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专题17.10 勾股定理的逆定理（直通中考）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·山东·统考中考真题） 的三边长a，b，c满足 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，
四边形 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2019·湖南益阳·统考中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A
为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则
△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2018·湖南长沙·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一
道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲
的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我
国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
5．（2017·湖北黄石·中考真题）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=
，则∠CDE+∠ACD=（ ）A．60° B．75° C．90° D．105°
6．（2016·广东广州·中考真题）如图，已知△ABC中，AB=10 ，AC=8 ，BC = 6 ，DE是AC的垂直平
分线，DE交AB于点D ，交AC于点E ，连接CD ，则CD的长度为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
7．（2011·陕西·中考真题）在△ABC中，若三边BC ,CA,AB满足 BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=
（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·江苏南通·中考真题）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
9．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．
C． D．点 到直线 的距离是2
10．（2012下·八年级课时练习）五根木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直
角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离
开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于
点 ， 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿 方向航行．
12．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，以点 为端点的四条射线 ，
， ， 分别过点 ，点 ，点 ，点 ，则 （填“ ”
“ ”“ ”中的一个）．
13．（2013·内蒙古包头·中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE
绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．14．（2012·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状为 ．
15．（2023·四川成都·模拟预测）若 为 的三边，且 满足
，则 的最长边的高的长度等于 ．
16．（2022上·吉林·八年级统考期末）如图，在 中，
平分 ，如果点P，点Q分别为 上的动点，那么
的最小值是 ．
17．（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形
的顶点，则 的度数为 ．
18．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）阅读以下解题过程：
已知a、b、c为 的三边长，且满足 ，试判断 的形状．
错解：∵ ……①
……②
……③
是直角三角形 ……④
上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ，错误的原因是
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·吉林·统考中考真题）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，线段 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以 为边各画一个等腰三角形，使其
依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
20．（8分）（2023·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上 与纸盒上 的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
21．（10分）（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在 中，内角 所对的边分
别为 ．
（1）若 ，请直接写出 与 的和与 的大小关系；（2）求证： 的内角和等于 ；
（3）若 ，求证： 是直角三角形．
22．（10分）（2018·山东日照·中考真题）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在
Rt ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC= AB．
△
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE= AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之
间的数量关系为 ．
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边 ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．
试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明△．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量
关系？请直接写出你的结论 ．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣ ，1），点B是x轴正半轴上的一
动点，以AB为边作等边 ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
△23．（10分）（2018·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
24．（12分）（2013·贵州贵阳·中考真题）在 ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当
△a2+b2=c2时， ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究 ABC的形状
（按角分类）△． △
（1）当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为 三角形；当 ABC三边分别为6、8、11时，
ABC为 △ 三角形． △ △
△ （2）猜想，当a2+b2 c2时， ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时， ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时， AB△C的形状，并求出对应的c的取值范围．△
△
参考答案：
1．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由
的关系，可推导得到 为直角三角形．
解：解∵
又∵
∴ ，
∴解得 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一
个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
2．B
【分析】根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比
较大小即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵四边形 是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高 ，
∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴选B．
【点拨】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解
题的关键．
3．B
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即
可得出△ABC是直角三角形．
解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个
三角形就是直角三角形．
4．A
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
5．C
解：试题分析：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，∴BC=2CE= ，∵AB=2，AC=1，∴AC2+BC2=12+（ ）
2=4=22=AB2，∴∠ACB=90°，∵tan∠A= = ，∴∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，∴∠CDE=60°，∴∠CDE+∠ACD=90°，故选C．
考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
6．D
解：已知AB=10,AC=8,BC=8,根据勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，又因DE为AC边的中
垂线，可得DE⊥AC，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，即可得DE= =3,再根据勾股定理求出
CD=5，故答案选D.考点：勾股定理及逆定理;中位线定理;中垂线的性质.
