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第 2 讲 等式性质与不等式
本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通
过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方
程和不等式的数学思想。
考点一 等式性质与不等式的性质
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b⇔ a－b＝0；
(3)ab，c<0⇒ac0，b>0).
高频考点一 等式性质与不等式性质
例1、已知 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
【解答】
解：对于 ：当 时，根式无意义， 选项错误；
对于 ：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；
对于 ： ，当 时， 不成立；
对于 ：当 ， 时， ，但 不成立．故选： ．
【变式训练】
1．若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
对于A，若 ，则 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以C错误，
对于D，若 ，则 ，所以D错误，
故选：B
高频考点二 “1”的代换型
例2、已知x，y均为正实数，且 ，则x+3y的最小值为__________
【详解】x，y均为正实数, ,
当 时等
号成立.故答案为：2.
【变式训练】
1.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
【答案】C
【详解】由题意 ，当且仅当 ，即
时等号成立．故选：C．
2.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D
【详解】 ，当且仅当 ，即 ，b＝
6时，等号成立，故 的最小值为27。故选：D
3.已知正实数 ，b满足 ＋b＝1，则 的最小值为_____
【详解】因为 ，且 都是正实数.所以
当且仅当 时，等号成立.所以 的最小值为
【做题技巧】
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
高频考点三 “和”与“积”互消型
例3、 已知x、y都是正数，且满足 ，则 的最大值为_________．
【答案】18.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，（当且仅当 时，取等号）
即 ，解得 ，所以得 ，
所以 的最大值是 .此时 ， .故答案为：18.
【变式训练】
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知 ，乘“ ”得 ，当且仅
当 时，取等号，则 的最小值为 .故选：A
2.已知 ，且 ，则 的最小值为___________．【答案】6
【详解】
由 ，得 ，又 ， ，
，即 ，解得： 或 ，
又 ， ，当且仅当 ，即 时取等号．故答案为：6．
【基本规律】
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。
高频考点四 以分母为主元构造型
例4、已知非负数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，
当且仅当 取等号，故选：B
【变式训练】
1.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【详解】 ， ，又 ，且 ，
，
当且仅当 ，解得 ， 时等号成立，故 的最小值为9．故选：A．
2.已知正数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】已知正数 、 满足 ，则
，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是 .故选：C.
3.设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】 ， ，
，当且仅当 ，
即 时取等号故选：A
【基本规律】
构造分母型：
1.以分母为主元构造，可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
高频考点五 构造分母：待定系数
例5、已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求
当且仅当 时取等号，所以答案为 .故选:A.【变式训练】
1.知正实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设 ，可得 ，解得 ，
所以，
.当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .故选：A.
2.已知 ， ， ，则 取到最小值为 ．
【答案】 ．
【解析】试题分析：令 ，∴ ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值是 ．
【基本规律】
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”方法：直观凑配或者分母换元
高频考点六 分子含参型：分离分子型
例6、若 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .故答案为： .
【变式训练】
1.已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因此 ，
因为 是正实数，所以 ，（当且仅当
时取等号，即 时取等号，即 时取等号），故选：A
2.若 ，且 ，则 的最小值为_________
【答案】
【分析】令 ，可得 ，化简可得 ，再结合基本不等式可求解.
【详解】令 ，则 ，则 ，即 ，
则，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .故答案为： .
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则 的最小值是_____．
【答案】
【方法总结】
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
高频考点七 反解代入型:消元法
例7、已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为______．
【答案】
【详解】由 ，得 ，由 ，得 ，所以
，当且仅当 ，即 时等号成立，、
所以 的最大值为 .故答案为： .
【变式训练】1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，得 ，
所以 ，记 ，所以 ，
所以 ，且 ，所以
，当且仅当 即 等号成立，此时 ， .
2.若正数 ， 满足 ，则 的最小值是______，此时 ______.
【答案】2 2
解： ， ， ，因为 、 ，所以 ，即
，
即 ，当且仅当 ，即 时取等号，故答案为：2；2．
3.若正实数 满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】由 且 知： ，∴
当且仅当 时等
号成立，即 时等号成立.故答案为：
【方法总结】
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
高频考点八 反解代入型:消元法
例8、非负实数 满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】【详解】由题意，非负实数 满足 ，可得 ,
又由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，所以 或 ，所以 ，
即 时， 的最小值为 .故答案为： .
【变式训练】
1.已知 ，且 ，则 的最小值是___．
【答案】
【解析】原式可变形为 ，两边同时乘以2，得 ，所以
，即x+2y ，当且仅当 时等号成立。
填
2.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_______．
【答案】6√2−1
【详解】a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9 ，
即（2a+2b）（a+2b+1）=18 ，可得
，
3a+4b+1=（2a+2b）+（a+2b+1）≥2√(2a+2b)(a+2b+1)=6√2
当且仅当2a+2b=a+2b+1 时，上式取得等号，即有3a+4b的最小值为6√2−1.故答案为：6√2−1
【方法总结】
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
高频考点九 均值用两次
例9、 是不同时为0的实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】因为a，b均为正实数，则
，
当且仅当 ，且 取等，即 取等号，
即则 的最大值为 ，故选：A．
【变式训练】
1.设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）A．
B． C． D．
【详解】．A
设 ，则
所以
当且仅当 即 时取等号所以 的最小值是 ，则 的最大值为 .故选A
2.已知 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】2
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以 最小值为2.故答案为：2.
3.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为______.【答案】
【详解】因为 ，即 ，所以
，上述两个不等式均是当且仅当 时取等号，所以 的最小值
为 .故答案为： ．
【方法总结】
两次均值，逐次消去，取等条件一致
