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专题 03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性
的应用
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题型01 抽象函数的定义域.......................................................................................................................................1
题型02 抽象函数求值...............................................................................................................................................3
题型03 抽象函数的解析式.......................................................................................................................................6
题型04 抽象函数的单调性.....................................................................................................................................10
题型05 抽象函数的奇偶性.....................................................................................................................................15
题型 01 抽象函数的定义域
【解题规律·提分快招】
抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是
注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致
的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用
集合或区间来表示.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解．【详解】函数 的定义域为 ，
所以 ,
解不等式得 ,
即函数 的定义域为 ，
故选：D
2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数 的定义域为 ，得 ，则 ，
即 的定义域为 ，在函数 中，由 ，解得 ，
所以所求函数的定义域为 .
故选：A
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数 的定义域求出 的定义域，进而求出函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以函数 的定义域是 ，
令 ，所以 ，
所以函数 的定义域是 .
故选： .
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，
则函数 的定义域为 .
故选：B.
5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到 ，然后解不等式即可.
【详解】 中，令 ，则 ，
所以 中 ，
解得 或 .
故选：D.
题型 02 抽象函数求值
【解题规律·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的 ，函数 满足 ，则
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，故 ，故选：D
2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数 的定义域为 ， ， ，都有
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可得 ，令 可得 ，代入计算，即可得到结果.
【详解】当 ， 时， ，所以 ；
令 得 ，所以 ；
， ，
，…，
.
故选：C.
3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数 满足对任意的实数 ， ，均有 ，
且 ，则 （ ）
A．1014 B．1012 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得 ，由此计算得解.
【详解】依题意，对于 ，取 ，得 ，而 ，
因此 ，所以 .
故选：B
4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别对 、 赋值，结合已知条件分别求出 、 、 的值，即可得解.
【详解】令 可得 ，即 ，解得 ，
令 ， 可得 ，则 ，令 ， 可得 ，则 ，
令 ， 可得 ，可得 ，
因此， .
故选：C.
5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知 是定义在 上的函数，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助赋值法令 可得 ，即可得 ，再借助赋值法计算可得函数周期，
利用所得周期计算即可得解.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，又 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ，
，
故函数 是以4为周期的函数，所以 ．
故选：C．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在 上的函数 满足条件① ， ，②
， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 求出 ，即可求出 ，再令 求出 ，最后根据 计算可得.
【详解】 ， ，
令 ，得 ，又 ， ，
，
再令 ， ， ，
.
故选：B
题型 03 抽象函数的解析式
【解题规律·提分快招】
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数： ，则 ，
【一次函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 为奇函数；
模型3：若 则 ；
模型4：若 则 ；
【指数函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 ；
模型3：若 ，则 ；模型4：若 ，则 ；
【对数函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
模型3：若 ，则
模型4：若 ，则
模型5：若 ，则
【幂函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
代入 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
【正切函数模型】
模型：若 ，则
模型3：若 ，则
【典例训练】
一、填空题
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数 满足 ，则 的解析式可以是
（写出满足条件的一个解析式即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求解即可，若设 ，然后代入化简求出 即可.【详解】设 ，由 ，
代入可得， ，解得 ，
.
故答案为： .（答案不唯一只要正确即可）
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知 是定义在 上的单调函数，且 ，
，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得 为定值，可以设 ，则 ，又由
，可得 的解析式求 .
【详解】 ， ， 是定义在 上的单调函数，
则 为定值，设 ，则 ，
，解得 ，得 ，
所以 .
故答案为：14.
3．（23-24高三上·湖北·期末）函数 满足 ，请写出一个符合题意的函数 的解析
式 .
【答案】 (答案不唯一)
【详解】取 ，
则 ，满足题意.
故答案为： (答案不唯一)
4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
① ， ， ；
② ， 且 ， .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.【详解】令 ,则 ,满足条件①；
， 且 ， ,满
足条件②；
故答案为： （答案不唯一）
5．（2025高三·全国·专题练习）设 是定义在 上的函数，且满足对任意 ， ，等式
恒成立，则 的解析式为 ．
【答案】
【分析】通过令 代入即可求解
【详解】 是定义在R上的函数，且对任意 恒成立，
令 ，得 ，即
．
故答案为：
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意 ，都有 ；②
的函数 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据函数的单调性，结合 及常见的函数特点即可得结果.
