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专题2.7 多项式（知识讲解）
【学习目标】
1．认识整式的意义及表示方法；
2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
【要点梳理】
要点一、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
特别说明：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
特别说明：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
6x2 2x7
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做 这
个多项式的次数．
特别说明：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和， 而
是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定 最
高次项时，都应写出．
要点二、 整式
单项式与多项式统称为整式．
特别说明：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，
但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【典型例题】
类型一、多项式的判断
1．定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f
（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝
b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．
(1)f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
(2)请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝ （不多于四项）；
【答案】(1)见分析(2)a+b，答案不唯一
【分析】
（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可
判断；（2）根据定义即可写出，答案不唯一．
(1)解：∵f（b，a）＝a2﹣2ab+b2，
∴f（a，b）＝f（a，b），
∴f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”．
(2)∵f（a，b）＝a+b，f（b，a）＝b+a，
∴f（a，b）＝f（b，a），
∴f（a，b）＝a+b是“对称多项式”．
故答案为：a+b．（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？
【答案】单项式： ;多项式： ；单项
式的系数分别为： ；多项式 的次数最高，4次．
【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即
可．
解：单项式： ;
多项式： ；
单项式 的系数是： ；单项式 的系数是： ；单项式 的系数是：
；多项式 的次数最高，4次．
【点拨】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键．
【变式2】将下列代数式按尽可能多的方法分类（至少写三种）：
．
【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，
分式分类，即可．
解：①整式： 分式： ；
②单项式： 多项式： 分式： ；
③单项式： 二项式： 四项式： 分式：
．
【点拨】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项
式的定义是解题的关键．
类型二、多项式的项、项的系数、次数
2．已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣ x2﹣ x2ym+3的次数为6，求
单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．
【答案】8
【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次
数，即可得出答案．
解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6＋x2y− x2− x2ym＋3的次数为6，
∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，
解得：m＝1，n＝3，
∴（m＋n）xmyn＝4xy3，
系数是4，次数是1＋3＝4，
4＋4＝8，
即单项式（m＋n）xmyn的次数与系数的和是8．【点拨】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
举一反三：
【变式1】已知多项式 是六次四项式，单项式 的次数与这
个多项式的次数相同，求 的值．
【答案】 ．
【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得 的值，进而求得
的值．
解：因为多项式 是六次四项式，
所以 ， 解得 ．
因为单项式 的次数与这个多项式的次数相同，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故 ．
【点拨】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键．
【变式2】已知 是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【答案】（1）m＝1，n≠-2时，该多项式是关于x的二次多项式；（2）m＝-5，n＝-2
时该多项式是关于x的三次二项式．
【分析】
（1）根据多项式为二次多项式即可列出关于m，n的式子进行求解；
（2）根据多项式为三次二项式即可列出关于m，n的式子进行求解．
解：（1）由题意得：m-1＝0，且n+2≠0，
解得：m＝1，n≠-2，
则m＝1，n≠-2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得：m-1≠0，n+2＝0，且2m-5n＝0，
解得：m≠1，n＝-2，
把n＝-2代入2m-5n＝0得：m＝-5，
则m＝-5，n＝-2时该多项式是关于x的三次二项式．【点拨】此题主要考查多项式的性质，解题的关键是根据多项式的特点列式求解．
类型三、由多项式的系数、指数求值
3、已知多项式 是五次四项式，单项式 与该多项
式的次数相同．
（1）求m、n的值．
（2）若 ，求这个多项式的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）根据多项式 是五次四项式，可得 ，根据单项式
与该多项式的次数相同可得 ，求解即可；
（2）根据 得出 的值，然后代入多项式中求解即可．
解：（1）∵多项式 是五次四项式，
∴ ，解得 ，
∵单项式 与该多项式的次数相同，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ ， ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由（1）得这个多项式为： ，
