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微专题：利用导数研究函数的能成立问题
【考点梳理】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解．
①一般地， ，使得 有解，则只需 ；
② ，使得 有解，则只需 。
【典例分析】
典例1．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
典例2．已知函数 .
（1）当 时，函数 的极小值为5，求正数b的值；
（2）若 ， ，且当 时，不等式 在区间 上有解，求实数a的取值范围.
典例3．设函数 .
(1)求函数 的单调增区间；
(2)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于x的不等式 有解？若存在，请求出 的最小
值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
5．已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数.
(1)判断函数 的单调性；
(2)若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
6．已知函数 ， ．
(1)若 在 处与直线 相切，求出实数 、 的值以及 的单调区间；
(2)若 ，是否存在实数 ，当 时，不等式 有解？若存在，求出实数 的取值范围，
若不存在，说明理由．
7．设函数 ， ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当 时， ．
8．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若在区间 ， 内至少存在一个实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
9．已知函数 ，其中 .
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若存在实数 ，使得不等式 的解集为 ，求 的取值范围.
10．已知函数 （ 为自然对数的底数）．
(1)若 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【高分突破】
11．已知函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
12．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2） 、 ，使得不等式 成立，求 的取值范围；
（3）不等式 在 上恒成立，求整数 的最大值.
13．已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3)若 ，正实数 满足 ，证明： .
14．已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小整数值；
②若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围．
15．已知函数 ， ，
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， ，使 成立，求m的取值范围.
（3）当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求实数k的取值范围，并且证明：
.
16．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）若存在 ， ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
17．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
18．已知函数 ，设 在点 处的切线为
（1）求直线 的方程；
（2）求证：除切点 之外，函数 的图像在直线 的下方；
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围
19．设函数 的极大值点为 ，极小值点为 ．
（1）若 ，求a的取值范围；
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）若 ， ，求实数m的取值范围．
20．已知曲线 与 轴交于点 ，曲线在点 处的切线方程为 ，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 的极值；
（3）设 ，若存在实数 ， ，使 成
立，求实数 的取值范围．
21．已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的单调区间；
（2）当 时，若函数 有两个不同的极值点 ， ，且不等式 有解，求实数 的
取值范围；
（3）设 ，若 有两个相异零点 ， ，求证： ．
22．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意 ，存在 ，
使 ，求实数m的取值范围.
23．已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 处的切线方程为 ，且当对于任意实数 时，存在正实数 ，使得
，求 的最小正整数值.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，当 时，任意 ，存在 使得 成立，求实数 的取值范围．
25．已知 .
(1)求 的极值点；
(2)若不等式 存在正数解，求实数 的取值范围.
26．设函数
（1）求函数 的极值；
（2）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
27．已知函数 ．
(1)若存在 ，使 ≤ 成立，求a的取值范围；
(2)若 ，存在 ， ，且当 时， ，求证： ．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)在 时，求出 在1处的导数值，再按直线点斜式写出方程即可得解；
(2)在给定条件下，由不等式 分离参数，再构造函数，并求出函数最值即可得解.
【详解】
（1）当 时， ，则 ，所以 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）若存在 ，使不等式 成立，
即存在 ，使不等式 成立，
存在 ，不等式 成立，
设 ， ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
又 ， ， ，
即 ，故 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】
结论点睛：定义在区间D上的函数f(x)， 成立，等价于 ； 成立，等价于
.
2．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ，得到 ，求导 ，再利用极值的定义，由函数 的极小值为5求解.
（2）由 ，得到 ， ，求导 ，分 ，
第 7 页讨论求得最大值求解.
【详解】
（1）函数 的定义域为 .
当 时， ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以函数 的极小值为 ，
∴ .
（2）当 时， ， ，
则 .
①当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ；
②当 ，即 时，设 的两根分别为 ， ，
则 ， ，∴ ， ，
所以在区间 上， ，
所以 在 上单调递增，所以 .
综上，当 时， 在区间 上的最大值为 ，
∴ ，
所以实数a的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：不等式有解问题的解法：
若 在区间D上有最值，则 ；
；
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则 ； .
3．(1)答案见解析
(2)存在， 的最小值为0
【解析】
第 8 页【分析】
（1）求出函数的导数，就 的不同取值可求 的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求 ，从而可得整数 的最小值.
