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专题 03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性
的应用
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题型01 抽象函数的定义域.......................................................................................................................................1
题型02 抽象函数求值...............................................................................................................................................2
题型03 抽象函数的解析式.......................................................................................................................................3
题型04 抽象函数的单调性.......................................................................................................................................5
题型05 抽象函数的奇偶性.......................................................................................................................................7
题型 01 抽象函数的定义域
【解题规律·提分快招】
抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是
注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致
的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用
集合或区间来表示.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）．
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
题型 02 抽象函数求值
【解题规律·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的 ，函数 满足 ，则
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数 的定义域为 ， ， ，都有
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数 满足对任意的实数 ， ，均有 ，
且 ，则 （ ）
A．1014 B．1012 C．2024 D．20254．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知 是定义在 上的函数，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在 上的函数 满足条件① ， ，②
， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型 03 抽象函数的解析式
【解题规律·提分快招】
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数： ，则 ，
【一次函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 为奇函数；
模型3：若 则 ；
模型4：若 则 ；
【指数函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 ；
模型3：若 ，则 ；模型4：若 ，则 ；
【对数函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
模型3：若 ，则
模型4：若 ，则
模型5：若 ，则
【幂函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
代入 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
【正切函数模型】
模型：若 ，则
模型3：若 ，则
【典例训练】
一、填空题
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数 满足 ，则 的解析式可以是
（写出满足条件的一个解析式即可）．
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知 是定义在 上的单调函数，且 ，
，则 ．3．（23-24高三上·湖北·期末）函数 满足 ，请写出一个符合题意的函数 的解析
式 .
4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
① ， ， ；
② ， 且 ， .
5．（2025高三·全国·专题练习）设 是定义在 上的函数，且满足对任意 ， ，等式
恒成立，则 的解析式为 ．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意 ，都有 ；②
的函数 .
7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数 的定义域为R，且 ，
，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，写出函数
的一个解析式为 .
题型 04 抽象函数的单调性
【解题规律·提分快招】
抽象函数的性质
1.周期性： ； ；
；（ 为常数）；
2.对称性：
对称轴： 或者 关于 对称；
对称中心： 或者 关于 对称；
3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有；
在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不
变号加绝对值）；
在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号
加绝对值）；
③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
【典例训练】
1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知 是奇函数， 是偶函数，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数 是定义
在 上的偶函数，在 上单调递增．若 ，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数 ，则满足 的实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满
足 的x的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，对任
意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数 的定义域为 ，若对于任意的 ，当 时，都有
，则称函数 在 上为非减函数.设函数 在 上为非减函数，且满足以下三个条
件：① ；② ；③ .则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知 是定义在 上的偶函数，若 且 时，
恒成立， ，则满足 的实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型 05 抽象函数的奇偶性
【典例训练】
1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数 对任意实数 ， 都满足
，且 ， ，则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数 的定义域为 ，满足 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数3．已知对任意x， ，都有 ，且 ，那么 （ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B． C． 为偶函数 D． 为奇函数
5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数 满足
，且 ，则（ ）
A． B．
C． 不可能是奇函数 D． 在 上单调递增
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在 上的函数 ，满足
，且当 时， ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．若 ，则
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数 ，对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对于任意实数x，y满足
，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为偶函数C． 为奇函数 D．
4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，
当 时，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数 ，则使 成立的 的范
围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ，若
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为 的函数 满足 ，
，且当 时， 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在区间 是单调递增函数
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意的实数 ， 满足
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． 为 上的减函数 D． 为奇函数
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D． 在 上单调递增
11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，若对 ，都
有 ，则（ ）
A． B．
C．函数 为奇函数 D．函数 为增函数
12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，
，且当 时， ；当 时， 单调递增，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D．
13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，
欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数 ，满足 ，有
，则下面判断一定正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D．
三、填空题
14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足 的函数的解析式
．
15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；②
．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数 为定义在 上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有 ；
（2） 在 上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