∴
＝
＝＝ ，
所以这个多项式的值为 ．
【点拨】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，
有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的
次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单
项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得．
解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【点拨】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数
的判断，得出m、n的值，难度一般．
【变式2】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式 是
六次四项式，单项式 的次数与这个多项式的次数相同，求
的值．
【答案】10
【分析】直接利用相反数以及倒数的定义得出a＋b＝0，cd＝1，结合多项式次数确定
方法得出m的值，再利用单项式次数确定方法得出n的值，进而得出答案．
解：∵多项式 是六次四项式，
∴2+m+1＝6，解得：m＝3，
∵单项式 的次数与这个多项式的次数相同，∴2n+5﹣m＝6，
则2n+5﹣3＝6，
解得：n＝2，
∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021
＝0+9﹣（1﹣2）2021
＝9﹣（﹣1）
＝10．
【点拨】此题主要考查了单项式和多项式次数确定方法，正确得出m，n的值是解题
关键．
类型四、按某个字母升幂（降幂）排列
4、把多项式3x5y3－5x3y2－2x4y－3xy5＋x2y4－1按下列要求排列：
（1）按x的升幂排列； （2）按y的降幂排列．
【答案】（1） ；
（2）
【分析】
（1）根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起
来即可．
（2）根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起
来即可．
解：（1）按x的升幂排列： ，
（2）按y的升幂排列： ．
【点拨】此题考查了多项式的降幂排列的定义．首先要理解降幂排列的定义，然后要
确定是哪个字母的降幂排列，这样才能比较准确解决问题．
举一反三：
【变式1】请把多项式 重新排列．（1）按x降幂排列： （2）按y降幂排列．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可；
（2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可．
解：（1） 按x降幂排列： ；
（2） 按y降幂排列： ．
【点拨】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是
解题的关键．
【变式2】已知多项式 是五次四项式，且单项式 的次数与
该多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用多项式的有关定义得到2+m-1=5，2n+1=5，然后分别求出m、n；
（2）根据降幂排列的定义求解．
解：（1）∵多项式 是五次四项式，
∴ ，
解得 ．
∵单项式 的次数与该多项式的次数相同，
∴ ，
解得 ；
（2）∵m=4，
∴多项式为 ，∴按x的降幂排列为
【点拨】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的
项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
类型五、据要求写出多项式
5、已知代数式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，
⑦ ，⑧ ，⑨ ．
其中属于单项式的有_________________；（填序号）
属于多项式的有____________________；（填序号）
属于整式的有__________________________．（填序号）
【答案】①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨
【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类．
解：单项式有： ， ， ， ；
多项式有： ， ；
整式有： ， ， ， ， ， ．
故答案是：①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨．
【点拨】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式
和整式的分类．
举一反三：
【变式1】指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应
的横线上：① ；②-x；③ ；④10；⑤6xy+1；⑥ ；⑦ m2n；⑧2x2-x-5；
⑨a7；⑩
单项式：____________________________；
多项式：________________________；
整式：________________________；【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨．
【分析】 ， 的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再
根据单项式、多项式和整式的概念来分类．
解：单项式有：-x，10， m2n，a7；
多项式有： ， ，6xy+1，2x2-x-5；
整式有： ，-x， ，10，6xy+1， m2n，2x2-x-5，a7．
【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解
答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．
【变式2】若将边长为 a 、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼
成一个长方形A B C D 不重叠、无缝隙），如图②所示.
1 1 1 1
（1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式；
（2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形
与图①中的 a 、b 相同），在图 3 已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分
别写出.
【答案】(1) (2)2组，矩形 的面积=正方形 的面积和
矩形 的面积=正方形 的面积
【分析】
(1)根据正方形、矩形的面积公式计算；
(2)根据(1)的结论得到 ，结合图形计算，得到答案．
解：(1)由题意可得：；
(2)由(1)可知, ，
，
矩形 的面积 ，
正方形 的面积 ，
矩形 的面积=正方形 的面积 ，
则矩形 的面积=正方形 的面积。
【点拨】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相
等去写出等式即可.