(1)
因为 ，
所以 ，
①当 时，由 ，解得 ；
②当 时，由 ，解得 ；
③当 时，由 ，解得 ；
④当 时，由 ，解得 ；
⑤当 时，由 ，解得 ，
综上所述，当 时， 的增区间为 ；
当 时， 的增区间为 ；
时， 的增区间为 .
(2)
当 时， ，所以 ，
而 ，
因为 均为 上的增函数，
故 为 上的增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ，
且 且 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
第 9 页因为 ，所以 ，
所以 ，
而整数 ，使得关于x的不等式 有解，故 ，
故存在整数 满足题意，且 的最小值为0.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简
最值，从而得到最值的范围或符号.
4．（1）极小值为 ，极大值为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据 的正负可确定 单调性，由此确定极值点，代入函数解析式可得极值；
（2）将问题转化为 在 上的最小值小于零，利用导数可求得 的正负，通过讨论
是否在区间 上，可得 的单调性，由此确定最小值，根据最小值小于零可求得结果.
【详解】
（1） 函数 ， 定义域为 ，
，
当 时，令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增， 在 上单调递减；
函数 的极小值为 ，函数 的极大值为 .
（2）令 ，
在 上存在一点 ，使得 成立，即在 上存在一点 ，使得 ，即函数
在 上的最小值小于零.
由 得： ，
， ，又 ， ，
当 时， ；当 时， ，
第 10 页①当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ，
，此时 不成立，
②当 ，即 时， 在 上单调递减， ；
由 可得： ，
， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、能成立问题的求解；本题中
能成立问题的解题关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过讨论导函数的零点是否在所给区间内，得
到函数的单调性，进而确定最值.
5．(1) 在 单调递减；在 上单调递增；
(2) .
【解析】
【分析】
（1） 的定义域为 ，求 ，分别解不等式 ， 即可得单增区间和单减区间即可求解；
（2）求出 的解析式以及 ，讨论 时， 在 上单调递减，而 不符合题意，当 时，
对 再求导可判断 在 上单调递增， ，再讨论 和 时，
的单调性和最值即可求解.
(1)
函数 的定义域为 ，
由 可得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 单调递减；在 上单调递增；
(2)
由题意得 ，且 ，
当 时，因为 时， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，故 在 上不可能恒成立；
第 11 页当 时，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上恒成立；
②当 ，即 时， ， ，
故存在在 使得 ，
此时函数 在 上单调递减，又 ，
故 在 上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述， 的取值范围 .
6．(1) ， ，单调递增为 ，单调递减为
(2)存在， 的取值范围是
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义以及切点在曲线上列式计算即可得 、 的值，再令 可得单调区间；
（2）先求出函数 和 的单调性，再根据 可得实数 的取值范围.
(1)
，依题意 ，
，得m＝－1，n＝2，
∴ ，令 ，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是 ，
∴函数的单调递增为 ，单调递减为 ．
(2)
当n＝2时， ，
令 ，得 ，又函数的定义域是 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
即函数 在 上单调递减，
第 12 页又 ，令 ，得0＜x＜e，∴ 在 上单调递增．
当 时，不等式 有解，
等价于 ，即 ，得 ， ．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是 ．
7．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为 恒成立，设 ，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为 ， ，设 ，利用导数求出 ，即可
得到答案.
(1)
， ，即切线 .
， ，则切线方程为： .
(2)
， 恒成立等价于 ， 恒成立.
设 ， ，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
所以 ，即 .
(3)
， 等价于 ， .
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 为增函数，即 ，
所以 ，
第 13 页即 在 为增函数，即 ，
即证： .
8．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）求解函数的导数，根据题意代入数值计算即可得出结论；
（2）此题为不等式存在性问题，转化为在区间[1，2]上求解不等式 ，进而得出答案.
【详解】
解：（1） 时， ， ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线斜率: （1） ，
故曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为： ，
所求切线方程为： ；
（2） ，
①当 即 时， ， 在 ， 上为单调增函数，
此时， （1） ，解得： ，与 矛盾，不符合题意，
②当 即 时， ， ， 的变化如下：
， ，
0
递减 极小值 递增
此时， ，解得：
，与 矛盾，不符合题意，
③当 即 时， ， 在 ， 上为单调减函数
，解得： ，又 ， ，
综上：实数 的取值范围是 ．
9．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接求出切线斜率，即可写出切线方程；
（2）先利用导数判断单调性，根据题意列不等式即可解出a的范围.
第 14 页【详解】
由 得 .
（1）所以 .
又因为 .
故所求的切线方程为 .
