文档内容
专题 10-2 不等式选讲题型归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】绝对值不等式恒成立求参....................................................................................................................2
【题型二】绝对值三角不等式应用........................................................................................................................3
【题型三】绝对值不等式给解集求参数...............................................................................................................3
【题型四】绝对值不等式与均值不等式...............................................................................................................4
【题型五】柯西不等式型证明..................................................................................................................................5
【题型六】柯西不等式求最值与参数....................................................................................................................6
【题型七】三元不等式证明......................................................................................................................................6
【题型八】利用三元不等式求最值........................................................................................................................7
【题型九】分析法证明不等式..................................................................................................................................8
【题型十】综合法证明不等式..................................................................................................................................8
专题训练............................................................................................................................................................................9
讲高考
1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2) ；
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．
3．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
题型全归纳
【题型一】绝对值不等式恒成立求参
【讲题型】
例题1.已知函数 , ．
（Ⅰ）当 时,求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ,且当 时，都有 ,求 的取值范围．
例题2.已知函数 .（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 .当 时， 恒成立，求实数 的取值范
围.
【讲技巧】【练题型】
1.已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数
的取值范围．
2.已知函数 .（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【题型二】绝对值三角不等式应用
【讲题型】
例题1.已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
例题2.．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
【讲技巧】
绝对值三角不等式
||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b
【练题型】
1.已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
2.已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
【题型三】绝对值不等式给解集求参数【讲题型】
例题1.已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数a的范围.
例题2.已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【讲技巧】
解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
形如 （或 ）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为 ， ，
（此处设 ）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式
进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数 和 的图象，结合图象求解．
【练题型】
1. ．
(1) 时，解不等式 ；
(2)若区间 是不等式 的解集的子集，求 的取值范围．
2.已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围.
【题型四】绝对值不等式与均值不等式
【讲题型】
例题1.已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 的最大值为2，求 的最小值.
例题2.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，函数 的最小值为 ， （ ），求 的最小值.
【讲技巧】
利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用 ，求和的最小值；
（2）和定，利用 ，求积的最大值；
（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.
【练题型】
1.关于 的不等式 的解集为 ，其中 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若正数 ， 满足 ，求 的最小值．
2.已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 的最小值为M，若正数a，b，c满足 ，证明 ．
【题型五】柯西不等式型证明
【讲题型】
例题1.设 、 、 为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)证明： ．
例题2.已知正数a，b，c，d满足 ，证明：
(1) ；
(2) .
【讲技巧】
柯西不等式，可以通过观察凑配法来准确构造：
位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配
具体可以用下边推论来待定系数配凑
【练题型】
1.已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，证明： ．2.已知 ， ， ， ， ， 都是实数，且 ， .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .
【题型六】柯西不等式求最值与参数
【讲题型】
例题1.对 ， 的最小值为 .
（1）若三个正数 、 、 满足 ，证明： ；
（2）若三个实数 、 、 满足 ，且 恒成立，求
的取值范围.
例题2.．（1）已知x，y为正实数．证明： ．
（2）对任意的正实数x，y，均有 成立，求k的取值范围．
【练题型】
1.柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：
对任意实数 和 ，（ ， ），都
.
（1）证明 时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
2.已知 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，求 的取值范围．
【题型七】三元不等式证明
【讲题型】
例题1.已知a，b，c都是正数，且 1. 证明：
(1) ；
(2) ．
例题2.已知正数 满足 ．
(1)求证：
(2)若正数 满足 ，求证：【讲技巧】
三元形式不等式较难，具有明显的“对称特性”特征，可用均值，柯西不等式来证明，
较复杂的，可以因式分解，恒等变形，用分析法综合法，构造均值来证明
【练题型】
1.已知 ，求证：
(1) ；
(2) .
2.设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【题型八】利用三元不等式求最值
【讲题型】
例题1.已知 的最小值为 .
(1)求 的值；
(2)正实数 ， ， 满足 ，求 的最大值.
例题2.已知函数 的定义域为 ；
（1）求实数 的取值范围；
（2）设实数 为 的最大值，若实数 满足关系式 ，求
的最小值.
【练题型】
1.已知a，b，c为正数．
（1）证明 ；
（2）求 的最小值．
2.已知 都是正数，且 ，用 表示 的最大值，
.
（1）证明 ；
（2）求M的最小值.【题型九】分析法证明不等式
【讲题型】
例题1.已知a，b，c为正数，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明：
例题2.已知 ， ， .
(1)求 的范围；
(2)证明： .
【练题型】
1.已知正数 ， ， 满足 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
2.设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证： .
【题型十】综合法证明不等式
【讲题型】
例题1.已知 ，函数 的最小值为3．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
例题2.已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【练题型】
1.已知实数 ， ， 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)用 表示 ， ， 的最小值，证明： ．
2.设函数 ．
（1）求函数 的最小值；（2）若函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，证明：
．
1．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．
2．设 均不为零，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
3．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)当 时，求证： .
4．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)函数 最小值为 ，求 的最小值．
5．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
6．已知函数 ．
(1)若 的最小值为1，求a的值；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
7．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．8．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
9．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