类型六、整式的判断
6、阅读下文，寻找规律：
已知： ，观察下列各式：
；
；
；
；
…
(1)填空：
① _________；
② _________．
(2)根据你的猜想，计算：
① _________；②那么 的末尾数字为_________．
【答案】(1) ， (2) ，1
【分析】
（1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项
的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案；
（2）①把x=2，n=2020代入所得的规律中即可得到答案；②先探究 的末尾数字的
规律，然后根据规律求解.
(1)解：①根据规律可得： ；
②原式
；
(2)解：①∵ ，
把x=2，n=2020代入，
得： ，
②∵ 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数字是
6， 的末尾数字是2，…，
∵ ，
∴ 的末尾数字是2，
∴ 的末尾数字是1.
【点拨】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索
出规律，根据规律答题.
举一反三：
【变式1】阅读下列材料，完成相应的任务：
三角形数
古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角
形数”，第n个“三角形数”可表示为： ．
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： ； ；；…
(1)第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为__________；
(2)第n个“三角形数”与第 个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：
__________+__________=__________，请补全等式并说明它的正确性．
【答案】(1)36(2) ， ，
【分析】
（1）根据第n个“三角形数”可表示为： 进行求解即可；
（2）根据规律得到等式并化简即可证明．
(1)解：第5个“三角形数”为： ；
第6个“三角形数”为： ；
第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为：15+21=36，
故答案是：36；
(2) + =
理由：
∵左边 右边
∴原等式成立．
故答案是： ， ， ．
【点拨】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解“三角形数”的概念是解题
的关键．
【变式2】下面各行中的数都是正整数， 观察规律并解答下列问题：
(1)数字12的位置在第4行，从左往右数第5个数，可以表示成(4，5)，那么(5，6)表
示的数是(2)第n行有 个数(用含n的代数式表示)
(3)数字2022排在第几行？从左往右数第几个数？请简要说明理由．
【答案】(1)22(2) (3)45行；86个；理由见分析
【分析】
（1）根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而写出(5，6)表示的数；
（2）根据图中的数据，可以写出第n行的数字个数；
（3）根据前面发现的数字的变化特点，可以写出数字2022排在第几行，从左往右数
第几个，并说出理由．
(1)解：由图中的数据可知，第n行的最大的一个数据是 ，奇数行的数据从左到右依
次增大，偶数行的数据从左到右依次减小，第n行有（2n-1）个数，
(5，6)表示数字的位置在第5行，从左往右数第6个数，
第4行最大的一个数是 ，
第5行的数据从左往右依次为17，18，19，20，21，22，23，24，25，
第5行，从左往右数第6个数是22，即 (5，6)表示的数是22，
故答案为：22；
(2)解：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，……
∴第n行有（2n-1）个数，
故答案为：（2n-1）；
(3)解：数字2022排在第45行，从左往右数第86个数．
理由如下：当 为偶数时，该行第一个数为 ，自左向右减小；当 为奇数时，
该行最后一个数为 ，自左向右增大．
∵ ，所以第45行最后一个数（第89个）为2025，
∴数字2022排在第45行，从左往右数第86个数．
【点拨】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特
点，写出相应的数字．
类型七、数字类规律探索
7、（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵
第2个点阵
______＋______
第3个点阵
______＋______
（2）通过猜想，写出第 个点阵相对应的等式：__________．
【答案】（1）22，32，32，42；（2）1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…
+5+3+1＝n2+（n+1）2．
【分析】
（1）根据点阵图即可求解；
（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式．
解：（1）第1个点阵 1+3+1＝12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1＝22+32，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1＝32+42．
故答案为22，32，32，42；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
故答案为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
【点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其
中的规律．
举一反三：【变式1】问题提出：
将一根长度是 （ 的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折 次（ ），然
后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪
刀（ 的整数），最后得到一些长 和长 的细绳．如果长 的细绳有222根，
那么原来的细绳的长度 是多少 ？