（2）因为
令 ，得 ， ，
此时 ， 随 的变化如下：
0 0
极大值 极小值
由题意，要想存在实数 ，使得不等式 的解集为
只需 或
因为 ，
所以
所以 的取值范围为 .
10．(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）写出 时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可；
（2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求 对任意 成立的 的取值范围，分类讨论
的范围即可求解.
(1)
若 时， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
第 15 页(2)
由题意可知，即求 成立的 的取值范围，
因为 ， ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
即 ，即求 对任意 成立的 的取值范围，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
且有 ，不满足 ；
当 时，易知 ，显然成立；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得，
所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】
此类题目需要综合运用导数与函数之间的关系求解，对于任意或存在性问题需要转化为最值问题进行求解.
11．(1)在 和 上单调递增，在 上单调递减
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导可得 ，又 即可根据导函数的 正负求得单调性；
（2）由存在性问题进行参变分离可得 即可.
(1)
函数 的定义域是
.
当 时，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
至少存在一个 ，使得 成立，即当 时，
第 16 页有解
∵当 时， ，∴ 有解，
令 ，则 .
∵ ，
∴ 在 上单调递减，∴ ，
∴ ，即 ，
∴实数a的取值范围 .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了根的大小的讨论，同时考查了存在性思想，有一定的计算量，属
于艰难题.
本题关键点有：
（1）求导过后注意因式分解；
（2）存在性问题，利用参变分离进行求解.
12．（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）求得 ，分析导数的符号变化，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（2）求得 ，由题意可知， 在 时有解，构造函数 ，
利用导数求出函数 在区间 上的最小值，即可得出实数 的取值范围；
（3）由题意可知， ，构造函数 ，其中 ，利用导数求出
函数 ，又由 结合 可得出结果.
【详解】
（1）因为函数 的定义域为 ，且 ， .
①当 时， ， ，则 ， 在 上是减函数；
②当 时，设 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
第 17 页所以，当 时， ，所以，函数 在 上为增函数.
综上所述，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）由（1）知，函数 ，
、 ，使得不等式 成立，
等价于不等式 在 时有解，
即不等式 在 时有解，
设 ， ，
当 时， ，则 ，
而 ，所以 恒成立，即 在 上 是增函数，则 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（3） ， 恒成立，
等价于 ，
令 ，其中 ，则 ，
，
， ， ， ， ，
在 上单调递增， ，
在 上递增， ， ，
，且 ，因此整数 的最大值为 .
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集.
13．(1)极大值为 ，无极小值；
第 18 页(2) ；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据f(1)＝0求出a的值，确定f(x)并求出 ，根据 正负判断f(x)单调性，从而可求f(x)在定义域(0，＋
)的极值；
(2)参变分离不等式 ，构造函数问题 ，问题转化为 .利用导数研究g(x)单调
性和最大值即可求出整数a的最小值；
(3)化简方程 为 ，令 ，构造函数 ，
研究 的最小值，得到关于 整体的不等式，解不等式即可得结论.
(1)
∵ ，∴ ，
此时 ， ，
， ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
∴ 有极大值为 ，无极小值；
(2)
由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立.
令 ，只要 .
∵ .
令 ，
∵ ，∴ 在 上单调递减.
第 19 页∵ ， ，
∴在(0，＋)上存在唯一的 ，使得 ，即 ，
∴ .
∴当 时， ，g(x)单调递增，
当 时， ，g(x)单调递减，
∴ ，即 ，
∵ ，∴整数 的最小值为 ；
(3)
由题可知 ， .
当 时， ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则由 得， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
解得 成立.
【点睛】
本题第二问关键是讨论函数 的零点和单调性和，从而参变分离后函数的最小值，解题过程中零点
无法求出，属于隐零点，可以设而不求，利用隐零点将对数式转换为幂式进行计算.第三问的关键是将方程变形，
把 看成整体进行求解.
14．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)① 1；② .
【解析】
【分析】
第 20 页(1)求函数 的定义域并求出导数 ，解不等式 和 即可作答.
(2)选①，由给定不等式分离参数并构造函数，探求函数的最大值即可得解；
选②，由给定不等式变形，构造函数 ，借助导数分类讨论 有解即可.