7．C
解：试题分析：设BC=5X,CA=12X,AB=13X，根据题意可知， ,所以是直角三角形，故
cosB= ，故选C
考点：特殊角的三角函数
点评：本题属于对特殊角的三角函数的基本知识的理解和运用
8．A
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就
是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
解：A、∵32+42=52，
∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，
∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，
∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点拨】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形就是直角三角形．
9．A
【分析】求出 ，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据
勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
解： ， ， ，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；设点 到直线 的距离是 ，
，
，
，
点 到直线 的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
10．D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方
即可．
解：A、 ， ， ，故A不正确，不符合题意；
B、 ， ，故B不正确，不符合题意；
C、 ， ，故C不正确，不符合题意
D、 ， ，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、
b、c满足 ，那么这个三角形为直角三角形．
11．北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得 海里，PB=16海里， ，则有 ，所以
∠APB=90°，进而可得 ，然后问题可求解．
解：由题意得： 海里，PB=1×16=16海里， ， 海里，
∴ ，
∴∠APB=90°，
∴ ，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关
键．
12．=
【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到 ．
解：连接DE，如图
∵点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，
由勾股定理与网格问题，则
， ，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴ ；
故答案为：=．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握
掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
13．135
解：试题分析：如图，连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2 ，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
14．等腰直角三角形
解：∵ ，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
15．
【分析】本题利用完全平方公式逆运算对方程进行转换,进而求出三边长，根据
，可以求得 的值，从而可以判断 的形状，从而可以求得最
长边上的高．
解： ，
，
∴ ，
∴ ，
解得， ，∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴斜边上的高是： ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形
面积公式是解题的关键．
过点 作 交于 点，交 于 点，过点 作 交于 点，此时 的值最小，
再由三角形的面积求出 边上的高即为所求．
解：过点 作 交于 点，交 于 点，过点 作 交于 点，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
此时 的值最小，
因为 ，
故 是直角三角形，
故 的面积 ，
∴ ，
∴ 的值最小为 ，
故答案为： ．
17． /45度
【分析】连接 ，利用勾股定理及其逆定理证明 是等腰直角三角形即可．解：连接 ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个
三角形是直角三角形．
18． ③ 不能确定 是不是等于0
【分析】根据等式的性质和勾股定理的逆定理进行计算即可得．
解：∵
或 ，
∴ 或 ，
是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
∴从第③步开始错误，错误原因是不能确定 是不是等于0，
故答案为：③，不能确定 是不是等于0．
【点拨】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，学会分类讨论．
19．见分析
【分析】根据勾股定理可得 ，结合题意与网格的特点分别作图即可求解．
解：如图所示，
如图①， ，则 是等腰三角形，且 是锐角三角形，
如图②， ， ，则 ，则 是等腰直角
三角形，
如图③， ，则 是等腰三角形，且 是钝角三角形，
【点拨】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1） ；（2）证明见分析.
【分析】（1） 和 均是等腰直角三角形， ；
（2）证明 是等腰直角三角形即可.
（1）解：
（2）证明：连接 ，设小正方形边长为1，则 ， ，
，
为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
故
【点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的
关键．
21．（1） ；（2）证明见分析；（3）证明见分析
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，
∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
解： 在 中， ，
；
如图，过点 作 ，
，
（两直线平行，内错角相等），
（平角的定义），
（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于 ；（3） ，
，
，
，
是直角三角形．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
22．（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由见分析；（3）ED=EB；拓展应用：C（1，2+ ）．
【分析】探究结论：（1）只要证明 ACE是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，结论：ED=EB．想办△法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；
（3）结论不变，证明方法类似；
拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题.
解：探究结论（1），如图1中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵AC= AB=AE=EB，
∴△ACE是等边三角形，
∴EC=AE=EB，
故答案为：EC=EB；
（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，
∵△ACP， ADE都是等边三角形，
∴AC=AD=△DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，
∴∠CAD=∠PAE，
∴△CAD≌△PAE，
∴∠ACD=∠APE=90°，
∴EP⊥AB，∵PA=PB，
∴EA=EB，∵DE=AE，
∴ED=EB；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，
故答案为：ED=EB；
拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，
∵A（﹣ ，1），
∴∠AOH=30°，
由（2）可知，CO=CB，
∵CF⊥OB，
∴OF=FB=1，
∴可以假设C（1，n），
∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（ +2）2，
∴n=2+ ，
∴C（1，2+ ）．
【点拨】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、
线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键.
23．（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据a=b，写出正确的结论即可．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结
论，注意考虑问题要全面．
24．（1）锐角；钝角；（2）＞；＜；（3）①当4≤c＜2 时，这个三角形是锐角三角形；②当c=2
时，这个三角形是直角三角形；③当2 ＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可：
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后
分情况讨论即可得解．
解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=10，
∴当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为锐角三角形；
当 A△BC三边分别为6、8、11时， △ABC为钝角三角形．
△ △（2）当a2+b2＞c2时， ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时， ABC△为钝角三角形．
（3）∵c为最长△边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20．
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2 ，
∴当4≤c＜2 时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2 ，
∴当c=2 时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2 ，
∴当2 ＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三
角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
