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专题 9 不等式
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由题意可得 ，从而可求出实数a的取值范围
【详解】设 ，开口向上，对称轴为直线 ，
所以要使不等式 在区间(2，5)内有解，只要 即可，
即 ，得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 的解集为 （ ），则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】依题意可得 为方程 的根，代入计算可得；
【详解】解：因为 的解集为 （ ），
所以 为 的根，所以 .
故选：B
3．（2022·上海·模拟预测）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为 ，则 ，故 ，A对B错；
，即 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，CD都错.
故选：A.4．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线 后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线 过 时 有最大值.
由 可得 ，故 ，
故 ，
故选：B.
5．（2022·全国·高考真题（文））若x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数 为 ，
上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的
取值范围是
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】由题意化 为 ，利用基本不等式求出 的最小值，再解关于 的一元二次不
等式即可．
【详解】解： ， ，且 ，
，
，
当且仅当 时取“ ”；
若 恒成立，
则 ，
即 ，
解得 ，
实数 的取值范围是 ， ．
故选：C．7．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为 ，可得 且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
8．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰 中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为
3，则 的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得 面积的最大值．
【详解】设 ， ，
由于 ，
在 和 中应用余弦定理可得：
，整理可得： ，
结合勾股定理可得 的面积：
，
当且仅当 时等号成立．
则 面积的最大值为6．
故选：A.9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令 ，用 分别乘 两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为 ，且 为正实数
所以
，当且仅当 即 时等号成立.
所以 .
故选：B.
10．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））已知实数x，y满足不等式组 ，若
的最大值为m，最小值为n，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,求出平面区域顶点的坐标,再根据 的几何意义分别
求出m,n,即可得到结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示：
由 ，可解得： ，同理可求： .设P(1,1),则数形结合可知 .
(其中 为点P到直线 的距离， )，
所以 .
所以 .
故选：B
11．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知 为正实数且 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D
12．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知x，y满足不等式组 ，关于目标函
数 最值的说法正确的是（ ）
A．最小值2，最大值9 B．最小值0，最大值9
C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10
【答案】A
【分析】作出不等式组对应的可行域，利用点到直线的距离的几何意义求最值即可得解.
【详解】满足不等式组 的可行域，如下图中阴影部分：由于 可以转化为点 到直线 的距离的 倍的问题，
可以转化为点 到直线 的距离的 倍的问题，
又直线 与直线 平行，且两平行线之间的距离为
数形结合可知，当动点在 点时，目标函数 取得最小值，
由 ，所以
当动点在 点时，目标函数 取得最大值，
由 ，所以
所以目标函数 的最小值为2，最大值为9
故选：A
【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：
①截距型： ，将问题转化为 在 轴截距的问题；
②斜率型： ，将问题转化为 与 连线斜率的问题；
③两点间距离型： ，将问题转化为 与 两点间距离的平方的问题；
④点到直线距离型： ，将问题转化为 到直线 的距离的 倍的问
题.
二、填空题
13．（2021·河南安阳·模拟预测（文））已知关于 ， 的不等式组 表示的平面区域为 ，
在区域 内随机取一点 ，则 的概率为______．
【答案】 ##0.6【分析】作出不等式组表示的平面区域，而满足不等式 的点所在区域，然后利用几何概型概
率公式即得．
【详解】作出不等式组表示的平面区域 ( 及其内部)，而满足不等式 的点在 内，
由题意可得 ， ， ， ，
则 ， ，
所以所求概率 .
故答案为： ．
14．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若 对 恒成立，则实数a的取值范围为___.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式对 恒成立，可得 ，即可求得答案.
【详解】 对 恒成立， ,
故答案为：
15．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数 满足 ， ，则 的最
小值为__________.
【答案】 ##【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】由 ，得 ， ，
则 ，
，当且仅当 时取“=”，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加
上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
16．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 在 上存在零点， 且 ，
则 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】就 、 分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
若 即 ，由零点存在定理可得 在 上存在零点，
考虑不等式组 即 在坐标平面上所表示的点的集合，
因为 表示直线 及直线 下方所有的点，
同理 表示直线 与直线 围成的所有点（包含边界，如图所示），由 可得 ， ，由图可得 .
若 ，因为 在 上存在零点，
故 即 ①，
同理可得在坐标平面中①所表示的点的集合如图所示：
由 可得 或 （舍），
由 可得 ，
结合图形可得 ，
综上，
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于含参数的二次函数在给定范围上的零点问题，注意利用零点存在定理把问题转化
为平面上的点的集合问题来处理.
