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专题02 不等式
能力提升检测卷
时间：60分钟 分值：100分
一、 选择题（每小题只有一个正确选项，共10*5分）
1．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
若 ,则 ，即 成立，
若 则 ，则 或 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．若实数 ， ，满足 ，以下选项中正确的有（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】D
【解析】
实数 ， ， ，
整理得 ，当且仅当 时取 ，故选项A错误；
( ，
当且仅当 时取 ，故选项B错误；， ，
，当且仅当 时取 ，
但已知 ,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当 时取 ，故选项D正确，
故选：D
3．已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值是 ；
故选：B
4．已知 是 的三边长，且方程 有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【解析】
方程有两个相等的实数根，则 ，
又有 ，
或 ，又 ，故是等腰三角形.
故选：A
5．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为 的矩形菜园，墙长为 ，小王需要合理安排矩形的长宽
才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则 ，且 ，
则 ，当且仅当 (m)，符合题意，
即长、宽分别略为 、 时，篱笆的最短长度为 ，
故选：C．
6．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 ，开口向上，对称轴为直线 ，
所以要使不等式 在区间(2，5)内有解，只要 即可，
即 ，得 ，所以实数a的取值范围为 ，
故选：D
7．若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：令 ， ，满足 ，但不满足 ，故A错误；
， ，故B错误；
， ， ， ， ，故C正确；
， ，故D错误．
故选：C．
8．已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，
所以 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故选：A.
9．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且 ，则 的最小值
为（ ）A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【解析】
因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且 ，
所以 ，且 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为16，
故选：A
10．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在
各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中 ，
，曲线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为 ，周长为 ，则
的最大值为（ ）．（本题中取 进行计算）A．6 B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】
圆弧的半径为 ，则 ， ．
所以周长 ，面积 ．
所以
．
当且仅当 ， 时等号成立．
故选：B
二、 主观题（共5小题，共50分）
11．比较 与 )的大小.
【答案】
【解析】
当 时， ， ，
即 ；当 时， ， ，
即 ；
综上所得 .
12．解下列不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或 或
(4) 或
(5) 或
【解析】
(1)
可化为 ，解得： 或 ，
所以原不等式的解集为： 或 .
(2)可化为 ，解得： ，
所以原不等式的解集为： .
(3)
对于不等式 ，用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： 或 或 .
(4)
对于不等式 ，可化为 用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： 或 .
(5)
可化为： ，用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： 或 .
13．已知 ，求 的最小值．
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，，
当且仅当 “ ”时取等号，即 且 ，
即 时取等号.
所以 的最小值为： .
14．设函数 ．
(1)若不等式 的解集 ，求a，b的值；
(2)若 ， ， ，求 的最小值，并指出取最小值时a，b的值．
【答案】(1)
(2) ， 时， 的最小值是2
【解析】
(1)
由 的解集是 知 是方程 的两根，
由根与系数的关系可得 解得 ，
即 .
(2)
由 得 ， ， ，，
当且仅当 ，即 ， 时取等号， 的最小值是2．
15．已知函数 .
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若 ，关于 的不等式 的解集为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
由题意知 ，
化简得 ，解得 .
所以所求不等式的解集为 .
(2)
不等式 可化为 .
关于 的方程 的判别式 ，
方程的根 .
所以 ，
又 ，
所以 ，
解得 或 ，因为 ，所以 .
解法二：不等式 可化为 .
关于 的方程 的判别式
，
设方程的根为 ，则 .
不妨设 ，则 ，
又 ，
所以 ，
解得 或 ，
又 ，所以 .
