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专题 03 新高考情景下的结构不良问题
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题型01 解三角形结构不良..........................................................................................................................................1
题型02 数列结构不良..................................................................................................................................................2
题型03 立体几何结构不良..........................................................................................................................................2
题型04 圆锥曲线结构不良..........................................................................................................................................4
题型 01 解三角形结构不良
【解题规律·提分快招】
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某
个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典例训练】
一、解答题1．（2024·北京·三模）在 中， ， ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求 的值．
条件①： ；条件②： 的面积为 ；条件③： 边上的高为3．
2．（2024·四川宜宾·二模）在 中，角 所对的边分别是 ，在下面三个条件中任选一个作
为条件，解答下列问题，三个条件为：
① ；② ；③ .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的值.
3．（2024·全国·模拟预测）在① ；② 两
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c，且______．
(1)求角B的大小：
(2)若点D在 的延长线上，且 ， ，求 面积的最大值．
4．（2024·四川南充·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记 的面积为S，从下面①②③中选取两个作
为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，且
．(1)求角A；
(2)若 ，角A的平分线交边 于 ，在下列三个条件中选择一个作为已知，求 ．
① ；②点A在以 为焦点的椭圆 上；③ 的面积为 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型 02 数列结构不良
【解题规律·提分快招】
一、数列中的结构不良问题
1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，
而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分．
2．数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和．
3．常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【典例训练】一、解答题
1．（2024·广西贺州·一模）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，并解答．
设 是递增的等比数列，其前n项和为 ，且 ，__________．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 .
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列 的通项公式；
条件①：当 时， ；
条件②：数列 与 均为等差数列；
(2)在（1）的基础上，设 为数列 的前n项和，证明： .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
3．（2024·青海西宁·二模）已知数列 ，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面
的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列 的前 项和为
（ ）；②数列 的前 项之积为 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
4．（2024·陕西西安·模拟预测）在① ， ， ， 成等比数列，② ， ，③
， ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：已知数列 是公差为正数的等差数列，______．
(1)求数列 的通项公式；(2)数列 的前 项和为 ，对任意的 有 恒成立，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·四川德阳·三模）已知 是等差数列， 是等比数列，且 的前n项和为
，在① ，② 这两个条件中任选其中一个，完成下面
问题的解答．
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为 ，是否存在 ，使得 若存在，求出所有满足题意的 ；若
不存在，请说明理由．
6．（2024·广东广州·三模）已知数列 的各项均为正数， ，记 为 的前n项和．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
(2)若 ，在（1）的条件下，将在数列 中，但不在数列 中的项从小到大依次排列构成数列
，求数列 的前20项和．
题型 03 立体几何结构不良
【解题规律·提分快招】
一、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则l 与l 所成的角θ满足：cos θ＝；
1 2 1 2
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝.
(3)二面角：设n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
1 2
则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n，n〉＝；
1 2
注意：二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角或是向量n 与n 的夹角的补角，具体情况要判断确定．
1 2 1 2
(4)点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|BO|＝，即向量BO在法向量n的方向上的投影长.
二、几种常见角的取值范围
①异面直线成角∈(0，] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，] ；④向量夹角∈[0，π]
三、平行构造的常用方法
①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.
四、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.
五、用向量证明空间中的平行关系
(1)线线平行：设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v，则l∥l(或l 与l 重合)⇔v∥v.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u，u，则α∥β⇔u ∥u.
1 2 1 2
六、用向量证明空间中的垂直关系
(1)线线垂直：设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v，则l⊥l⇔v⊥v⇔v·v＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u 和u，则α⊥β⇔u⊥u⇔u·u＝0.
1 2 1 2 1 2
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京西城·二模）如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，点 在 上.
再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点 唯一确定，并解答问题.条件①： ；条件②：
；条件③： 平面 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体 中，底面 为正方形， .(1)求证： ；
(2)若 为 的中点， 为 的中点， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择
一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
3．（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥 中， ， ， ，D是棱
AB的中点，点E在棱AC上.
(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取
并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；
①平面 ⊥平面 ；
② ；
③ .
(2)若三棱锥 的体积为 ，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面 与平面 所成二
面角的大小.
