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考点 9-1 线性规划与不等式性质
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式 的解集 ，
故选：A.
2．（2020·全国·高考真题（文））已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
【详解】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当 时，该不等式成立，当 时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等
式恒成立问题.
【详解】当 时，该不等式为 ，成立；
当 时，要满足关于 的不等式 对任意 恒成立，只需 ，解
得 ，
综上所述， 的取值范围是 ，
故选：A.
4.（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____
【答案】 ＃＃0.25
【分析】根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的几何意义进行求解.
【详解】在直角坐标系中，根据约束条件，画出可行域对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示.
联立 ，解得 ，所以 ,
表示区域内的点与点 连线的斜率，当直线经过点 时，斜率最大为 .
故答案为:5．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集中恰有3个正整数，则实数
的取值范围为___________．
【答案】 ，
【分析】不等式化为 ，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
【详解】 可化为 ，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为 ，且 ；
故答案为： ， ．
6.（2020·浙江·高考真题）已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【分析】对 分 与 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
7．（2022·河南·高三阶段练习（理））若x，y满足约束条件 则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的几何意义：函数 表示可行域内的点与点的距离的平方即可求解.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图．
的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方．
由图可得A与坐标原点距离最远，
∵点A的坐标为 ，∴ 的最大值为 ．
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为
A． B． ，
C． ， ， D． ，
【答案】B
【分析】通过讨论 的范围，结合二次函数的性质求出 的范围即可．
【详解】解： 时， 成立，
时， ，
故 ，
综上： ，
故选：B．
9（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范
围为___________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.【详解】 ，
当 时，原不等式化为 ，显然 ，不符合题意；
当 时，不等式的解集为 ，其中解集中必有元素 ，
若五个整数是 时，可得 ，此时解集为空集，
若五个整数是 时， ，此时解集为空集，
若五个整数是 时， ，
若五个整数是 时， ，此时解集为空集，
若五个整数是 时， ，此时解集为空集；
当 时，不等式的解集为 ，其中解集中必有元素 ，
若五个整数是 时，可得 ，此时解集为空集，
若五个整数是 时， ，此时解集为空集，
若五个整数是 时， ，
若五个整数是 时， ，此时解集为空集，
五个整数是 时， ，此时解集为空集，
故答案为： .
【点睛】关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键.
10．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））满足不等式 整数解
个数为______．
【答案】5100
【分析】利用穿针引线法得到整数解的规律，然后利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】利用穿针引线法解不等式．如图示：
满足不等式 整数解有：
在 有 个；
在 有 个；
……
在 有 个．
由此归纳得：在区间 内有 个．
所以整数解的个数为 ．
故答案为：5100
11.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的不等式 的解
集为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件分 ， 和 三种情况讨论，由 ，求出 的取值范围．
【详解】解：显然当 时， ，不满足条件；
当 时，易知 ，当 时， ，于是 ，
而由 ，可得 ，即 ，所以 也不满足条件，当 时，函数 ，
因为关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则在 上，函数 的图象应在函
数 的图象的下方，
如图所示，要使在 上，函数 的图象在函数 的图象的下方，
只要 即可，即 ，
化简可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ，关于 的不等式 的解集为 ，
则实数a、b、 、 从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知 ，再利用中间量 ，根据 与 之间的关系求出的取值范围，即可
判断a、b、 、 之间的关系.
【详解】由题可得： ， .由 ， ，设 ，则 .所以，所以 ， .又 ，所以 ，
所以 .故 ， .又 ，故 .
故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）若 ， 满足约束条件 则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出可行域， 可化为 ，根据 的几何意义结合可行域求出
的范围，根据 的单调性求出最值即可得解.
【详解】作出可行域，如图所示，
联立 ，解得 ，联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
因为 ， 可表示为可行域内的点 到原点的距离，数形结合可得最大距离为 ，且 ，
最小距离为原点到直线 的距离 .
令 ，则 .
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ， ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
14．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数 ，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】将不等式 的解集为 转化为 的解为 及当 时，
恒成立，从而可求得 .
【详解】不等式 等价于 或 ，
而 的解集为 ，
故 的解为
且 对任意的 恒成立.
又 即为 ，若 ，则 即为 ，这与解为 矛盾；
若 ，则 即为 ，这与解为 矛盾；
若 ，则 即为 ，
因为 的解为 ，故 .
当 时， 恒成立即为 恒成立，
令 ，则 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 .
综上，
故答案为： .
【点睛】思路点睛：与分段函数有关的不等式解的问题，应该就不同解析式对应的范围分类讨论，讨论时
注意结合解析式的形式确定分类讨论还是参变分离.
15．（2022·北京·测试学校四高三）已知 是二次函数， ，且 ，则
___________.
【答案】36
【分析】法一：由 ，可设 ，则由 整理后即
为 ，由 得 ，讨论 ，
可得出 ，由此可解出 ，可求出 的解析式，即可得出答案.
法二：由 ，设 ，讨论 和
结合题目条件可解得 ，可求出 的解析式，即可得出答案.
【详解】法一：
由 ，可设 ，
则由 得 ，所以 且 ，整理后即为 ，
由 得 ，
若 则必有 ，此时与 矛盾，
所以 且 ，
整理后为 ，
与 相加即得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
又由于在原不等式中令 可得 ，所以 ，由此解得 .
所以 .
法二：
，
令 ，则 ，设 .
若 ，则
，
于是 时，存在 使得 ，矛盾；
时，存在 使得 ，矛盾；
故 ，令 ，则 .
于是 ，进而 .
故答案为：36.