【详解】因为对任意 ，都有 ，即函数 在 内单调递减，
由于 ，即可取 ，
故答案为： （答案不唯一）.
7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数 的定义域为R，且 ，
，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1, （答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.
【详解】令 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以函数为偶函数，不妨取偶函数 ，则 ，
也可取 ，则 ，满足题意.
故答案为： , （答案不唯一）
8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，写出函数
的一个解析式为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 为奇函数可得 的图象关于点(1,0)中心对称，结合偶函数的性质可构造
符合题意.
【详解】由 为偶函数，知 的图象关于 轴对称；
由 为奇函数，知 的图象关于点(1,0)中心对称，
据此构造函数 ，则 是偶函数；
为奇函数，符合题意.
故答案为： （答案不唯一）.
题型 04 抽象函数的单调性
【解题规律·提分快招】
抽象函数的性质
1.周期性： ； ；
；（ 为常数）；
2.对称性：
对称轴： 或者 关于 对称；
对称中心： 或者 关于 对称；
3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有；
在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不
变号加绝对值）；
在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号
加绝对值）；
③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
【典例训练】
1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知 是奇函数， 是偶函数，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性求出 ，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；
【详解】因为 ①，且 是奇函数， 是偶函数，
则 ，即 ②，
由①②可得 ，
因为函数 、 均为 上的增函数，所以，函数 为 上的增函数，
由 ，可得 ，解得 .因此，不等式 的解集是 .
故选：A.
2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数 是定义
在 上的偶函数，在 上单调递增．若 ，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由偶函数性质得出函数在 上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解．
【详解】函数 是定义在 上的偶函数，在 上单调递增，则在 上单调递减，
化为 ，即 ，解得 或 ，
故选：D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数 ，则满足 的实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，且定义域为 ，
所以 为奇函数，
因为函数 在 上均为增函数，
所以函数 在 上为增函数，
因为 ，
所以原不等式可转化为 ，
即 ，
由单调性可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数 ，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题
的关键.
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出 的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.
【详解】在R上的奇函数 在 上单调递减，则 在 上单调递减，且 ，
，当 时， ，当 时， ，
由 ，得 或 或 ，
解得 或 或 ，因此 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 .
故选：D
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，对任
意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，把 转化成 ，再结合函数
的奇偶性，把不等式转化成 ，再结合 的单调性，得到 ，分离参数，
根据二次函数的性质，可求实数 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ， .
因为 是定义在R上的减函数，所以 也是定义在R上的减函数，
故 ，即 .
因为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数 的定义域为 ，若对于任意的 ，当 时，都有
，则称函数 在 上为非减函数.设函数 在 上为非减函数，且满足以下三个条
件：① ；② ；③ .则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题设条件可得 以及 ，从而可得 和 ，根据
时，都有 可得 ，从而可求 的值后可得 的值.
【详解】 函数 在 上为非减函数，
① ，③ ，
令 ，得 ；令 ，得 .
又 ② .
令 ，得 .
令 ，得 ；
令 ，得 .
当 时，都有 ，
.
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据不等关系求确定的值，一般用
“夹逼”的方法（如 ）.
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知 是定义在 上的偶函数，若 且 时，恒成立， ，则满足 的实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围.
【详解】设 ，由 ，
得 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，
所以对任意的 ， ，
所以，函数 为 上的偶函数，且 ，
由 ，可得 ，即 ，
即 ，所以 ，即 ，解得 .
故选：A
【点睛】方法点睛：形如 的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定
义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合
单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.
题型 05 抽象函数的奇偶性
【典例训练】
1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数 对任意实数 ， 都满足
，且 ， ，则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令 求得 ，再令 求解后即可判断．【详解】在 中，
令 ，则 ，又 ，所以 ，
令 得 ，所以 ，
所以 是偶函数，
故选：B．
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数 的定义域为 ，满足 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为 ，
所以令 ，可得 ，
令 ，则 ，
所以 ，
则 既不是奇函数又不是偶函数，
且 ，
所以 是奇函数.
故选：C
3．（18-19高三·全国·课后作业）已知对任意x， ，都有 ，且
，那么 （ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
【答案】D
【分析】令 ，结合 可求得 的值，再令 即可判断 的奇偶性.
【详解】令 ，有 ，
因为 ，所以 ，
再令 ，得： ，
所以 ，又 ，所以 是偶函数.
故选： .
【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.
