）证明：由 ，知
又 ，∴ 是以 为首项，3为公比的等比数列
5．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ．求证：数列
是等差数列，并求 的通项公式；
【答案】证明见解析；
【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．
【详解】
，
且 所以，数列 是等差数列，且首项为1，公差为1，
．三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列 满足 ，则数列 的前8
项和 ．
【答案】502
【分析】根据 取倒数构造等比数列 ，结合等比数列求和公式即可得到
答案.
【详解】由 ，取倒数得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，则 ，
所以数列 的前8项和 .
故答案为：502
2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列 满足 ， ， ，则
.
【答案】
【分析】将 变形可得数列 为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列 中， ， ，显然 ，取倒数得
，即 ，则数列 是首项为1，公差为4的等差数列，
因此 ，所以 .
故答案为： .
3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列 满足 ，且 ，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【详解】
在等式 两边取到数，推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，
即可求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式.
【分析】因为数列 满足 ，且 ，则 ，
， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
在等式 两边取倒数可得 ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
所以， ，所以， .
故答案为： .
4．（23-24高二下·河南·期中）数列 中，若 ， ，则
．
【答案】19【分析】取倒数可得 ，即可得数列 的通项公式，计算即可得.
【详解】∵ ，则 ，
∴ ，∴故数列 为等差数列，公差等于2，
又 ，故 ，
∴ .
故答案为：19．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则
数列 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列 中， ， ，显然 ，
则有 ，即 ，而 ，
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
故答案为：
6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列 满足 ，
则 的通项公式为 .
【答案】
【分析】对 取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对 两边取倒数得 ，即 ，当 时， ， ， ， ， ，
将以上各式累加得 ，又 ，
所以 ，所以 ，当 时， 也满足 ，所以 .
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的
通项公式.
【答案】
【分析】根据题意先证数列 为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.
【详解】因为 ，且 ，可知 ，
则 ，可得 ，
且 ，
可知数列 是首项为2，公比为4的等比数列，
可得 ，所以 .
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知 满足 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)已知数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将递推式变形为 ，然后令 ，利用待定系数法求
出 ，进而可得 ，根据数列 通项公式可得结论；
（2）利用错位相减法求出 ，然后观察可得结论.【详解】（1） ，两边同时乘以 得 ，
令 ，
，变形得 ，
又 ，
，
，
，明显有 ，
数列 为等比数列；
（2）由（1）得 ，
则 ，
所以 ，
两式相减得：
，
，明显 ，
.
9．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）推导出数列 为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求
得数列 的通项公式；
【详解】（1）解：因为数列 满足 ， ，则
，且 ，所以，数列 是等比数列，且该数列的第二项为 ，公比为 ，
所以， ，则 .
10．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 得 ，得数列 以 为首项以3为公
比的等比数列，由等比数列求通项即可.
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时，
，
所以 ，变形得 ，即 ，
数列 以 为首项以3为公比的等比数列，
所以 ，即
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 可得 ，由等比数列定义可得
是首项为2，公比为2的等比数列，即可得 的通项公式，即可得 ；
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，即 ；
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列 的前 项和为 ，已知
，且
(1)求数列 的通项公式;【答案】(1)
【分析】（1）计算 ，根据 得到 ，变换
，确定 是首项为 ，公比为 的等比数列，计算得到答案.
【详解】（1） ，则 ，故 ，
当 时， ， ，
两式相减得到 ，即 ，则 ，
，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，故 ，
时满足，故 .