(1)
的定义域为 ， ，令 ，得 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
选择①：
当 时， 恒成立，即 恒成立，令 ， ，则 ，
令 ，则 ，即函数 单调递减，
而 ， ，则 在区间 上存在一个零点 ，
使得 ，即 ，
当 时， ，则 ，函数 单调递增，当 时， ，即 ，函数
单调递减，
于是得 有最大值， ，
依题意有 ，又 ，
所以 的最小整数值是1．
选择②：
不等式 ，即 ，设 ，依题意，存在 ，
，
而 ， ，
当 时， 在 上恒成立，不满足题意，
当 时，方程 的判别式 ，
即 在 上恒成立，则 在 上单调递增， ， 在 上恒成立，不满
足题意，
当 时，令 ，得 ， ，
第 21 页由 和 得 ，则当 时， ， 在 上单调递减，此时 ，
因此，当 时，存在 ，使得不等式 成立，
所以满足题意的 的取值范围为 ．
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
15．（1）f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增；（2）（0， ）；（3）k＞1﹣ln2，证明
见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，分析 的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝ ，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x，
1
x，且0＜x＜ ＜x，则k＞1﹣ln2，且lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，推出lnx＝lnx+ ﹣ ，f（x）﹣f
2 1 2 1 2 1 2 1
（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，x＞ ，求导分析F
2 2 2
（x）的单调性，进而可得f（x）＜f（1﹣x），再结合f（x）在（0， ）上单调递减，即可得出答案．
1 2
【详解】
解：（1） ，
令f′（x）＞0，得x＞ ，
令f′（x）＜0，得0＜x＜ ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（ ）＝ln ＝1﹣lnm，
令h（x）＝ ＝ ＝ ，x （0，3），
∈
h′（x）＝ ＝ ，
在x （2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x （0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∈
第 22 页
∈所以h（x）min＝h（2）＝ ＝ ，
所以1﹣lnm＞ ，
所以0＜m＜ ，
所以m的取值范围是（0， ）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，
由（1）可知f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（ ）＝ln ＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x，x，且0＜x＜ ＜x，
1 2 1 2
则k＞1﹣ln2，
所以lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，
1 2
得lnx+ ＝lnx+ ，
1 2
所以lnx＝lnx+ ﹣ ，
1 2
f（x）﹣f（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
1 2 1 2
＝（lnx+ ﹣ ）+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，x＞ ，
＝ ，
因为x＞ ，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
第 23 页所以F（x）在（ ，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（ ）＝
所以f（x）＜f（1﹣x），
1 2
因为0＜x＜ ＜x，
1 2
所以﹣ ＞﹣x，即1﹣ ＞1﹣x，
2 2
所以0＜1﹣x＜ ，
2
因为f（x）在（0， ）上单调递减，
所以x＞1﹣x，
1 2
所以x+x＞1，得证．
1 2
【点睛】
关键点点睛：
1.对于若 ， ，使 成立，转化为 是关键；
2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；
3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.
16．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.
（2）将不等式 转化为 ，利用构造函数法，结合导数以及
对 进行分类讨论，来求得 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，
则 ， ， ，
所以曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，即 ；
（2）由题意知，存在 ， ，使得不等式成立，
即存在 ， ，使得 成立，
令 ， ， ，
则 ， ， ，
①当 时， ，所以函数 在 ， 上单调递减，
第 24 页所以 （2） 成立，解得 ，所以 .
②当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 .
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
又 ，所以 （2） ，解得 ，与 矛盾，舍去.
③当 时， ，所以函数 在 ， 上单调递增，所以 ，不符合题意，舍去.
综上所述， 的取值范围为 .
17．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，得出 的定义域并对 进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可
得出 的单调区间；
（2）将题意等价于 在 内有解，设 ，即在 上，
函数 ，对 进行求导，令 ，得出 ，分类讨论 与区间 的关系，并利用导数
研究函数 的单调和最小值，结合 ，从而得出实数 的取值范围.
(1)
解：当 时， ，可知 的定义域为 ，
则 ，
可知当 时， ；当 时， ；
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
解：由题可知，存在 ，使得 成立，
等价于 在 内有解，
可设 ，即在 上，函数 ，
，
令 ，即 ，解得： 或 （舍去），
当 ，即 时， ， 在 上单调递减，
第 25 页，得 ，
又 ，所以 ；
当 时，即 时， ， 在 上单调递增，
，得 ，不合题意；
当 ，即 时，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ，
，
即 ，不符合题意；
综上得，实数 的取值范围为 .
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参
数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应
证明.
