文档内容
专题 03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造法..............................................................................2
题型二：倒数法..............................................................................4
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练..................................5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变
n+1 n
p
形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，
n+1 n
kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，
n+1 n
{a } {a }
n n
从而构造数列 为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为
qn+1，换元令： ，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出
{a }
的通项公式.
n
（3）形如a −a =ka a (k≠0)的数列，可通过两边同除以a a ，变形为
n n+1 n+1 n n+1 n
1 1 {1 } {1 }
− =−k的形式，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得
a a a a
n+1 n n n
{a }
的通项公式.
n
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
为 = + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通
a a q a a q a a
n+1 n n+1 n n n
项，即可求得a .
n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两
p,q
边取“倒”，变形为 ，可通过换元： ，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如
a =ka+p
（k,p
n+1 n
为常数， kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a +m=k(a +m)（其
n+1 n
p
中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而求出数
k−1 {a +m} {a +m}
n n
{a }
列 的通项公式.）
n
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列 满足 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知 是公差不为0的等差数列， ，且
成等比数列，数列 ，数列 的前 项和 .
(1)求5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
题型二：倒数法
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ， .若
，求数列 的通项公式.
3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列 有递推关系
(1)记 若数列 的递推式形如 且 ，也即分子中
不再含有常数项，求实数 的值；
(2)求 的通项公式.4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列 中， ，
（1）证明：数列 是等比数列
5．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ．求证：数列
是等差数列，并求 的通项公式；
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列 满足 ，则数列 的前8
项和 ．
2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列 满足 ， ， ，则
.
3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列 满足 ，且 ，则数列的通项公式为 ．
4．（23-24高二下·河南·期中）数列 中，若 ， ，则
．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则
数列 的通项公式为 ．
6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列 满足 ，
则 的通项公式为 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的
通项公式.
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知 满足 .
(1)证明：数列 为等比数列；
9．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列 满足 ， ．(1)求数列 的通项公式；
10．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列 的前 项和为 ，已知
，且
(1)求数列 的通项公式;