4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B． C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】D
【分析】对于A，令 ，可求出 进行判断，对于B，令 ，可求出 进行判断，对于
CD，令 ，可求出 ，从而可求出 ，进而可判断其奇偶性.
【详解】对于A， 令 ，则 ，得 ，
所以 或 ，
当 时， 不恒成立，所以 ，所以A错误，
对于B，令 ，则 ，得 ，
所以 ，或 ，
由选项A可知 ，所以 ，所以B错误，
对于CD，令 ，则 ，由选项A可知 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 为奇函数，即 为奇函数，所以C错误，D正确，
故选：D
5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数 满足
，且 ，则（ ）
A． B．
C． 不可能是奇函数 D． 在 上单调递增
【答案】AB
【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断.
【详解】对于A，取 ，得 ，
所以 ，A正确；
对于B，取 ，得 ，又 ，所以 ，令 ，得 ，B正确；
对于C，若 满足 ，C错误；
对于D，取 （ 表示不超过 的最大整数），则 ，
从而有 ，
当 时， ，D错误．
故选：AB
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在 上的函数 ，满足
，且当 时， ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．若 ，则
【答案】C
【分析】A选项，先令 ，可得 ，再令 ，可判断选项正误；
B选项，令 ，结合 定义域可判断选项正误；
C选项，由题可判断 在 上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；
D选项，由ABC选项可解不等式 .
【详解】A选项，在 中，令 ，
得 ，解得 ；再令 ，
得 ，解得f (−1)=2，故A正确；
B选项，令 ，得 ，所以f (−x)=f (x)，
又 的定义域关于原点对称，所以 是偶函数，故B正确；
C选项，设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 在(0,+∞)上是增函数，因为 是偶函数，
所以 在 上是减函数，从而 ，故C错误；
D选项，因为 是偶函数，则 ，
又 在(0,+∞)上是增函数，所以 ，解得 ，故D正确．
故选：C．一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令 、 取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令 ，则 ，故 ，A选项错误；
令 ，则 ，故 ，B选项错误；
令 ，则 ，故 为偶函数，C选项正确；
因为 为偶函数，又函数 是定义在 上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数 ，对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，原不等式可转化为 ，根据函数的单调性和奇偶性解不等
式即可求解.
【详解】令 ，则 ，
所以不等式 可化为 ，
即 ，因为 是奇函数且在 上单调递增，
所以 ，则 ，
所以 在 上恒成立，则 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对于任意实数x，y满足
，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为奇函数 D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求 ， 由此判断A，D，再取特殊值确定 ， 的关系
结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为 ， ，
取 ， 可得 ，又 ，所以 ；A对；
取 ， 可得 ，因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
C错，B对；
取 ， 可得 ，又 ， ；
所以 ，D对；
故选：C.
4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，
当 时，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造新函数，根据定义法确定函数的单调性，再由性质法判断奇偶性，结合奇偶性与单调性解抽
象不等式.
【详解】由已知 ， ，当 时，都有
，
设函数 ，
则 ，且 ，
所以 ，
即 在(0,+∞)上单调递减，
又函数 是 上奇函数，则 是 上的偶函数，所以 在(0,+∞)上单调递减，在 上单调递增，
所以 即为 ，
所以 ，解得 且 .
故选：B.
5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数 ，则使 成立的 的范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可.
【详解】因为函数 定义域是 ，
，所以函数 为偶函数.
当 时，由复合函数的单调性可知 单调递增.
由偶函数性质可知，函数 在 上单调递减.
所以 等价于 ，
进而等价于 ，即 ，
所以 ，解之可得 或 .
故选：B.
6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ，若
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【答案】C【分析】首先利用赋值法求得 的值，再赋值 ，求得 的解析式，即可判断C，再根
据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
对于C，令 ，则有 ，
则 ，故函数 是奇函数，故C错误；
对于D，有 ，即 ，
则函数 是减函数，故D正确；
对于B，由 ，令 ，有 ，故B正确.
故选：C
7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由单调性的定义证明 在 上为减函数，记 ，求导利用函
数的单调性求解即可.
【详解】任取 ， ，且 ，设 ， ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，记 ，则 ，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递增且 ，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以 ，
所以 恒成立，所以 ，即 .
故选： .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件结合单调性的定义证明函数 的单调性，然后利
用单调性判断函数值的大小.