问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的
方法．
探究一：
对折1次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2
根长 的细绳，右端出现了 根长 的细绳，所以原绳长为 ；
如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长 的细绳，中间有 根长 的细绳，右
端仍有 根长 的细绳， 所以原绳长为 ；如果剪3刀（如图
③），左端仍有2根长 的细绳，中间有 根长 的细绳，右端仍有 根
长 的细绳，所以原绳长为 ；以此类推，如果剪 刀，左端仍有2
根长 的细绳，中间有 根长 细绳，右端仍有 根长 的
细绳，所以，原绳长为 ．
探究二：
对折2次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2
根长 的细绳，两端共出现了 根长 的细绳，所以原绳长为 ；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长 的细绳，中间有 根长 的细绳，两
端仍有 根长 的细绳，所以原绳长为 ；如果剪3刀（如
图⑥），左端仍有2根长 的细绳，中间有 根长 的细绳，两端共有
根长 的细绳，所以原绳长为 ；以此类推，如果剪 刀，左端仍
有2根长 的细绳，中间有 根长 的细绳，两端仍有
根长 的细绳，所以原绳长为 ．
探究三：
对折3次（如图⑦），可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪 刀，左端有2根长
的细绳，中间有 根长 的细绳，两端有 根长
的细绳，所以原绳长为 cm．
(1)总结规律：
对折 次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪 刀，左端有 根
长 的细绳，中间会有 根长 的细绳，两端会有 根长 的细绳，
所以原绳长为 ．
(2)问题解决：
如果长 的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了
次，被剪了 刀，原来的细绳的长度 是 ．(3)拓展应用：
如果长 的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度 是 ．
【答案】(1)2n，2， ，（ ）， (2)1或2，111或56，224或228
(3)2026
【分析】
（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折n次的结果；
（2）由题意，得2+ =222，进而讨论解得情况求m，n即可；
（3）方法同（2）进行计算即可．
(1)解：对折1次，有 根绳子重叠在一起，剪 刀，左端仍有2根长 的细绳，中
间有 根长 细绳，右端有 根长 的细绳，原绳长为 ，
对折2次，有 根绳子重叠在一起，剪 刀，左端仍有2根长 的细绳，中
间有 根长 的细绳，两端有 根长 的细绳，原绳长为 ，
对折3次，有 根绳子重叠在一起，剪 刀，左端仍有2根长 的细绳，中
间有 根长 的细绳，两端有 根长 的细绳，原绳长为 ，
……
则对折 次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪 刀，左端有2根长
的细绳，中间会有 根长 的细绳，两端会有（ ）根长 的细绳，所
以原绳长为
故答案为：2n，2， ，（ ）， ；
(2)解：由题意，得2+ =222
∴ =220
∴
又 ，220=2×110或220=4×55
∴ 可以为2，4∴ =2或4，m-1=110或55
∴n=1或2，m=111或56
∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228
故答案为：1或2，111或56，224或228；
(3)解：由题意，得2+ =2024
∴ =2022
∴
又 ，2022=2×1011
∴ 为2
∴ =2，m-1=1011
∴n=1，m=1012
∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026
故答案为：2026．
【点拨】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变
化归纳出规律．
【变式2】（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写
出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第n项是 ；
（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．
请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7
＋……＋（2n－1）的计算结果；
（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．
【答案】（1）39； 2n－1；（2） n2；（3）n2+n
【分析】（1）由所给的数字可得第n个数为2n﹣1，据此解答即可；
（2）对所给的图形进行分析，总结出规律即可；
（3）利用（2）的方式进行求解即可．
解：（1）∵一列数1、3、5、7…，
∴第n个数为：2n﹣1，
∴第20个数为：2×20﹣1＝39，
故答案为：39，2n﹣1；
（2）第（2）图中，分层小正方形的个数是（1+3）个，而整体计算小正方形的个数
是22，所以，1+3＝22；
第（3）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5）个，而整体计算小正方形的个数
是32，所以，1+3+5＝32；
第（4）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5+7）个，而整体计算小正方形的个
数是42，所以，1+3+5+7＝42；
猜测1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；
（3）2+4+6+8+…+2n
＝1+1+3+1+5+1+7+1+…+（2n﹣1）+1
＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+n
＝n2+n．
【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚存在的
规律．