4．（2024·河南开封·三模）已知四棱锥 的底面 是正方形，给出下列三个论断：①
；② ；③ 平面 ．(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；
(2)在（1）的条件下，若 ，求四棱锥 体积的最大值．
5．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，
， 为 中点， ．
(1)设平面 平面 ，求证： ；
(2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥 存在且唯一确定．
（ⅰ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ⅱ）平面 交直线 于点 ，求线段 的长度．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ；
条件③：四棱锥 的体积为 ．
题型 04 圆锥曲线结构不良
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知定点 ，动点 在直线 上，过点 作 的垂线，该垂线与
的垂直平分线交于点 ，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，动点 在 上，满足 ，且 与 轴不垂直．请从① 在 上；②
三点共线；③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A： ，点 ，点P为
圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨
迹为C.
(1)求C的方程.(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，
证明另外一个成立.
① 轴；②直线l经过点 ；③D，B，N三点共线.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，从下面3个
条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点 在双曲线 上；②点 在双曲线 上， ，且 ；③双曲线 的一条渐
近线与直线 垂直.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 分别为双曲线 的左、右顶点，过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若 ，求
直线 的斜率.
4．（2024·福建漳州·一模）已知过点 的直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，
的中点为 ，过 的中点 且平行于 的直线交 于点 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程．
(2)若 为轨迹 上的两个动点且均不在 轴上，点 满足 （ ， ），其中 为
坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①点 在轨迹 上；②直线 与 的斜率之积为 ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2024·福建泉州·二模）已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两
点A，B同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直线AB的
方程为 ．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 经过点 ，且与（1）的抛物线C交于A，B两点， ，若 ，
求 的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线
两两相交于M，N，P，求证： 的外接圆过焦点F．一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2024·江西宜春·三模）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ，
的周长为15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条件中任选一个，
求线段CD的长．
3．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；
条件②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
4．（2024高三下·全国·专题练习）在① ，② ，
③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且______．
(1)求角 的大小；(2)已知 ， 是边 的中点，且 ，求 的长．
5．（23-24高三上·浙江绍兴·开学考试）从① ， ， 成等差数列；② ， ， 成等比数列；③
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 为数列 的前 项和， ， ，且________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
6．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为 ，从①
；② ，且 ；③ 中任选一个条件作为已
知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，证明： .
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
7．（2024·全国·模拟预测）记 为数列 的前 项的积， ， ．
(1)求 ，并证明 ．
(2)从下面两个条件中选一个，求数列 的前 项和 ．
① ；② ．
8．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，
， ， 是 的中点， 在棱 上，且 平面 .(1)求证： 是 的中点；
(2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的余弦值.
条件①：平面 平面 ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
9．（23-24高三·山西·阶段练习） 在三棱锥 中， 是等边三角形， ， 是
边的中点.
(1)求证: ；
(2) ， ，从以下两个条件中任选一个，求直线 与平面 所成角的余弦值.①平面
与平面 所成二面角为 ；②三棱锥 的体积为 .
10．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三
角形，四边形 为菱形， 平面 ，点 为 中点.
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值
； .
11．（23-24高三上·湖南张家界·阶段练习）如图①，在梯形 中， ， ，，E为 的中点， ，以 DE 为折痕把 折起，连接 ,得到如图②的几何
体，在图②的几何体中解答下列问题．
(1)证明: ；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面 与平面 夹角的余弦值．
①四棱锥 的体积为2；
②直线 与 所成角的余弦值为 .
12．（2024高三·全国·专题练习）已知 为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线 ．
(1)请从条件 ，条件 中任选一个，求出曲线 的方程；
点 为动①圆的圆心②，动圆 与圆 内切，且与直线 相切；
①
已知 ，且点 关于直线 的对称点在曲线 上．
②
(2)过点 的直线交曲线 于 两点，分别以 为切点作 的两条切线交于点 ，求 面积
的最小值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
13．（23-24高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的 的方程.①已知点 ，直线 ，动点 到点 的
距离与到直线 的距离之比为 ；②设 是圆 上的动点，过 作直线 垂直于 轴，垂足为
，且 .
(2)在（1）的条件下，设曲线 的左､右两个顶点分别为 ，若过点 的直线 的斜率存在且不为
0，设直线 交曲线 于点 ，直线 过点 且与 轴垂直，直线 交直线 于点 ，直线
交直线 于点 ，则线段的比值 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.14．（2024·河北石家庄·一模）已知点 在双曲线C： （ ， ）上，过P作x轴的
平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，从下面两
个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
① ；② ．