8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为 的函数 满足 ，
，且当 时， 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在区间 是单调递增函数
【答案】C
【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，因为当x∈(0,+∞)时， ，
所以 ，
令 ，所以 ，
即 ，解得： ，故A错误；
由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，即
令 代换 ，则 ，即 ，所以 ，令 代换 ，所以 ，故B错误；
由将 代入 ，
可得 ，化简可得f (−x)=−f (x)，
所以 为奇函数，故C正确；
令 ，则 ，解得： ， ，故D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令 ，得到 ，
令 代换 ，得到 ，两式化简即可得出答案.
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意的实数 ， 满足
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为 上的减函数 D． 为奇函数
【答案】ABD
【分析】由 ，利用赋值法求解.
【详解】解：依题意 ，且 ，
令 ，得 ，故A选项正确.
令 ，则， ，
即 ，故B选项正确
由于 ，故C选项错误.
令 ，得，
即， 即，
所以 为奇函数，故D选项正确.
故选：ABD
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．C． D． 在 上单调递增
【答案】ABD
【分析】分别赋值 可判断AB，令 可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶
性判断D.
【详解】令 ，再令 ，得 （1），
即 ，所以 ，故B正确；
令 ，得 ，
由（1）得 ，故A正确；
令 ，
即 ，故C不正确；
设 ，则 ，
则由 的分析及题意可得 ，
即 在(0,+∞)上单调递减，又 是偶函数，
∴f (x)在 上单调递增，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解抽象函数问题通常通过巧妙赋值解决，即采用赋值法解决.
11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，若对 ，都
有 ，则（ ）
A． B．
C．函数 为奇函数 D．函数 为增函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法可判断A；令 ，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用 代换x，可判断D.
【详解】对于A，令 ，则 ，结合 ，
可得 ，
令 ，则 ，即 ，
而 ，故 ，A正确；
对于C，令 ，则 ，
即 ，该函数为奇函数，C正确；
对于B，结合C的分析，令 ，则 ，B错误；
对于D，由于 ，用 代换x，可得 ，
该函数为减函数，D错误，
故选：AC
12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，
，且当 时， ；当 时， 单调递增，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D．
【答案】ACD
【分析】用赋值法，在已知等式中，令 求得 ，判断A，直接令 得 ，即
，用反证法判断B，令 ，求得 ，再令 ，判断C，令 求得
，代入选项D中不等式，然后结合奇函数的性质与单调性可判断D．
【详解】在 中，
令 得： ，又 ，∴ ，故A正确；令 得 ，∴ ，即 ，
若 ，则 ，与 时， 矛盾，故B错误；
令 ，得 ，即 ，又 ，∴ ，
再令 得 ，即 ，∴ 是奇函数，C正确；
令 得 ，即 ，
不等式 即为 ，即 ，
时， ， ， 单调递增，即 ，
又 时， ， ，
对任意的 ， 或 ，
∴ 恒成立，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，属于难题．解题方法是赋值法，即在抽象函数满足的等式
中，对变量赋值，遵循“要什么赋值什么”的原则，一步步地赋值求得结论．
13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，
欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数 ，满足 ，有
，则下面判断一定正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】利用赋值法求得一些特殊点的值，然后利用函数奇偶性和周期性的定义判断A,B,C即可;然后利用
函数的概念和性质计算选项D即可.
【详解】令 ，得 ，
令 ，得 ，故 为奇函数，所以 选项B正确，选项C错误；
令 ，得
令 ，得
所以选项A正确；
令 ，得所以
令 ，得
因为 ，
所以 ，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：赋值法常用的赋值有，两个变量相等，其中一个变量为0或1.也需要根据题意分析
得到，比如这个题中的 和 .
三、填空题
14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足 的函数的解析式
．
【答案】
【分析】利用赋值法可得函数解析式.
【详解】 中，令 ，得 ；
令 得 ，故 ，
则 ．
故答案为： ．
15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；②
．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
【答案】 （答案不唯一，符合条件即可）
【分析】由条件对 ， ， 可推测 在 上可能为对数函数，再由
确定其解析式.
【详解】因为对 ， ， ；
所以 在 上可能为对数函数，
故 满足条件①，又 ，
所以 ，故符合上述条件的函数可能为： ，
故答案为： （答案不唯一）.
16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数 为定义在 上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有 ；
（2） 在 上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由（1）（2）可设 ,由 可求 ，从而可求解.
【详解】由（1）（2）可设 ,
由 ，
可得 ，
化简可得 .
故 的解析式可为 .
取 可得满足条件的一个 .
故答案为: .
