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专题03 椭圆中的最值问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N分别为 和 上的点，则
的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】设圆 和圆 的圆心分别为 ,半径分别为 .
则椭圆 的焦点为 .又 , ， ，
故 ，当且仅当 分别在 的延长线上时取等号.
此时 最大值为 .故选：C.
2．点 为椭圆 上任意一点， 分别为左、右焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【解析】
设 ，
所以 ，
所以当 时，取到最大值，最大值为3．故选：B．
3．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，圆 ： ，点P和点B分
别为椭圆C和圆A上的动点，当 取最小值3时， 的面积为（ ）A． B． C．2 D．
【解析】由题知 ，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .当P，B两点在 的延长线上时，等号成立.
所以 ，所以 ， .
所以直线 的方程为 ，即 ，与方程 联立，
可得 ，解得 （负值已舍去，其中 为点P的纵坐标）.
所以 的面积为 .故选：A.
4．设 、 是椭圆 的左、右焦点，点P是直线 上一点，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得： ，则 ，所以 .
因为点P是直线 上一点， 不妨设 ,
设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
则 ， ，
于是 ，
当且仅当 时等号成立，因为 在 上单调递增，所以 的最大值是 .故选:A.
5．已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点.将 表示为 的函数，
则 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意知， ，
当 时，切线 的方程为 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，此时 ；
当 时，同理可得 ；当 时，设切线方程为 ，
由 得 ，
设 ， 两点两点坐标分别为 ， ，则 ， ，
又由 于圆 相切，得 ，即 ，
∴ ，
由于当 时， ，∴ ， ，
∵ ，当且仅当 时， ，∴ 的最大值为2．故选：B.
6．过椭圆C： 上的点 ， 分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线 ：
上，则 的最小值为（ ）A． B． C．－9 D．
【解析】先证椭圆的切线方程：对于 上一点 ，过 点的切线方程为 ，
证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为 ，与椭圆方程联立可得：
，
则 ，
代入切线方程得 ，于是 ，从而切线方程为 ，
整理得： 由椭圆方程 ，知 ， ，所以 ．
设两切线交点 ，易得切线PA的方程为 ，
切线PB的方程为 ．由于点P在切线PA、PB上，
则 ，故直线AB的方程为 ，
联立方程 ，消去 得 ，显然 ，
由韦达定理得 ．即 的最小值为 ．故选：B．
7．已知O为坐标原点，椭圆 上两点A，B满足 ．若椭圆C上一点M满足
，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2【解析】设 ，则 ，由 ，得 ，
，
由 ，得 ，即 ，又 ，因此 ，
而 ，于是 ，当且仅当 时取“＝”，
所以 的最大值为 .故选：B
8．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点， 为 上一点，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【解析】由题意得：椭圆 ： 的两个焦点在y轴上，且 ，故 ，
则 ，故 ，由椭圆定义可知： ，
设 ，则由椭圆性质可知： ，故 ， ，
其中 ，
令 ，则 ，则 ，
由对勾函数的性质可知： 在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
故 ，等且仅当 时，等号成立.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知点 是椭圆 上的动点，点 且 ，则|PQ|最小时，m的值可能是
（ ）
A．-1 B． C．a D．3a
【解析】因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以
，若 ，当 时， 最小，
若 ，当 时， 最小.故选：BD.
10．已知F为椭圆 的左焦点．设P是椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆O的两条切线
，切点分别为A，B，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为1
C． 的面积为定值 D． 的周长为定值
【解析】椭圆的标准方程为 ，故右准线方程为 ，
设 ，设 ，
则椭圆在 点处的切线为 ，椭圆在 点处的切线为 ，
故 ， ，整理得到： ， ，故 ，故 过定点 即 过右焦点 .
于是 的最小值为通径长 ，故A错误.
的周长为定值 ，故B正确.．
考虑到当点P的纵坐标趋于无穷大时， 趋于椭圆的长轴，
因此 的面积必然不为定值，故C错误.
故选：BD.
11．已知 ， 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的最大值为3 D． 的最大值为
【解析】由椭圆方程得 ， ， ，因此 ， ，
选项A中， ， ，故 ，A错误；
选项B中， ，当且仅当 时取等号，B正确；
选项C中，令 ，则 ，故C正确；
选项D中，当点 为短轴的端点时， 取得最大值，此时 ，
则 ， ， 的最大值为 ，D正确.