18．（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝ ﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f
（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x （1，+∞），使得不等式a＜ 成立，令g（x）＝ ，x＞1，只需a＜g（x）max．
∈
【详解】
（1） ，
由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
第 26 页（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝ ﹣x+1，
，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣ ﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x （1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
∈
则若存在x （1，+∞），使得不等式 ＞a成立，
∈
即若存在x （1，+∞），使得不等式a＜ 成立，
∈
令g（x）＝ ，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）• ，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
第 27 页又 ，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
19．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，确定 的零点，得 的正负，确定 的单调性，得极大值点，由已知可得参数
范围；
（2）利用三次多项式的图象的对称性，函数 图象关于 对称，又 ，因此 ，
这样有 ，求得 的最小值（引入新函数，由导数可得最小值），可得参数 范围．
【详解】
解：
（1）
①当 即 时， ， 单调递增，与题设矛盾，则 ．
②当 即 时，在 ， 上
在 ， 上单调递增，
在 上 ， 单调递减，所以 ，由 ，解得 ，
③当 即 时，在 ， 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，所以 ，由 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围是 ．
（2）因为 ，
所以 图象关于 对称，而 ，所以 ，
又因为 使 ，即 使 ，
令 ， ．
所以 ，可得 在 上单调递减， 单调递增，
所以 ，则 ，
综上，m的取值范围为 ．
【点睛】
第 28 页关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题时注意极值点的定义，极值点两
侧函数需一增一减．第（2）不等式恒成立问题的关键是确定函数图象的对称中心，利用对称性化简 ，
然后求新函数的最值．
20．（1） ；（2）极大值为 ，无极小值；（3）
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得 ，进而得切线斜率 ，故 ，再根据 求得 ，进而得解析
式；
（2）由（1） ，求导得 ，进而根据导数与极值的关系即可得答案；
（3）将不等式整理变形得：存在实数 使 成立，进而转化为 ，再研究
函数 的单调性得 时，函数 为减函数，
时，函数 为增函数，再分 ， ， 三种情况讨论求解即可得答案.
【详解】
解：（1）令 解得 ，故点 ，
对函数 求导得 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，即： ，
又因为 ，故 ，
所以 的解析式 .
（2）由（1）知 ，函数定义域为 ，
所以 ，
故当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
（3）因为
，
第 29 页故不等式 等价于 ，
因为 ，故存在实数 使 成立，
所以只需 成立即可.
所以 ，
因为 时， ，故
所以当 时， ，函数 为减函数，
时， ，函数 为增函数
所以
（i）当 时，
在 恒成立，故函数 在 单调递增，
故 ，所以 ，解得 ；
（ii）当 时，
时， ，函数 为减函数， 时， ，函数 为增函数，故
， ，
所以，当 时， ，即 ，
令 ， ， ，故 在 单
调递减， ，故 在 单调递增，
所以 在 上也单调递增， ，
与 矛盾，无解
当 时， ，即 ，所以 ，
令 ， ，令 得 ，
故当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
由于 ，
故函数 在 的函数值恒大于 ，
故当 时， ，与 矛盾，无解；
第 30 页（iii）当 时， 时， ，函数 为减函数，故 ，所以
，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决
问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数 使
成立，进而只需 成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.
21．（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；（2） ；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）当 ， 时，求得导函数，利用导函数与单调性的关系进行求解；
（2）利用导数与极值的关系转化为方程 有两个不相等的正实数根，利用二次函数的图象和性质及
韦达定理求得 的取值范围，不等式 有解，转化为 ，
利用韦达定理的结论可以整理为关于实数 的函数，进而利用导数进行研究求得其最大值
即得 的取值范围;
（3）设 的两个相异零点为 ， ，设 ，将要证不等式 ，转化为 ，进一步可
转化为 ，设 上式转化为 ，然后构造函数 ，利用导数
研究单调性进而证明即可.
【详解】
解：（1）当 ， 时， ，
∴ ，
∵ ，令 ，则 或 ，
令 ，则 ，
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（2）证明：由题可得 ，
∵函数 有两个不同的极值点 ， ，
第 31 页∴方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 解得 ．
∵不等式 有解，∴ ．
∴
．
设 ， ，
故 在 上单调递增，故 ，
∴ ．故实数 的取值范围为 ．
（3） ，设 的两个相异零点为 ， ，
设 ，欲证 ，需证 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
要证 ，即证 ，
即 ，即 ，
设 上式转化为 ，
设 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题，利用导数证明不等式恒成立问题，属于较难试题.关键是
第 32 页转化思想和构造函数思想，数量掌握并使用导数研究函数的单调性是关键能力要求.第(2)小题中，利用极值的条件
将关于极值点的表达式转化为a的函数，第（3）小题中，将双变量问题转化为单变量函数问题是要注意体会和掌
握的重要方法.
22．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论．
（2）将问题转化为g（x）小于等于f（x）的最大值问题，利用参数分离法进行求解即可．
1 2
(1)
函数 的定义域为 ，
，
①当 时，由 得 ，即 的单调递增区间是 ；
由 得 ，即单调递减区间是 .
②当 时，由 得 ，即 的单调递增区间是 ）；
由 得 ，即单调递减区间是 .
(2)
当 时，由（1）知，函数 在 上道减，
所以 ，所以
对任意 ，存在 ，使
即等价为 恒成立即可，即 .∴ ，
设 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴
∴
23．(1)答案见解析
(2)3
【解析】
【分析】
（1）求导后，分 和 两种情况讨论，但需注意定义域；
（2）先根据题意，求出实数 ，再由 ，得到
第 33 页，构造新函数后，得 ，结合 ，得到
的取值范围即可.
(1)
解：函数 的定义域为 ，且 .
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
所以，当 时， ， 时， .
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
解：由（1）知 ，
因为函数 在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 .
所以，
因为对于任意实数 时，存在正实数 ，使得 ，
所以， ，可得
即 ，
设 ，令函数 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，故 ，
则 ，故 .
设函数 ，
因为 ，可知函数 在 上单调递减，
故 ，
第 34 页解得 或 (舍去)，
故 的最小正整数值为3.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主
要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区
间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数
形结合思想的应用．
24．(1)详见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.
（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.
(1)
因为函数 ，
所以函数定义域为： ，且
①当 时， ，令 ，令 ,
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时， ，因为 ，所以当 时，
，令 ，令 或 ，
所以当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， ，令 ，令
或 ，
所以当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
③当 时 ，令 ，令 ，
第 35 页所以当 时 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由（1）知当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以原问题 ，
使得 成立 ，使得 成立.
设 ，则 ，
所以 上单调递减，所以 .
所以 即 .
【点睛】
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数．
25．(1)极大值点为 ，极小值点为
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数分析函数 的单调性，由此可得出函数 的极大值点与极小值点；
（2）分析可知，存在 ，使得 ，利用导数求出函数 在 上的最小
值，即可得出实数 的取值范围.
（1）解：函数 的定义域为 ， ，令 可得
或 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
第 36 页所以，函数 的极大值点为 ，极小值点为 .
（2）解：由题意可知，存在 ，使得 ，即 ，令
，其中 ，则 ，令
，其中 ，则 ，令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，所以，函数 在 上单调递增，则
，所以，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递
增，则 ，所以， .
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
26．（1）极小值为 ，无极大值；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求导函数，然后利用导数判断函数单调性即可得函数极值；
（2）原问题等价于 在 上有解，即 ，构造函数即可求解.
【详解】
解:（1）由于函数 的定义域为
易知 在 上单调递增，且有 ，
所以当 时， 当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此函数 的极小值为 ，无极大值．
（2）由题意， ，即 在 上有解．
记 ，则 ，
第 37 页若 ，当 时总有 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
要使 在 上有解，只需 ，所以 ．
若 ，当 时， ，
若原不等式在 上有解，则 ，即 ，即 ，与已知矛盾．
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是，①将原问题等价转化为 ；
②记 ，对 分 和 两种情况讨论，且 时，利用放缩法处理，从而导出矛盾.
27．(1) ；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)参变分离不等式 ≤ ，构造函数 ，求h(x)的最小值即可得a的取值范围；
(2)整理化简 可得 ，构造函数 并判断单调性，从而
可利用 将等式中 替换掉，问题即可转化为证明 ，令
即可进一步转化为证明 即可．
(1)
由 ，得 ， ，即 ，
令 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
在 上单调递增， ，
第 38 页在 上， ， 单调递增，
，
取值范围是 ；
(2)
不妨设 ，
， (*)，
，
令 ，故 ，故函数 在 上单调递增．
，从而 ，
由(*)得 ，
，
下面证明： ，
令 ，则 .即证明： ，则只要证明 ，
设 ， 在 恒成立，
在 单调递减，故 ，
，
．
【点睛】
本题第二问关键是构造函数 ，将 转化为 ，构造 ，将问题转化为
即可．
第 39 页第 40 页