故选：BCD.12．已知F， 分别为椭圆 的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知
A，B不是椭圆的顶点，过点A作 轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ）
A．四边形 的周长为16 B． 的最小值为
C． 面积的最大值为 D．
【解析】
对于A，连接 ， ，AF，BF，则四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴四边形 的周长为8，故A错误；
，
当且仅当 时，等号成立，故B正确；
∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为 ，
由 得 ，∴ ，
∴ 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，设 ， ， ，直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，则 ，
又点P和点A在椭圆C上， ①， ②，① ②得 ，
因为 ，则 ，得 ，
∴ ，∴ ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆 内有一点 为椭圆的右焦点，椭圆上有一点 ，则 的最大值为
．
【解析】由题意可知 ，所以 ，即 ．
当 三点不共线时， ；
当 在 的延长线上时， ；
当 在 的延长线上时，如图， ；
综上所述： ，所以 的最大值是 ．
14．已知 为椭圆 上一动点，点R满足 且 ，则 的最大值是
．
【解析】由 知， 在以 为圆心， 为半径的圆上，如图，∵ ，∴ ， ，
结合图形知，当P点为椭圆的左顶点时， 取最大值，
因为椭圆 的左顶点坐标为 ，圆心 ，
所以 的最大值为 ，∴ 最大值是 ．
15．已知椭圆 （ 且为常数）的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的一点，若
的最大值为25，则椭圆 的离心率为 ．
【解析】设椭圆的焦距为 ， ， ，则由椭圆的定义得： ，
所以 ，令 ， ，
可知 的对称轴为 ，当 时， ，解得 ，
由 ，所以 ，此时离心率 ，
当 时， ，
所以 ，所以 ，又 ，
联立解得 ，不满足题意舍去，所以椭圆的离心率为： ，
故答案为： .
16．椭圆 上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线 于D．当A在椭圆上运动时，总有 ，则该椭圆离心
率e的最大值为 ．
【解析】依题意可得 ，设 ， ， ， ，
所以 ， 则 ，
又 ， ①， ②，
由 得 ③，
将①②代入③式，消去 ， 得 ，
因为 ， ，则要求 ，即 ，
所以 ，即e的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆M： 的一个焦点为 ，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线 与
椭圆M交于C，D两点．
(1)当直线 的斜率为1时，求线段CD的长；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【解析】（1） 为椭圆 的焦点， ，又 ， ，
椭圆 的方程为 ；设直线方程为 ，
和椭圆方程联立消掉 ，得 ，计算知 ，
方程有两实根，且 ，所以
（2）当直线无斜率时，此时直线方程为 ，则 两点关于 轴对称，所以 ，则 ，
当直线斜存在时，依题意，知 ，设直线方程为 ，
和椭圆方程联立消掉 ，得则 ，
显然 ， 方程有两实根，且 ，
由于 两点在 轴的上下两侧，所以 异号，
此时
，将上式变形，得 ，
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
当 时， 有最大值 ．
18．已知椭圆 过 和 两点．(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线AM，BM分别交
椭圆于两点P和Q，求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题，将 和 代入 中， ，
所以椭圆 .
（2）由椭圆的对称性，不妨设 ，因为 ，所以 ，
可得直线 ，直线 ，
将直线 代入椭圆 中可得：
由 可得 则 ，
再将直线 代入椭圆 中可得：
由 可得 则 ，
则四边形 的面积
，
设 ，则 ，当且仅当 时取到等号；
在 单调递增，故 ，所以 ,
所以当点 时，四边形 面积的最大，此时面积为6．
19．已知椭圆 的长轴长为4，上顶点 到直线 的距离为 ．(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，求 的最小值．
【解析】（1）由已知条件得 ，解得 ，
上顶点坐标为 ， ，解得 或 ，由于 ，则 ，
所以 的方程为 ；
（2）由（1）得 ，设 ， ，
联立 可得 ，其中 ，
， ，设直线 的方程为 ，
联立 解得
点 在直线 上，则 ，即 ，同理可得 ，
所以
令 ，则 ,
此时 ，当 时有最小值，即 .20．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与E交于A，B两点，当 为
双曲线 的一条渐近线时，A到y轴的距离为 .
(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线
PB的斜率为 ，求 的最小值.
【解析】（1）设 的半焦距为 ,则 ,所以 ,所以 ①，
不妨设 ，与 联立得 .由题意得 ②，
①②联立并解得 ,故 的方程为 .
（2）设 ,则 ,
所以直线 的斜率 ,
直线 的方程为 ,代入 ,得
,所以 ,
,所以 ,
所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,
所以当 时, 取得最小值,且最小值为 .
21．已知椭圆 的左顶点为 ，椭圆 的中心 关于直线 的对称点落在
直线 上，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 为椭圆 上两个动点，且直线 与 的斜率之积为 为垂足，求 的最大值.
【解析】（1）设椭圆 的中心 关于直线 的对称点 ，
则有 ， 椭圆 的中心 关于直线 的对称点落在直线 上，
又椭圆 过点 ，可得 ，解得 ，所以椭圆 的方程 .
（2）设 ，由题意得直线 斜率不为零，设 ，由 得 ，即 ，
所以 由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，化简得 ，所以 或 ，
若 ，则直线 过椭圆的左顶点，不适合题意，所以 ，
所以 过定点 ，因为 为垂足，
所以 在以 为直径的圆上， 的中点为 ，又 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
22．已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，左焦点为 ,点 在椭圆上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且 ，求 的最大值．【解析】（1）依题意得 ，解得 ， ，所以C的方程为 .
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
，化简整理得 ，
设 ， ，则 ， ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，得 ，
将 ， 代入上式得 ，
得 ，整理得 ，解得 或 （舍去）．
所以直线l的方程为 ，则直线l恒过点 ，
所以
，设 ，则 ， ，
易知 在 上单调递增，所以 时， 取得最大值 ，
又 ，所以 .
